Peterburi paradoks

Sümmeetrilist münti visatakse esimese kullini. Kui kull tuleb k-ndal viskel, saab mängija 2^k−1 dukaati. Võidu matemaatiline ootus on lõpmatu. Vaata, kuidas kakssada mängijat seda võitu püüavad, ning sea siis panga väljamaksetele piir, et näha mängu väärtust.

Näidisarvutus — Peterburi paradoks

Mängu väärtus, kui pangas on 16 777 216	13,00
200 mängija keskmiste mediaan selles katses	9,29
Bernoulli hind mängijale, kelle vara on 1000	5,97
Mängu väärtus talle, kui osalemine on tasuta	5,97
Mängu väärtus, kui pangas on 1000	5,98
Jälgitav mängija	200 mängija keskmiste mediaan

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Peterburi paradoks

Peterburi mängus visatakse sümmeetrilist münti esimese kullini. Kui kull tuleb k-ndal viskel, võidab mängija 2^k−1 dukaati. Vise k lisab võidu matemaatilisele ootusele 2^−k · 2^k−1 = ½, seega on ootus lõpmatu. Pank, mis suudab maksta kuni B dukaati, maksab min(2^k−1, B). Sel juhul on mängu väärtus V(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1, kus m = ⌊log₂ B⌋. Kui B = 2^m, on väärtus 1 + m/2. Bernoulli logaritmilise kasulikkuse korral maksab W dukaadi suuruse varaga mängija kõige rohkem hinna x, mis rahuldab võrrandit Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln W.

Mida iga sümbol tähendab

B: panga suurim võimalik väljamakse dukaatides
V(B): võidu matemaatiline ootus selle panga korral
W: mängija vara enne mängimist dukaatides
x: suurim hind, mida W dukaadi suuruse varaga mängija logaritmilise kasulikkuse korral mängimise eest maksab

Panga maksevõimega piiratud lõpmatus on väärt 13 dukaati 🖖

Vajuta Crameri pank. Iga vise lisab matemaatilisele ootusele sama pool dukaati: esimene kull k-ndal viskel annab võiduks 2^k−1 ja selle tõenäosus on 2^−k. Lõputu poolte summa on lõpmatu. Seda tähistab alumise graafiku ülaservas katkendjoon. Ükski pank ei suuda kõiki neid võite välja maksta. Vastase rahakott on siin lõplik nagu ka <a href="/stat/gamblers-ruin">mänguri laostumise ülesandes</a>. Gabriel Cramer kirjutas sellest 1728. aastal kirjas, mida Daniel Bernoulli tsiteerib: oletame, et võita ei saa üle 2²⁴ = 16 777 216 dukaadi. Siis lisab igaüks esimesest 25 viskest ootusele poole dukaadi. Kõik pikemad mängud annavad võiduks ülempiiri ning lisavad kokku veel poole. Mängu väärtus on seega 13 dukaati. Kui pangas on 2^m dukaati, on mängu väärtus 1 + m/2. Panga kahekordistamine lisab väärtusele poole dukaadi, tuhat korda suurem pank umbes viis dukaati. Nicolaus Bernoulli, kes esitas ülesande 1713. aastal, ütles Danielile, et iga vähegi mõistlik inimene müüks oma mänguõiguse suure rõõmuga kahekümne dukaadi eest. Et mängu väärtus oleks kakskümmend dukaati, peab pangas olema 2³⁸ = 274 877 906 944 dukaati. Biljoni dukaadiga pangas on mängu väärtus 20,91.

Paljude mängude keskmine ei stabiliseeru 🖖

Vajuta Piiranguta, 65 536 mängu. Iga peen joon näitab ühe mängija senist keskmist võitu. Lõpliku matemaatilise ootuse korral lähenevad sellised jooned suurte arvude seaduse järgi sellele ootusele. Siin on ootus lõpmatu. Ka n mängu keskmine kasvab tõenäosusega üks lõpmatusse, kuid aeglaselt: mängijate keskmiste mediaan tõuseb veidi kõrgemal punktiirjoonest, mis näitab mängu väärtust panga korral, kus on sama palju dukaate kui mängitud mänge. Mängude arvu iga kahekordistumisega tõuseb see kõver poole dukaadi võrra ning 65 536 mängu järel on selle väärtus 9. Selle katse mediaanmängija lõpetab keskmisega 9,29. Keskmist kergitavad harvad pikad mängud. Tõenäosus, et n mängust annab vähemalt üks võiduks n või rohkem, on 1 024 mängu korral 63,2% ja 65 536 mängu korral ikka 63,2%. See tõenäosus läheneb väärtusele 1 − 1/e, mitte nullile. Nii võib üksainus mäng tõsta keskmist vähemalt dukaadi võrra ka väga pika mänguõhtu jooksul. Panuste kahekordistamise süsteemi puhul on pilt vastupidine: peaaegu igal õhtul võidetakse üks ühik, kuid keskmise määravad harvad õhtud, mil kaotatakse kõik. Vajuta Pangas 1 024: lõpliku panga korral on võidu matemaatiline ootus 6 dukaati ning mängijate keskmised koonduvad selle ümber. Ühe mängija keskmise täpne standardhälve on lõpuks 0,15.

W dukaadi suuruse varaga mängija hindab mängu nii, nagu oleks pangas W 🖖

Vajuta Bernoulli 1 000 dukaati. Daniel Bernoulli 1738. aasta lahendus lähtus sellest, et võidu kasulikkus inimesele on pöördvõrdeline tema olemasoleva varaga. Nii kirjeldab vara kasulikkust selle logaritm. W dukaadi suuruse varaga mängija peaks maksma kõige rohkem hinna x, mille korral vara logaritmi matemaatiline ootus jääb pärast mängimist samaks. Kui tema vara on 1 000 dukaati, maksab ta 5,97. Täpselt 1 000 dukaati hoidva panga korral on mängu väärtus 5,98. Vajuta Miljonär: hind on 10,94 ja mängu väärtus 10,95. Varavahemikus 1 000 dukaadist kuni 10¹⁵ dukaadini ei erine need kaks väärtust rohkem kui 0,03 võrra. Põhjus peitub logaritmis. Kui võit g on varaga W võrreldes väike, on ln(1 + g/W) ligikaudu g/W ning võit läheb arvesse oma nimiväärtuses. Kui g ületab W, kasvab logaritm nii aeglaselt, et pikad mängud lisavad kasulikkusele peaaegu olematu panuse. Ülempiiri seab mängija enda vara. Alla 1 000 dukaadi lähevad väärtused lahku: 10 dukaadi suuruse varaga mängija maksab 2,88 mängu eest, mille väärtus 10 dukaati hoidva panga korral on 2,63. Bernoulli enda hinnangul oli tasuta mänguõigus väärt umbes 3 dukaati inimesele, kelle vara on 10 dukaati, umbes 4 inimesele, kelle vara on 100, ning 6 inimesele, kelle vara on 1 000. Inimesele, kellel pole midagi, oli see väärt täpselt 2 dukaati.

Ülesanne täielikult lahendatud

Crameri teine lahendus: ülempiiri asemel ruutjuur 4 sammu
Samas 1728. aasta kirjas proovis Cramer veel üht mõtet: väljamaksel pole ülempiiri, kuid raha kasulikkust kirjeldab selle ruutjuur. Nii pakub 40 miljonit kaks korda rohkem rahulolu kui 10 miljonit. Mitu dukaati on mäng talle sel juhul väärt? Vajuta esmalt Crameri pank: lehel näed tema esimese lahenduse väärtust.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Tema esimese lahenduse ehk piiratud väljamaksega mängu väärtus lehelt:
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. Hinda iga võidu kasulikkust selle ruutjuure järgi. k-s liige on 2^−k√(2^k−1). Nii saad geomeetrilise rea teguriga 1/√2, mis koondub ka ilma väljamakse ülempiirita:
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. Mänguga samaväärne on rahasumma, mille ruutjuur võrdub selle oodatava kasulikkusega:
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. Võrdluseks Bernoulli logaritm inimese korral, kellel pole midagi ja kes saab mängida tasuta:
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
Vastus

2,91 dukaati: 1/(6 − 4√2), ilma panga ülempiirita. Cramer nimetas seda summat „väiksemaks kui 3, tõepoolest tühiseks, kuid siiski minu arvates tavapärasele hinnangule lähemaks kui 13”. Ruutjuur paneb pikkade mängude panused geomeetriliselt kahanema; ülempiir piiras neid otseselt. Bernoulli logaritm annab varatu inimese jaoks väärtuseks 2.

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

Õpitee

Õiglased mängud, mis sind laostavad

Allikad (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.