Kelly kriteerium

Panustad korduvalt mängus, kus eelis on sinu poolel, ja kasutad iga kord kindlat osa oma kapitalist. Mida suurem panus, seda kiiremini kasvab keskmine kapital. Vaata, kuidas läheb mängijatel, kelle tulemustest see keskmine kujuneb, ning leia ühele mängijale parim panus.

Näidisarvutus — Kelly kriteerium

Kelly osakaal	0,200
Kasvumäär Kelly osakaalu korral	+0,02014
Säilinud osa Kelly kasvumäärast	100,0%
Panus, mille juures kasv langeb nulli	0,3894
Keskmine kasum mängu kohta osana kapitalist	+4,00%
Keskmine kapital 100 mängu järel	50,50
Kapitali mediaan 100 mängu järel	7,49
Algkapitalist väiksema lõppkapitali tõenäosus	17,9%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kelly kriteerium

Kelly kriteerium määrab, milline osa f kapitalist tuleks korduvas mängus panustada, et pikaajaline kasvumäär g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) oleks võimalikult suur. See kasvumäär on kapitali ühe mängu kasvuteguri logaritmi keskväärtus. Kui võidu tõenäosus on p ja võidusuhe b : 1, asub maksimum kohal f* = (bp − q)/b. Kui võit võrdub panusega, on f* = p − q ehk mängija eelis. Suurte arvude seaduse järgi on ühe mängija kapital n mängu järel logaritmilisel skaalal ligikaudu e^ng(f). Keskmine kapital on aga (1 + (bp − q)f)ⁿ ja suureneb iga f-i suurendamisega.

Mida iga sümbol tähendab

p: võidu tõenäosus igal mängul; q = 1 − p
b: võidusumma ühe panustatud ühiku kohta lisaks tagastatud panusele
f: igal mängul panustatud osa hetkel alles olevast kapitalist
g(f): ühe mängija kapitali kasvumäär mängu kohta naturaallogaritmi ühikutes

Eeldab: Iga mäng toimub samade p ja b väärtustega ning mängud on sõltumatud. Kapitali saab jagada nii väikesteks osadeks, kui panustamiseks vaja. Enne iga mängu määratakse panuseks osa f hetkel alles olevast kapitalist.

Keskmise kapitali kiire kasv varjab mängijate laostumist 🖖

Vajuta Kõik mängu. Münt annab sulle võidu 60% visetest ja võidusumma võrdub panusega, seega teenib iga panus keskmiselt 20% panustatud summast. Kogu kapitali panustamine igal mängul teeb keskmise kapitali võimalikult suureks: pärast 100 mängu on see 1,2¹⁰⁰ = 8,28×10⁷ korda algkapitali suurune. Seda keskmist kannab üksainus võimalik tulemus: võidad kõik sada mängu. Selle tõenäosus on 0,6¹⁰⁰ = 6,53×10⁻²³. Kõigil teistel saab kapital otsa, nagu ka kõigil selle simulatsiooni 200 mängijal. John Kelly kirjutas 1956. aastal, et selline mängija „laostuks tõenäosusega üks, kui ta jätkaks lõputult”. Väiksem panus ei kõrvalda probleemi. Vajuta Topelt Kelly panus, mis tähendab 40% kapitalist igal mängul. Pärast 100 mängu on keskmine 2 199,76 ja mediaan 0,78; 53,8% mängijatest on algkapitalist allpool. <a href="/stat/martingale-betting">Panuse kahekordistamise süsteemis</a> oli olukord vastupidine: peaaegu kõik õhtud lõppesid võiduga, kuid keskmine tulemus oli kahjum.

Ka soodsate panustega võib peaaegu kindlasti laostuda 🖖

Ülemise diagrammi katkendjoon näitab keskmise kapitali kasvuteguri logaritmi ln(1 + 0,2f), mis suureneb iga panusele lisatud osaga. Pidev kõver on g(f) = 0,6 ln(1 + f) + 0,4 ln(1 − f). See annab kasvumäära, millega ühe mängija kapital mängust mängu peaaegu kindlasti kasvab. Kõvera maksimum on Kelly osakaalu 0,200 juures. Nulli jõuab see taas kohal 0,3894 ehk 1,947 Kelly panuse juures, kus iga mäng teenib keskmiselt veel 7,79% kapitalist. Sellest suurema panusega läheneb mängija kapital peaaegu kindlasti nullile, kui soodne ka iga panus poleks. Edward Thorp sõnastab selle oma esimese teemakohase teoreemi osas (ii). Kui võit võrdub panusega, jääb nullkoht alati alla topelt Kelly panuse, olenemata võidu tõenäosusest. Vajuta Topelt Kelly, 1 000: keskmine kapital on 2,65×10³³ ja mediaan 0,0866. Kohal f = 0 on kõverate vahe ligikaudu pool ühe mängu tootluse dispersioonist. Seda poole dispersiooni suurust kasvukadu mõõdab tegelike portfellide puhul õppetükk kapitali langus ja volatiilsusest tingitud kasvukadu. Kelly osakaalu juures on see vahe juba ligikaudu sama suur kui kasv ise.

Poole Kelly panusega säilib kolmveerand kasvumäärast 🖖

Vajuta Pool Kelly panust. Panustades 0,2 asemel 0,1 kapitalist, vähendad iga panust poole võrra ja säilitad 74,7% kasvumäärast. Kõver g(f) on tipu juures lauge, nii et esimene samm tipust allapoole maksab vähe. Tabelist näed väiksema panuse kasu: tõenäosus olla 100 mängu järel algkapitalist allpool langeb 17,9%-lt 6,4%-le. Kelly tulemus kehtib endiselt: tema panusega mängija „jõuab tõenäosusega üks lõpuks ette ja jääb ette” iga teise kindla panuseosaga mängijast. Selleks võib aga kuluda palju aega. Samade 100 mängutulemuste korral lõpetab Kelly panusega mängija poole Kelly panusega mängijast ees 69,7% juhtudest, pärast 1 000 mängu 94,3% juhtudest. Thorpi järgi säilitab pool Kelly panust kolmveerandi kasvumäärast; kui võit võrdub panusega, ei säili kunagi rohkem. Thorp kuulis Kelly artiklist Claude Shannonilt MIT-s 1960. aastal, rakendas seda blackjack’i laudades ning tutvustas meetodit mängijatele 1962. aastal raamatus Beat the Dealer. Ta märkis, et praktikas korrigeeritakse panust tavaliselt väiksemaks. Kelly osakaal maksimeerib ka kapitali logaritmi keskväärtust, Daniel Bernoulli mõõdupuud Peterburi mängust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mündi tõenäosused: hinnanguliselt 60–40, tegelikult 55–45. 4 sammu
Hindad võidu tõenäosuseks p = 0,6 ja panustad sellele vastava Kelly osakaalu mängus, kus võit võrdub panusega. Tegelik tõenäosus on 0,55. Mis juhtub sinu kasvumääraga ja millise tulemuse annaks pool Kelly panust? Vajuta esmalt Kelly osakaal: lehelt näed valitud panust ja eeldatavat kasvumäära.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lehel näidatud panus ja eeldatav kasvumäär:
  
  $f^{*} = p - q = 0.6 - 0.4 = 0.2, g (f^{*}) = + 0.02014$
2. Tegelik Kelly osakaal on p − q = 0,10, seega on 0,2 õigest panusest kaks korda suurem. Kasvumäär tegeliku p korral:
  
  $0.55 ln 1.2 + 0.45 ln 0.8 = - 0.00014$
3. Pool sinu arvutatud Kelly panust ehk 0,1 on täpselt tegelik Kelly osakaal:
  
  $0.55 ln 1.1 + 0.45 ln 0.9 = + 0.00501$
4. Kui sinu hinnang 0,6 oleks olnud õige, oleks pool Kelly panust siiski säilitanud
  
  $\frac{0 . 6 ln 1 . 1 + 0 . 4 ln 0 . 9}{0 . 02014} = \frac{0 . 01504}{0 . 02014} = 74 . 7%$
Vastus

Tegeliku p korral on sinu valitud Kelly panuse kasvumäär −0,00014 mängu kohta. Mäng, kus sul on 10% eelis ja panus sinu hinnangul optimaalne, teeb sind peaaegu kindlasti vaesemaks. Poole Kelly panuse kasvumäär on +0,00501, mis on suurim võimalik väärtus p = 0,55 korral. Kui sinu hinnang oleks olnud õige, loobuksid sellega veerandist kasvumäärast. Võidu tõenäosuse ülehindamisest viie protsendipunkti võrra piisab, et sinu arvutatud Kelly täispanus ületaks nullkasvu piiri, mis p = 0,55 korral on 0,1987. See ebasümmeetria on tavapärane põhjus panustada vaid osa Kelly panusest.

$p = 0.55 : g (0.2) = - 0.00014 < 0 < g (0.1) = 0.00501; f_{c} = 0.1987 < 0.2$

Õpitee

Õiglased mängud, mis sind laostavad

Allikad (2)

The paper the page is named after: a gambler betting a fraction ℓ of his capital on an even-money channel symbol has growth G = q log(1 + ℓ) + p log(1 − ℓ), maximised at 1 + ℓ = 2q, that is ℓ = q − p; betting everything maximises the expected capital, "(2q)^N V₀", but "he would be broke with probability one if he continued indefinitely"; and the maximising gambler "will, with probability one, eventually get ahead and stay ahead" of one using any other fraction. Kelly's p is the chance of an error and q of a correct symbol, the reverse of the page's p and q: J. L. Kelly, Jr., A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal 35(4), 917–926 (July 1956). doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
The practitioner's account: the coin-tossing case with g(f) = p log(1 + f) + q log(1 − f), f* = p − q, the zero-growth stake f_c with f* < f_c < 1, Theorem 1 (part (ii): if g(f) < 0 the bankroll tends to 0 almost surely; part (iv): Kelly beats any essentially different strategy), betting everything as the 'bold' criterion that makes ruin almost sure, half Kelly's growth reduced to 3/4 of the maximum in the continuous approximation, and Thorp's own history: introduced to Kelly's paper by Claude Shannon at MIT in 1960, used it in play, and introduced it to gamblers in the first edition of Beat the Dealer (1962), with stakes 'modified somewhat in practice (generally down)': E. O. Thorp, The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market. Chapter 9 in S. A. Zenios and W. T. Ziemba (eds.), Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1, pp. 385–428. Elsevier, 2006. doi:10.1016/S1872-0978(06)01009-X

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.