Loto matemaatika

Määra n, k ja auhindade summad. Tööriist arvutab kõik tõenäosused valemist C(n,k), oodatava väärtuse iga astme kohta ning sinu eluaegse jackpoti tõenäosuse.

Näidisarvutus — Loto matemaatika

Aastaid 50% jackpoti tõenäosuseni	1.9M years
Jackpoti tõenäosus	1 in 139 838 160
Kombinatsioone kokku	139 838 160
Tagasimakseprotsent	28.6%
OV / pilet	€-0.857
Tasuv jackpot	€134.9M
Tagasimakse mängijatele	28.6%
Operaatori marginaal	71.4%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

oodatav väärtus ja 292 miljoni aasta probleem 🖖

Powerballi jackpoti tõenäosus on üks 292 201 338-st — tuleb tabada 5 numbrit 69-st ja seejärel Powerball eraldi 26-kuulisest trumlist; C(69,5) × 26 annabki selle täpse arvu. Ühe piletiga nädalas näitab geomeetriline jaotus, et keskmiselt tuleks jackpoti võiduks oodata umbes 5,6 miljonit aastat. Rohkemate piletite ostmine ei muuda seda kuigivõrd: 10 piletit nädalas lühendab ooteaega vaid 560 000 aastani, sest tõenäosused kasvavad lineaarselt, samal ajal kui iga pileti oodatav väärtus jääb negatiivseks — auhinnafond ei maksa kunagi täielikult tagasi seda, mis piletimüügist koguti. Loto ei ole halb investeering; see ei ole üldse investeering.

kaks loteriid, erinevad reeglid, ühesugused šansid 🖖

Põhiolemuselt see tööriist lihtsalt loeb: iga kehtiv pilet on üks kombinatsioon, kõik on võrdselt tõenäolised, seega on šanss üks jagatud selle arvuga. Varjatuks jääb see, kui erinevalt kaks mängu võivad sama arvuni jõuda. Saksa 6/49 tõmbab kuus kuuli 49 seast ja lisab Superzahli kümne seast: 13 983 816 × 10. EuroMillions tõmbab viis 50 seast ja lisab kaks tähte kaheteistkümne seast: 2 118 760 × 66. Mõlemad annavad täpselt 139 838 160 võimalikku piletit — mitte ligikaudu, vaid täpselt, sest C(49,6) on 6,6 korda C(50,5) ja 66 on 6,6 korda 10. Kaks komisjoni kahes riigis ja täpselt sama palju viise kaotada.

mees, kes ostis ära terve loterii 🖖

Aastal 1992 võttis matemaatik Stefan Mandeli juhitud sündikaat sihikule Virginia loterii, kus oli vaid C(44,6) = 7,059,052 võimalikku piletit hinnaga $1 tükk, samal ajal kui jackpot oli kuhjunud umbes $27 miljonini. Kui auhinnafond ületab kõigi kombinatsioonide ostmise kulu, muutub oodatav väärtus positiivseks — nii nad üritasidki need kõik ära osta. Nad jõudsid õigeks ajaks trükkida umbes 5 miljonit piletit ja võitsid. Sarnast jõulist kombinatoorikat kasutades võitis Mandel loteriisid 14 korda.

Kuus loteriid, üks valem

Powerballi põhiloos on kergem kui Saksa 6/49 oma

Viie numbri tabamine 69 seast on kergem kui kuue tabamine 49 seast — 1 : 11 238 513 vastu 1 : 13 983 816. Kogu Powerballi lisaraskus tuleb teisest trumlist. Just seda näitab allolev jaotus: jackpot on põhiloos korrutatuna boonusega, ja mängu kavandajad kauplevad neid teineteise vastu.

Loterii	Loos	Põhiloos, 1 :	Boonustegur	Jackpot, 1 :
UK Lotto	6/59	45 057 474	—	45 057 474
Viking Lotto	6/48 + 1/8	12 271 512	×8	98 172 096
Saksa Lotto 6/49	6/49 + 1/10	13 983 816	×10	139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	2 118 760	×66	139 838 160
Eurojackpot	5/50 + 2/12	2 118 760	×66	139 838 160
USA Powerball	5/69 + 1/26	11 238 513	×26	292 201 338

Loe kaht keskmist veergu teineteise vastu. EuroMillionsil on kuuest kaugelt kergeim põhiloos — 1 : 2 118 760, kakskümmend korda kergem kui Briti oma — ja ometi jõuab ta raskeimate jackpottide sekka, sest kaks tähte korrutavad arvu 66-ga. UK Lotto on siin ainus mäng ilma teise trumlita, ja just seepärast on tema jackpot kõige kättesaadavam. Kolm kuuest langevad numbripealt kokku arvul 139 838 160: 6/49 ja EuroMillions jõuavad sinna vastassuundadest, ja Eurojackpotil on alates 2022. aastast EuroMillionsiga sama ülesehitus. Võrdus on täpne, mitte ligilähedane — C(49,6) on 6,6 korda C(50,5) ja 66 on 6,6 korda 10. Iga tabeli arv tuleb samast C(n,k)-st, mida kasutab tööriist, ja iga jackpoti veerg kontrollitakse ehituse ajal mängu avaldatud tõenäosuste vastu.

Allikad (5)

UK Lotto prize-tier odds — jackpot 1 in 45,057,474, five plus bonus 1 in 7,509,579: Lottery.co.uk, Lotto Odds
Powerball 1 in 292,201,338: Multi-State Lottery Association, Powerball prizes and odds
EuroMillions 5 of 50 plus 2 Lucky Stars of 12: EuroMillions, Odds of Winning
That players really do avoid recently drawn numbers, measured on actual ticket sales: C. T. Clotfelter and P. J. Cook, "The ‘Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play." Management Science 39(12), 1521–1525, 1993.
Why a short run is expected to look like a long one, which is the error underneath it: A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin 76(2), 105–110, 1971.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kuus numbrit 49 hulgast ja Superzahl kümnest Saksamaa lotos 5 sammu
Saksamaa loto: kuus arvu 49-st pluss Superzahl kümnest. Arvuta välja tõenäosus ja vasta seejärel ausale küsimusele — kui suur peab jackpot olema, et piletit tasuks osta?
1. Kuue põhiarvu puhul ei ole järjekord oluline, seega on tegemist kombinatsiooniga: järjestatud võimaluste arv jagatud 720 viisiga, kuidas samad kuus arvu võiksid tulla.
  
  $(6 49) = \frac{49 !}{6 ! 43 !} = 13983816$
2. Superzahl loositakse eraldi, mistõttu võimalused korrutatakse, mitte ei liideta. Kümme sõltumatut tulemust lisaks peaaegu neljateistkümnele miljonile.
  
  $\times 10 Superzahl ⟹ 139838160 outcomes$
3. Oodatav tootlus on see, mida korraldaja tagasi maksab, ning 28,6% 1,20 € piletist teeb 34 senti. Ülejäänu on kahjum.
  
  $E [return] = 0.286 \times 1.20 = 0.343 ⟹ E [profit] = - 0.857 per ticket$
4. Seega on pileti oodatav kulu iga kord 0,857 € ja ükski strateegia seda arvu ei muuda — sünnipäevade valimine, eelmise nädala numbrite vältimine ja sündikaatides ostmine jätavad selle kõik täpselt samaks.
5. Et oodatav tulu jõuaks tasuvuspunkti, peaks jackpot üksinda selle puudujäägi katma, mis nõuab umbes 135 miljonit eurot.
  
  $break-even : J \times \frac{1}{139 838 160} must cover the shortfall \Rightarrow J \approx 134.9 M$
Vastus

Tööriist kuvab 1 : 139 838 160, 28,6% tagasimaksemäära ja eeldatava kahjumi 0,857 € pileti kohta. Kaks järeldust on väärtuslikumad kui tõenäosus ise. Esiteks, umbes 134,9 mln euro suurune tasuvuspunkti jackpot saavutatakse mõnikord — ning isegi siis pole pilet hea panus, sest jagatud jackpot poolitab võidu, samal ajal kui tõenäosus jääb samaks. Teiseks, üks pilet nädalas annab 50% võimaluse jackpoti võitmiseks alles umbes 1,9 miljoni aasta pärast. Arv, mis pileteid müüb, on võidusumma; arv, mis nende üle otsustab, on 28,6%, ja seda ei trükita ühelegi piletile.

$N = (6 49) \times 10 = 139838160; E = - 0.857 per 1.20 ticket$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-14

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →