Koonduvusraadius

Funktsiooni 1/(1 + x²) Taylori rida a ümbruses koondub vaid raadiuses R punktist a. Muuda astet, punkti x₀ ja keskpunkti ning jälgi reaalteljel asuvat graafikut ja komplekstasandit korraga: tasandil asuv ketas määrab, kus kõverat saab usaldada.

Näidisarvutus — Koonduvusraadius

Koonduvusraadius R	1,000000
Kus rida koondub	−1,000000 < x < 1,000000
Kaugus x₀-ni raadiustes	1,1000
80. astme polünoom kohal x₀	1121,975
Funktsiooni väärtus kohal x₀	0,4524887
Polünoomi viga	1121,522
Vea ülempiir	1515,693
Osasummade keskmine kuni 80. astmeni	1,774285

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Koonduvusraadius

Astmerea Σ c_n(x − a)ⁿ koonduvusraadius on arv R, mille puhul rida koondub, kui |x − a| < R, ja hajub, kui |x − a| > R. Funktsiooni 1/(1 + x²) jaoks on R kaugus punktist a komplekstasandi lähima punktini, kus funktsioon muutub lõpmatuks, ehk punktini i või −i. Seega R = √(1 + a²).

Mida iga sümbol tähendab

R: koonduvusraadius punkti a ümbruses, |a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i); selle absoluutväärtus |x − a|/R näitab, mitme raadiuse kaugusel x keskpunktist asub

Kust valem tuleb

Kust kordajad tulevad. Jaga 1/(1 + z²) osadeks: (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)]. Mõlemad osad on geomeetrilised read punkti a ümbruses: 1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹, mis koondub täpselt siis, kui |z − a| < |a − i|. Teine osa teeb sama punktiga a + i, mis asub samal kaugusel. Seetõttu lakkavad mõlemad koondumast, kui R = √(1 + a²).
Miks viga on q aste. Kui geomeetriline rida lõpetada pärast N + 1 liiget, jääb selle jäägiks q^N+1 korda kogu rida. Seega f(x) − T_N(x) = Im[q^N+1/(x − i)] on täpne väärtus. Selle suurus on ülimalt |q|^N+1/√(1 + x²): see kahaneb nagu geomeetriline jada, kui |q| < 1, kasvab nagu geomeetriline jada, kui |q| > 1, ning piiril |q| = 1 see ei kahane ega kasva.

Reaalteljel ei ole kuskil probleeme, aga rida hajub ikkagi kohal 1 🖖

Vajuta Veidi üle 1. Funktsioon 1/(1 + x²) on nii taltsas kui üks funktsioon üldse olla saab: see on alati positiivne, ei ületa kunagi väärtust 1 ning sel on igas reaalpunktis olemas igat järku tuletis. Ometi annab 80. aste 0 ümbruses kohal x = 1,1 väärtuseks 1 121,975, samas kui kõvera tegelik väärtus on 0,4524887. Liikmete lisamine muudab olukorra ainult hullemaks: iga kahe astme lisamine korrutab vea 1,21-ga. Vajuta Veidi alla 1: 0,9 asub teispool 1 täpselt sama kaugel ja seesama aste eksib vaid 9,777×10⁻⁵ võrra. Miski kohal x = 1 ei selgita seda erinevust, sest kõver läbib väärtuse ½ täiesti sujuvalt. Küll aga annab vastuse alumine paneel. Kui asendada x kompleksarvuga z, siis 1/(1 + z²) muutub lõpmatuks seal, kus z² = −1, ehk punktides i ja −i. Need mõlemad asuvad keskpunktist täpselt kaugusel 1.

Raadius on alati kaugus punktini i, olenemata rea keskpunktist 🖖

Lohista alumisel paneelil keskpunkti a piki reaaltelge. Ketas kasvab ja kahaneb nii, et selle serv läbib alati punkte i ja −i, R = √(1 + a²), ning ülemisel graafikul olev viirutatud riba on ketta vari reaalteljel. Vajuta Keskpunkt 1: R = 1,414214, mis tähendab, et rida koondub vahemikus −0,414214 kuni 2,414214. Kohal x = 2, kus rida 0 ümbruses andis 9,671×10²³, eksib 80. aste nüüd vaid 2,728×10⁻¹³ võrra. Kummaski vahemiku otsas pole reaalteljel midagi erilist. Igaüks neist märgib vaid kohta, kus punkti 1 ümbritsev ja kahte poolust läbiv ringjoon satub reaalteljega lõikuma.

Ringjoonel rida ei rahune ega kasva ka üle piiri 🖖

Vajuta Ringjoonel. Kohal x = 1 muutub rida 0 ümbruses kujule 1 − 1 + 1 − 1 + …, mis on tuntud kui Grandi rida. Astmete kaupa on selle osasummad 1, 1, 0, 0, 1, 1, … ning need ei rahune kunagi ühte punkti ega kasva ka üle piiri. Funktsiooni väärtus seal on ½. Tulemuste viimane rida arvutab osasummade keskmise, ja see keskmine, mis on 80. astmel 0,5061728, lähenebki täpselt väärtusele ½.

Ülesanne täielikult lahendatud

Rida hajub kohal x = 1. Kas ka selle integraal? 4 sammu
Integreeri 80. astme polünoomi vahemikus 0 kuni 1 liikmete kaupa ja võrdle seda tegeliku pindalaga funktsiooni 1/(1 + x²) all. Kohal x = 1 ei rahune rida ise kunagi. Mis juhtub aga pindalaga?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Tegelik pindala on arkustangent:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. Liikmete kaupa integreerides saab igast x^2k-st 1/(2k + 1):
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. Nende vahe on vea integraal, mille geomeetriline rida annab täpselt, ja 1/(1 + x²) asub lõigul [0, 1] väärtuste ½ ja 1 vahel:
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. See piir läheneb astme kasvades nullile, seega paaritute pöördväärtuste vahelduv rida koondub, ja just nimelt väärtuseks π/4:
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
Vastus

Pindala koondub seal, kus rida seda ei teinud: väärtuseks 0,7914948 versus π/4 = 0,7853982, ning iga lisanduv astmete paar vähendab vahet. See koondub aga aeglaselt, sest viga pärast n liiget on ligikaudu 1/(4n). Seega kulub miljondiku suuruse vea saavutamiseks umbes 250 000 liiget. Ühtlasi koondub see vaid tingimisi, kuna 1 + ⅓ + ⅕ + … hajub, mis on täpselt seda tüüpi rida, mille puhul Riemann näitas, et selle liikmeid saab ümber järjestada nii, et summa tuleks mis tahes soovitud arv. Samas 1854. aasta essees märkis ta, et muutuja astmete read koonduvad absoluutselt, välja arvatud muutuja teatud üksikute väärtuste korral; x = 1 on üks neist väärtustest.

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

Õpitee

Lõpmatud read ja koondumine

Allikad (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.