Hooke'i seadus ja vedrulabor

Uuri reaalajas jõudu, vedru jäikustegurit, nihet, salvestatud elastset energiat ning jada- ja rööpühendusega vedrusid.

Näidisarvutus — Hooke'i seadus ja vedrulabor

Jäikustegur k	10 N/m
Jäikustegur k₁	10 N/m
Jäikustegur k₂	10 N/m
Mass m	0.1 kg
Summutustegur c	0.00 N·s/m
Nihe x	-0.45 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Lähedalt vaadates näeb iga stabiilne süvend välja nagu vedru 🖖

Hooke'i seadus F = -kx kirjeldab materjalide lineaarset elastset käitumist deformatsiooni all. Miinusmärk tähistab taastavat jõudu, mis lükkab süsteemi tagasi tasakaaluasendi poole. Aatomi tasandil on Hooke'i seadus esimese järgu lähendus Lennard-Jonesi potentsiaalele, mis reguleerib aatomitevahelisi keemilisi sidemeid. Stabiilse potentsiaaliaugu põhja lähedal on potentsiaalse energia kõver ligikaudu ruutvõrrandiline: U = 1/2 kx². See ruutenergia seisund tähendab, et igasugune väike häiring põhjustab lihtsa harmoonilise võnkumise, kus sagedus on amplituudist sõltumatu.

Jäikus ja kuidas vedrud koos töötavad 🖖

Hooke'i seadus ütleb lihtsalt, et vedru surub tagasi jõuga, mis on otseses võrdes sellega, kui palju seda venitad või kokku surud – vedrukonstant k ongi tema jäikus njuutonites meetri kohta. Süsteemide režiim toob esile toreda üllatuse: kaks ühesugust vedru kõrvuti (rööbiti) kahekordistavad jäikuse, ent samad kaks otsakuti ühendatuna (jadamisi) on vaid poole nii jäigad. Vedrude ahelasse ühendamine teeb need pehmemaks, mitte tugevamaks.

Hooke peitis oma seaduse anagrammi 🖖

Aastal 1676 ei tahtnud Robert Hooke oma avastust veel avaldada, seega esitas ta selle segipaisatud ladinakeelse anagrammina: ceiiinosssttuv. Kaks aastat hiljem harutas ta selle lahti – ut tensio, sic vis, „nagu venitus, nõnda jõud“. Ta kaitses oma prioriteeti, tegeledes samal ajal vedruajamiga kellade ehitamisega. Seesama lineaarne seadus peitub tänapäeval köögikaaludes, autode vedrustuses ja pöördega pastaka klõpsatuses.

HOOKE’I SEADUS — MILLINE KÜSIMUS JA KUIDAS ON VEDRUD ÜHENDATUD?

Millise vedrujuhtumiga on tegemist?

Vedru kannab üht arvu, oma jäikust k, ja kõik ülejäänu sõltub sellest, mida te temalt küsite. Tõmmake, ja jõud on kx. Hoidke seal, ja salvestatud energia on ½kx², mis kasvab venituse ruuduga, mitte sellega ühes taktis. Laske lahti, ja seesama k muutub kellaks. Ja kui kaks vedru töötavad koos, sõltub ainult ühendusviisist, kas liituvad nende jäikused või nende järeleandlikkused.

Te tahate jõudu — sirge läbi alguspunkti F = kx

Te tahate salvestatud energiat — parabool, seega kasv ruuduga E = ½kx²

Te lasete lahti — vedru muutub kellaks ω₀ = √(k/m)

Kaks vedru kõrvuti — jäikused liituvad k_eq = k₁ + k₂

Kaks vedru järjestikku — paar on pehmem kui kumbki eraldi 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Te tahate jõudu — sirge läbi alguspunkti

Mida te teate: Üks vedru ja üks nihe. F = kx: jõud on võrdeline sellega, kui kaugele ots on tasakaaluasendist liikunud, ja see tõmbab tagasi.

Seos: F = kx

Näidisarvutus: k = 100 N/m, venitatud x = 0,3 m → F = 100 × 0,3 = 30 N

Ava see juhtum: Jõud vs nihe

Te tahate jõudu — sirge läbi alguspunkti. Jõud nihke suhtes on sirge, mille tõus on jäikus. Üks vedru ja üks nihe. F = kx: jõud on võrdeline sellega, kui kaugele ots on tasakaaluasendist liikunud, ja see tõmbab tagasi. — Jõud nihke suhtes on sirge, mille tõus on jäikus.

Te tahate salvestatud energiat — parabool, seega kasv ruuduga

Mida te teate: Töö lineaarselt kasvava jõu vastu on selle sirge alune pindala, mis tuleb ½kx². Kaks korda suurem venitus salvestab neli korda rohkem energiat.

Seos: E = ½kx²

Näidisarvutus: k = 150 N/m, hoituna kohal x = −0,4 m → E = ½ × 150 × 0,16 = 12 J; poole väiksema nihke juures ainult 3 J

Ava see juhtum: Vedru energia

Te tahate salvestatud energiat — parabool, seega kasv ruuduga. Salvestatud energia on jõusirge alune pindala: parabool nihke järgi. Töö lineaarselt kasvava jõu vastu on selle sirge alune pindala, mis tuleb ½kx². Kaks korda suurem venitus salvestab neli korda rohkem energiat. — Salvestatud energia on jõusirge alune pindala: parabool nihke järgi.

Te lasete lahti — vedru muutub kellaks

Mida te teate: Paigalt lahti lastuna võngub mass sagedusega ω₀ = √(k/m), ükskõik kui kaugele te tõmbasite. Sumbuvus c otsustab ainult selle, kui kiiresti võnge vaibub.

Seos: ω₀ = √(k/m)

Näidisarvutus: k = 120 N/m ja m = 1,5 kg → ω₀ = 8,944 rad/s, seega T = 0,702 s ja f = 1,42 Hz. Kui c = 0,3, on sumbuvustegur ζ = 0,011 — praktiliselt sumbumata.

Ava see juhtum: Sumbuv võnkumine

Te lasete lahti — vedru muutub kellaks. Mass võngub kiirusega, mille määravad ainult k ja m; sumbuvus vaid kahandab mähispinda. Paigalt lahti lastuna võngub mass sagedusega ω₀ = √(k/m), ükskõik kui kaugele te tõmbasite. Sumbuvus c otsustab ainult selle, kui kiiresti võnge vaibub. — Mass võngub kiirusega, mille määravad ainult k ja m; sumbuvus vaid kahandab mähispinda.

Kaks vedru kõrvuti — jäikused liituvad

Mida te teate: Mõlemad vedrud katavad sama vahe, seega venivad mõlemad sama x võrra ja kumbki panustab oma jõu. Paar käitub kui üks vedru jäikusega k₁ + k₂.

Seos: k_eq = k₁ + k₂

Näidisarvutus: k₁ = 80 N/m ja k₂ = 120 N/m rööbiti → the pair acts as 200 N/m, nii et 0,25 m venitus nõuab 50 N

Ava see juhtum: Rööpühendusega vedrud

Kaks vedru kõrvuti — jäikused liituvad. Mõlemad vedrud venivad võrdselt, seega liituvad nende jõud igal x-il. Mõlemad vedrud katavad sama vahe, seega venivad mõlemad sama x võrra ja kumbki panustab oma jõu. Paar käitub kui üks vedru jäikusega k₁ + k₂. — Mõlemad vedrud venivad võrdselt, seega liituvad nende jõud igal x-il.

Kaks vedru järjestikku — paar on pehmem kui kumbki eraldi

Mida te teate: Sama jõud läbib mõlemat vedru, seega venib kumbki oma jagu ja kaks venitust liituvad. Liituvad jäikuste pöördväärtused.

Seos: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Näidisarvutus: Kaks 150 N/m vedru jadamisi → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair. Kokku 0,25 m juures venib kumbki 0,125 m ja jõud on 18,75 N.

Ava see juhtum: Jadaühendusega vedrud

Kaks vedru järjestikku — paar on pehmem kui kumbki eraldi. Sama jõud läbib mõlemat, seega venitused liituvad ja paar on pehmem. Sama jõud läbib mõlemat vedru, seega venib kumbki oma jagu ja kaks venitust liituvad. Liituvad jäikuste pöördväärtused. — Sama jõud läbib mõlemat, seega venitused liituvad ja paar on pehmem.

Allikad (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

Ülesanne täielikult lahendatud

Kaks 150 N/m vedru ühendatud otsast otsa, venitatud kokku 0,25 m 5 sammu
Kaks otsapidi ühendatud 150 N/m vedrut, mida on kokku venitatud 0,25 m. Leia vedrupaari jäikus, tõmbejõud ja selles salvestunud energia. See on Mitu vedrut konfiguratsioonis Vedrud jadas, kus k₁ = k₂ = 150 N/m ja mass on 0,1 kg.
1. Alusta sellest, mis on kahel vedrul ühine. Venitatud vedru tõmbab mõlemast otsast võrdse jõuga, seega on tõmbejõud, mille esimene vedru teisele edasi annab, sama tõmbejõud, mida tunneb sein. Jõud on mõlemale vedrule ühine; pikenemine aga mitte.
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. Liituvad pikenemised, sest kogupikenemine on kahe pikenemise summa otsast otsani. Ühise jõuga läbijagamisel liituvad pöördväärtused, ning just pöördväärtuste liitumine on põhjus, miks vedrupaar tuleb pehmem kui kumbki vedru eraldi.
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. Vedrupaar käitub nüüd nagu üksik 75 N/m vedru antud 0,25 m pikenemise korral. Kumbki vedru avaldab täielikku jõudu, tehes ise vaid poole pikenemisest — paneel ümardab väärtuse 18,75 N väärtuseks 18,8 N.
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. Energia on jõu ja pikenemise graafiku alune pindala, seega järgib see suurust k_eq täpselt samamoodi nagu jõud. Vedrude vahel jagatuna on see kaks võrdset osa suurusega 1,172 J. Üksik 150 N/m vedru samale 0,25 m pikenemisele viiduna sisaldaks 4,688 J ehk kaks korda rohkem, sest selle pikenemiseni jõudmiseks on vaja kaks korda suuremat jõudu.
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. Jäikuse poolitamine ei poolita perioodi. Jäikus asub ruutjuure all, seega kulub vedrupaaril √2 korda kauem aega kui need 0,162 s, mis kuluks samal massil üksikul vedrul.
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
Vastus

Tööriist kuvab k_eq = 75,0 N/m, taastejõuks 18,8 N, salvestatud energiaks 2,344 J ja perioodiks 0,229 s. Loe jadaühenduse reeglit tagurpidi ja see ütleb midagi üksiku vedru kohta: iga vedru koosneb kahest omaenda poolest jadas, seega peab kumbki pool olema kaks korda jäigem kui terve vedru. Jäikus on pöördvõrdeline vabapikkusega ning pooleks lõigatud vedru ei ole mitte nõrgem vedru, vaid jäigem — mis on ühtlasi nii odav viis vedrustust jäigemaks muuta kui ka tavaline viis seda rikkuda. Samuti annab see ilma algebrata 2. sammu selgituse: kahe identse vedru otsapidi ühendamine pole midagi muud kui kahekordse pikkusega vedru ehitamine.

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

Õpitee

Ühest vedrust seisulaineni

Viib edasi Resonants

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →