Harmoonilise võnkumise resonantslabor

Reguleeri massi, vedrukonstanti, summutust ja sundvõnkumise sagedust, et näha resonantsi, faasinihet ja amplituudi võimendust reaalajas.

Näidisarvutus — Harmoonilise võnkumise resonantslabor

Faasinihe φ	1.5708 rad≈90.0∘

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Üks arv määrab nii selle suuruse kui ka kestuse 🖖

Tööriista kaks sundvõnkumise eelseadistust erinevad ainult rütmi poolest: mass, vedru, sumbuvus ja jõud 1,2 on samad. Muutub üksnes sundiva jõu nurksagedus, 4,00 rad/s asemel 2,2 rad/s. Sellest piisab, et võimendusteguri M näit langeks 6,667-lt 1,424-le ehk 4,68 korda. Resonantsi korral on M täpselt 1/(2ζ), mistõttu tekitab staatiline nihe 0,0750 m siin võnkeamplituudi 0,5000 m. Sama 1/(2ζ) määrab ka ooteaja. Amplituudi mähise ajakonstant on 3,333 s ja võnkeperiood 1,571 s, seega kulub 95%-ni täisamplituudist jõudmiseks ligikaudu 6,4 võnketsüklit, mis on üsna lähedal arvule 6,667. Sajakordse võimendusega resonants vajab väljakujunemiseks umbes sada tsüklit. Seepärast tuleb veiniklaasi purustamiseks laulda õiget nooti ühtlaselt, mitte lihtsalt kõvasti karjuda.

Resonants on lihtsalt hea ajastus 🖖

See tööriist räägib tegelikult ajastusest. Igal vedru otsas oleval massil on üks omavõnkesagedus ω₀, millega ta 'tahab' võnkuda. Lükka teda just selles rütmis — nagu kiike õigel hetkel hoogu andes — ja iga väike tõuge lisab energiat, nii et amplituud X kasvab palju suuremaks, kui püsiv jõud kunagi tekitaks. Võimendus M mõõdab seda kasvu ning ainult sumbumine hoiab selle kontrolli all. Resonantsis jääb liikumine jõust täpselt 90° võrra maha.

Tipp jääb allapoole omavõnkesagedust 🖖

Resonantsikõverat joonistades ootaksid selle kõrgeimat punkti kohas ω = ω₀. Tegelikult mitte: hälbe amplituud saavutab maksimumi veidi madalamal, kohas ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²). Veelgi imelikum: kui sumbetegur ületab ζ = 1/√2 ≈ 0,707 — ammu enne kriitilist sumbumist ζ = 1 juures — kaob see tipp sootuks ja kõver lihtsalt langeb. Süsteem võib olla nõrgalt sumbutatud ja ometi ilma resonantsitiputa.

VÕNKESÜSTEEMID — KUI PALJU SUMBUVUST JA KAS SA SUNNID TEDA OMASAGEDUSEL?

Milline võnkumise juhtum on sinu oma?

Iga vedrul rippuva massi käitumise otsustab kaks küsimust. Esiteks: kuidas suhestub sumbetegur c kriitilise väärtusega 2√(mk)? Sellest allpool süsteem võngub, täpselt sellel naaseb kõige kiiremini üle põrkamata, sellest ülalpool roomab tagasi. Teiseks: kas miski sunnib teda? Sundvõnkumisel on oma vastus, ja see sõltub sellest, kui lähedal on sundiv sagedus väärtusele ω₀ = √(k/m).

Sumbuvust pole — võngub igavesti c = 0, ω₀ = √(k/m)

Kriitiline sumbuvus — kiireim tagasitulek ilma ülepõrketa c = 2√(mk)

Ülesumbunud — võnkumist pole, aga aeglane c > 2√(mk)

Sundimine resonantsis — väike tõuge, suur amplituud ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Sundimine resonantsist eemal — sama jõud teeb palju vähem ω ≠ ω₀

Sumbuvust pole — võngub igavesti

Mida sa tead: c = 0 ja miski ei sunni. Energia lihtsalt liigub vedru ja massi vahet edasi-tagasi ning amplituud ei muutu kunagi.

Sumbuvus: c = 0, ω₀ = √(k/m)

Näidisarvutus: m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = √(k/m) = 4 rad/s, periood 1,57 s ja igal võnkel sama amplituud

Ava see juhtum: Summutamata vaba võnkumine

Sumbuvust pole — võngub igavesti. Sumbumata: puhas siinus sagedusel ω₀, tsüklist tsüklisse muutumatu. c = 0 ja miski ei sunni. Energia lihtsalt liigub vedru ja massi vahet edasi-tagasi ning amplituud ei muutu kunagi. — Sumbumata: puhas siinus sagedusel ω₀, tsüklist tsüklisse muutumatu.

Kriitiline sumbuvus — kiireim tagasitulek ilma ülepõrketa

Mida sa tead: c on täpselt 2√(mk). Süsteem naaseb tasakaalu lühima võimaliku ajaga ega ületa seda kordagi.

Sumbuvus: c = 2√(mk)

Näidisarvutus: m = 1, k = 16 → kriitiline c = 2√16 = 8 N·s/m. c = 8 juures kahaneb hälve nullini ilma ühegi võnketa

Ava see juhtum: Kriitiline summutus

Kriitiline sumbuvus — kiireim tagasitulek ilma ülepõrketa. Kriitiliselt sumbunud: lühim tagasitulek, mis joont kunagi ei ületa. c on täpselt 2√(mk). Süsteem naaseb tasakaalu lühima võimaliku ajaga ega ületa seda kordagi. — Kriitiliselt sumbunud: lühim tagasitulek, mis joont kunagi ei ületa.

Ülesumbunud — võnkumist pole, aga aeglane

Mida sa tead: c on suurem kui 2√(mk). Mõlemad lahendid kahanevad eksponentsiaalselt ja aeglasem neist määrab tagasituleku.

Sumbuvus: c > 2√(mk)

Näidisarvutus: Tõsta c üle 8, kui m = 1 ja k = 16: c = 20 juures kulub süsteemil paigalejäämiseks mitu korda rohkem aega kui c = 8 juures

Ava kriitiline juhtum ja tõsta c üle 8

Ülesumbunud — võnkumist pole, aga aeglane. Ülesumbunud: ei ületa joont, aga tagasitulek venib kriitilisest juhtumist tunduvalt pikemaks. c on suurem kui 2√(mk). Mõlemad lahendid kahanevad eksponentsiaalselt ja aeglasem neist määrab tagasituleku. — Ülesumbunud: ei ületa joont, aga tagasitulek venib kriitilisest juhtumist tunduvalt pikemaks.

Sundimine resonantsis — väike tõuge, suur amplituud

Mida sa tead: Perioodiline jõud sagedusel ω ≈ ω₀ nõrga sumbuvusega. Statsionaarse amplituudi määrab ainult sumbuvus, mitte jäikus.

Sumbuvus: ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Näidisarvutus: F₀ = 1,2 N sagedusel ω = 4 rad/s, c = 0,6 → amplituud 0,50 m staatilise hälbe F₀/k = 0,075 m vastu: võimendus 6,7

Ava see juhtum: Peaaegu resonantsis

Sundimine resonantsis — väike tõuge, suur amplituud. ω = ω₀ juures kerkib vastus staatilisest hälbest kordades kõrgemale. Perioodiline jõud sagedusel ω ≈ ω₀ nõrga sumbuvusega. Statsionaarse amplituudi määrab ainult sumbuvus, mitte jäikus. — ω = ω₀ juures kerkib vastus staatilisest hälbest kordades kõrgemale.

Sundimine resonantsist eemal — sama jõud teeb palju vähem

Mida sa tead: Sama jõud ja sama sumbuvus, aga sundiv sagedus on ω₀-st eemal. Vastus langeb mõlemal pool järsult.

Sumbuvus: ω ≠ ω₀

Näidisarvutus: Sama F₀ = 1,2 N sagedusel ω = 2,2 nelja asemel → amplituud 0,107 m, umbes viiendik resonantsivastusest

Ava see juhtum: Resonantsist väljas

Sundimine resonantsist eemal — sama jõud teeb palju vähem. Vii sundimine ω₀-st eemale ja sama jõud tekitab murdosa liikumisest. Sama jõud ja sama sumbuvus, aga sundiv sagedus on ω₀-st eemal. Vastus langeb mõlemal pool järsult. — Vii sundimine ω₀-st eemale ja sama jõud tekitab murdosa liikumisest.

Ülesanded täielikult lahendatud

1 kg 16 N/m vedrul, mida ergutatakse 4 rad/s 5 sammu
1 kg mass 16 N/m vedrul koos 0,6 N·s/m summutiga, mida sunnib võnkuma 1,2 N jõud nurksagedusel 4 rad/s. Leidke stabiilse oleku amplituud ja faasinihe — seejärel öelge, milline neljast sisendist tulemuse tegelikult määrab.
1. Viiest sisendist kaks määravad sageduse, mida see süsteem eelistab. Sundjõud satub täpselt sellele sagedusele, seega on suhe r täpselt 1, ning just see ainus kokkulangevus panebki kõik alljärgneva kummaliselt käituma.
  
  $ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 4 rad/s; r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{4}{4} = 1$
2. Summutussuhe mõõdab c-d kriitilise väärtuse 2√(km) = 8 N·s/m suhtes. Väärtusel 0,6 töötab süsteem 7,5% juures kriitilisest: nõrgalt summutatud, vabalt võnkuv.
  
  $ζ = \frac{c}{2 k m} = \frac{0.6}{2 16} = \frac{0.6}{8} = 0.075$
3. Võimendustegur sisaldab juure all kahte liiget — jäikusliiget ja summutusliiget. Kui r = 1, on jäikusliige täpselt null, sest vedrujõud ja inertsijõud tühistavad teineteise täielikult. Sundjõule seisab vastu veel vaid summuti.
  
  $M = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = 1 \frac{1}{2 ζ} = \frac{1}{0.15} = 6.667$
4. Skaleerige staatilist hälvet F₀/k = 0,075 m selle teguriga.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = \frac{1.2}{16} \times 6.667 = 0.075 \times 6.667 = 0.5 m$
5. Faasinihe väljendab neid samasid kahte liiget nurgana, mitte pikkusena. Kui jäikusliige on null, annab arktangens tulemuseks veerand pööret hoolimata sellest, milline ζ parajasti on: tugevalt summutatud ja vaevalt summutatud süsteem jäävad mõlemad siin maha täpselt 90°.
  
  $ϕ = atan2 (2 ζ r, 1 - r^{2}) = atan2 (0.15, 0) = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 90. 0^{\circ}$
Vastus

X = 0,5 m, veerand tsüklit jõust maas, ja sisend, mis kogu tulemuse määrab, on c. Resonantsiamplituudi valemit ümber kirjutades taanduvad nii k kui ka m välja: X = F₀/(cω₀) = 1,2/(0,6 × 4) = 0,5 m. Vedru ja mass on hõivatud energia omavahelise edasi-tagasi andmisega ning kummalgi pole mingit mõju sellele, kui kaugele keha võngub. Põhjuseks on 90° faasinihe. Kiirusega samas faasis olev jõud edastab võimsust pidevalt, mistõttu kujuneb stabiilne olek välja seal, kus summuti põletab energiat täpselt sama kiiresti, kui sundjõud seda juurde annab: keskmine sisendvõimsus F₀ωX/2 = 1,2 W keskmise hajumise cω²X²/2 = 1,2 W vastu, ja need kaks on võrdsed väärtusel X = 0,5 m ega kusagil mujal. Arvutage sama tasakaal perioodi kohta ja seosetust definitsioonist ilmub taas 6,667 — süsteem hoiab energiat kX²/2 = 2 J ning kaotab igal perioodil 1,885 J, ja 2π × 2/1,885 = 6,667. Võimendustegur ja hüvetegur on üks ja seesama arv kahe eri nime all.

$X = \frac{F _{0}}{k} \cdot \frac{1}{2 ζ} = \frac{F _{0}}{c ω _{0}} = \frac{1.2}{0.6 \times 4} = 0.5 m$
Sama mass ja sama vedru, mida ergutatakse 2,2 rad/s 4 asemel 5 sammu
Sama mass, sama vedru, sama summuti, sama 1,2 N jõud — kuid nurksagedusel 2,2 rad/s väärtuse 4 asemel. Leidke amplituud ja faasinihe ning otsustage, kas summutil on veel tähtsust.
1. Muutunud on ainult sundvõnkumise sagedus, seega ζ jääb puutumata ja r langeb väärtusele 0,55.
  
  $r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{2.2}{4} = 0.55, ζ = \frac{0.6}{8} = 0.075$
2. Kirjutage kaks juurealust liiget eraldi välja, sest nende suhtelised suurused annavad küsimusele vastuse. Summutusliige panustab 0,00681 liidete 0,48651 vastu — mis on 1,4% kogusummast.
  
  $(1 - r^{2})^{2} = (1 - 0.3025)^{2} = 0.697 5^{2} = 0.48651; (2 ζ r)^{2} = 0.082 5^{2} = 0.00681$
3. Liitke need ja võtke pöördväärtus.
  
  $M = \frac{1}{0.48651 + 0.00681} = \frac{1}{0.49331} = \frac{1}{0.70236} = 1.424$
4. Sama staatiline hälve, kuid palju väiksem võimendustegur.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = 0.075 \times 1.424 = 0.1068 m$
5. Faasinihe sõltub samast kahest liikmest ja kuna jäikusliige on taas määrav, kahaneb see 90°-lt 6,7°-le: mass liigub nüüd peaaegu samas faasis jõuga, mitte veerand tsüklit sellest maas.
  
  $ϕ = atan2 (0.0825, 0.6975) = 0.1177 rad = 6. 7^{\circ}$
Vastus

0,1068 m, 6,7° jõust maas — ja ei, summutil pole enam tähtsust. Eemaldage see: seadke c = 0 ja M väärtuseks saab 1/(1 - r²) = 1,4337, mis annab tulemuseks 0,1075 m. See on 0,7 mm viga 107 mm võnkeamplituudi juures ehk 0,7%. Suurus, mis määras kogu tulemuse nurksagedusel 4 rad/s, on sagedusel 2,2 vaid ümardamisviga — ning väärtusel r = 1 oleks sama eemaldamine viinud amplituudi lõpmatusse. Määravaks on selle asemel jäikusliige ja selle täpse tähenduse mõistmine tasub ära: staatiline hälve F₀/k = 0,075 m on 30% väiksem sellest, kui kaugele mass tegelikult võngub. Aeglane sunnitud võnkumine ei ole sama mis staatiline koormamine. Selleks et 1/(1 - r²) jääks 5% piiresse arvust 1, peab r olema alla 0,22, mis selle vedru puhul tähendab sundvõnkumise hoidmist alla 0,873 rad/s — ja ainult seal määrab tulemuse üksnes vedru.

$M (c = 0) = \frac{1}{1 - r ^{2}} = \frac{1}{0.6975} = 1.4337 (+ 0.7%); r = 1 : M (c = 0) \to \infty$

Õpitee

Ühest vedrust seisulaineni

Viib edasi Interferents arusaama sellest, mida need kaks suurust kellaga teevad.

Allikad (2)

The textbook example of resonance that is not resonance: K. Y. Billah and R. H. Scanlan, "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks." American Journal of Physics 59(2), 118–124, 1991 — the bridge failed by aeroelastic flutter, a self-excited instability, not by a periodic gust matching a natural frequency.
The driven oscillator, its phase lag and its Q, worked through: A. P. French, Vibrations and Waves, Chapter 4: Forced vibrations and resonance. W. W. Norton, 1971.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Summutamata vaba võnkumine - Sumbuvus puudub täielikult, seega ζ = 0 ning võnkumine omavõnkenurksagedusel ω₀ = 4 rad/s ei vaibu kunagi. Periood on 1,571 s ja energia kandub lõputult vedru potentsiaalse energia ning massi kineetilise energia vahel.
Kriitiline summutus - c = 8 võrdub täpselt suurusega 2√(km), seega ζ = 1 ehk sumbumine on kriitiline. Süsteem naaseb tasakaalu võimalikult kiiresti, ilma et sellest üle liiguks; ajakonstant on 0,250 s.
Peaaegu resonantsis - Sundiva jõu nurksagedus võrdub täpselt omavõnkenurksagedusega ω₀ = 4 rad/s ning ζ = 0,075, mistõttu M = 6,667 ehk 1/(2ζ). Nii kasvab staatiline nihe 0,0750 m võnkeamplituudiks 0,5000 m, kusjuures võnkumine jääb jõust 90° maha.
Resonantsist väljas - Sama süsteemi sundiva jõu nurksagedus on 4 rad/s asemel 2,2 rad/s: M langeb 6,667-lt 1,424-le ja faasinihe 90°-lt 6,7°-le. Muutus ainult rütm.