Nashi tasakaal kaks-korda-kaks-mängus

Sisesta kaheksa väljamakset. Rakendus märgib lahtritesse kummagi mängija parima vastuse. Kaks korda märgitud lahter on tasakaalupunkt. Seejärel lahendab rakendus ükskõiksuse tingimused segastrateegia tasakaalu leidmiseks.

Näidisarvutus — Nashi tasakaal kaks-korda-kaks-mängus

Mäng	Kanamäng
Tasakaalupunktid	3
Reamängija valib Ülemise	33,3%
Veerumängija valib Vasaku	33,3%
Segatasakaalu väljamakse	1,67 / 1,67
Mõlemad valivad Alumise	44,4%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Nashi tasakaal kaks-korda-kaks-mängus

Nashi tasakaal on strateegiate paar, üks kummalegi mängijale. Sellises olukorras ei saa kumbki osaleja oma tulemust parandada valikut üksi muutes. See väide puudutab ainult ühepoolseid otsuseid. Tasakaal ei tähenda, et saavutatud tulemus oleks tingimata hea, õiglane või mängijale parim. Segastrateegia tähistab kahe käigu tõenäosusjaotust. Segastrateegiate tasakaalu korral on mõlemad mängijad tahtlikult ettearvamatud. Sellised saavad nad aga olla vaid ühel täpsel sagedusel.

Mida iga sümbol tähendab

p: kui sageli valib reamängija oma ülemise rea
q: kui sageli valib veerumängija oma vasaku veeru

Eeldab: Et mõlemad mängijad teavad kogu tasude maatriksit, langetavad otsuse samal hetkel ega saa teineteisele midagi lubada. Igaüht neist eeldustest saab leevendada. Iga leevendus avab uue mänguteooria haru. Järjestikused mängud, mittetäielik informatsioon ja kooperatiivsed mängud annavad kõik samale kaheksale arvule erinevaid vastuseid.

Sinu enda tõenäosused ei ole sinu asi 🖖

Vaata samme 4 ja 5. Võrrand, mis määrab reamängija Ülemise valimise sageduse, sisaldab ainult veerumängija nelja arvu. Veerumängija sagedust määrav võrrand sisaldab ainult reamängija omi. Selleks segamine ongi. Sa valid oma sagedused nii, et vastasel poleks põhjust kumbagi oma valikut eelistada. Seega lahendad sa tema, mitte enda võrrandit. Kirjuta üle üks oma väljamaksetest ja jäta vastase oma rahule. Näed, et sinu enda protsent püsib muutumatuna täpselt selle punktini, kus sinu muudatus hävitab segatasakaalu täielikult ja kaardile ilmub puudub. Konks peitub selles teises pooles. Penaltilöögi puhul on kaks maatriksit omavahel kindlalt seotud, sest iga lööja võidetud punkt on väravavahi kaotatud punkt. Seega lööja, kes muutub tõeliselt paremaks, muudab neid mõlemaid ja tema enda jaotus muutub samuti. Tõsta tema kaitsmata löögi tabavust 95 pealt 99 peale ja langeta tasakaalustamiseks väravavahi 5 pealt 1 peale. Nüüd langeb tema Ülemise löömise sagedus 36,4% pealt 33,9% peale.

Oskuste paranemine võib seisu halvendada 🖖

Vajuta Kanamäng, seejärel Kanamäng, julgus maksab. Üks arv muutus ja see kuulub reamängijale. Külma närvi hoidmine kõrvalekeeraja suhtes annab nüüd 5 asemel 12. Nende enda käitumine ei muutu ja nad keeravad endiselt 33,3% ajast kõrvale, kuid nende tasakaalu väljamakse langeb 1,67 pealt 1,20 peale, mis on 28% langus. Muutus teine juht, kelle kõrvalekeeramine langes 33,3% pealt 10,0% peale. Nii suure auhinna puhul piisab juba ühest võimalusest kümnest, et teine auto järele annaks, mis muudab otse sõitmise tasuvaks. Seetõttu ei jäta tasakaal järeleandmiseks rohkem ruumi. Mõlemad autod sõidavad nüüd otse 60,0% ajast, varem oli see 44,4%. Paremaks riskimängijaks saamise tasu on vastane, kes paneb sinu blufi sagedamini proovile. Tulemuseks on rohkem kokkupõrkeid ja väiksem väljamakse, samas kui veerumängija enda väljamakse ei muutu üldse.

Üks või kolm, mitte kunagi kaks 🖖

Seadista kaheksa väljamakset nii, et ükski mängija poleks täiesti ükskõikne, ja loe kokku tasakaalupunktid. Saad ühe või kolm. Kui vaatad läbi kõik 65 536 kaks-korda-kaks-mängu, mille väljamaksed on täisarvud 0 kuni 3, siis 31 968 mängus on neid üks ja 7 968 mängus kolm. Paarisarvu tasakaalupunktidega mänge on 25 600 ja igaüks neist sisaldab viiki. See tähendab kaht väljamakset, millega mängija on võrdselt rahul. Nii saab ruudu tervest servast parim vastus ja graafikul olevad teekonnad kattuvad ristumise asemel. Kirjuta kõigisse kaheksasse lahtrisse 2 ja sa näed äärmuslikku juhtumit. Iga lahter on tasakaal, neid on kokku neli. Robert Wilson tõestas 1971. aastal, et peaaegu igal lõplikul mängul on paaritu arv tasakaalupunkte, ja graafik näitab sulle, miks see nii on. Kaks teekonda, mis mõlemad kulgevad ruudu ühest servast teise, peavad kohtuma. Nad kohtuvad paaritu arv kordi, välja arvatud juhul, kui nad asuvad üksteise peal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida segamine sulle tegelikult annab? Rakendus kuvab tasakaalusagedused ja neid on lihtne tõlgendada kui viisi teise mängija ärakasutamiseks. Seda need ei ole. Arvuta välja, mida teenib reamängija kahes erinevas mängus siis, kui veerumängija loobub tasakaalust täielikult.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Võta näiteks penaltilöök. Kirjuta lööja oodatav väravatõenäosus mõlema segastrateegia funktsioonina, kus p on vasakule löömine ja q on väravavahi vasakule hüppamine.
  
  $E_{kick} = p (60 q + 95 (1 - q)) + (1 - p) (90 q + 70 (1 - q))$
2. Koonda q-liikmed. Lööja võimalus sõltub väravavahist ainult q-d korrutava sulu kaudu ja kui p = 20/55, on see sulg täpselt null.
  
  $E_{kick} = 70 + 25 p + q (20 - 55 p)$
3. Seega saavutab lööja oma tasakaalustrateegiaga 79,09% tabavuse olenemata väravavahi tegevusest. Hüpaku ta alati vasakule, alati paremale või visaku kulli ja kirja, see ei muuda midagi. See on garantii ja just selle ta endale ostab.
  
  $p = \frac{20}{55} ⟹ 20 - 55 p = 0, E_{kick} = 70 + 25 \cdot \frac{20}{55} = 79.09%$
4. Teeme nüüd sama arvutuse kanamängu kohta, kus kaks väljamaksete maatriksit ei ole omavahel seotud.
  
  $E_{row} = p (3 q + 1 (1 - q)) + (1 - p) (5 q + 0) = p + q (5 - 3 p)$
5. Kui p = 1/3, on sulu väärtus 4, mitte 0. Reamängija väljamakse sõltub endiselt täielikult teisest juhist. See on 0,33, kui ta ei keera kunagi kõrvale, ja 4,33, kui ta teeb seda alati.
  
  $p = \frac{1}{3} ⟹ 5 - 3 p = 4, E_{row} = \frac{1}{3} + 4 q \in [\frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}]$
6. Põhjus on selles, et penaltilöök on püsiva summaga mäng. Iga lööja võidetud punkt on väravavahi kaotatud punkt. Seega on väravavahi ükskõikseks muutmine ja enda väljamakse kindlustamine üks ja seesama tegevus. Kanamängu kaks maatriksit on iseseisvad, selle lahtrite summad on 6, 6, 6 ja 0, ning need kaks eesmärki lahknevad.
  
  $A_{r c} + B_{r c} = 100 \forall r, c vs A_{r c} + B_{r c} \in {6, 6, 6, 0}$
Vastus

Püsiva summaga mängus on tasakaalustrateegia garantii. Lööja 79,09% kehtib iga väravavahi vastu, sealhulgas sellise, kes on seda lehte lugenud. See on von Neumanni minimaks-teoreem ja põhjus, miks elukutselistest jalgpalluritest sai uurimisobjekt. Ignacio Palacios-Huerta hindas liiga penaltilöökide põhjal skoorimise tõenäosusi, arvutas välja neist tulenevad minimaks-sagedused ega suutnud ümber lükata hüpoteesi, et mängijad neid kasutasid. Kanamängul sellist garantiid ei ole. Reamängija, kelle segastrateegia on 1/3, teenib vahemikus 0,33 kuni 4,33, olenevalt juhist, keda ta ei kontrolli. 1,67 on pelgalt see, mis laekub siis, kui ka teine juht oma osa täidab. Püsivast summast piisab garantii jaoks, kuid see pole garantii eeldus. Seadke reamängija väljamakseteks 4, 0, 0, 4 ja veerumängijal 7, 2, 3, 8 ning lahtrite summadeks tulevad 11, 2, 3 ja 12, samal ajal kui reamängija väljamakse on endiselt täpselt 2,00, hoolimata sellest, mida veerumängija teeb. Garantii tegelik eeldus on see, et strateegia, mis muudab vastase ükskõikseks, oleks sama strateegia, mis tühistab tema mõju sinule. Püsiv summa lihtsalt sunnib neid kahte kokku langema.

$\forall q 79.09% vs 0.33 \to 4.33 \frac{1}{3} + 4 q$

Õpitee

Parim vastus ning mis juhtub, kui keegi seda ei arvuta

Allikad (3)

Two pages, and the reason every game on this tool has an equilibrium at all: J. F. Nash, "Equilibrium points in n-person games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1), 1950, pp. 48–49.
Where insight block 3's "one or three, never two" comes from: R. Wilson, "Computing Equilibria of N-Person Games." SIAM Journal on Applied Mathematics 21(1), 1971, pp. 80–87.
The empirical test the worked problem ends on — whether people actually mix at the equilibrium frequencies: I. Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395–415.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.