Koostöö evolutsioon

Määra Axelrodi turniiri iseenese vastu mängiva populatsiooni algne koosseis. Iga põlvkond korrutab iga strateegia osakaalu sellega, kui hästi ta tegelikult kohatud populatsiooni vastu esines, seega võitjad paljunevad ja kaotajad langevad mängust välja.

Näidisarvutus — Koostöö evolutsioon

Püsib üle kümnendiku protsendi	3 8-st
Madalaim keskmine tulu	1,00 27. põlvkonnas
Keskmine tulu lõpus	3,00
Üks reetur samaga vastajate seas	1,02 nende 3,00 vastu
Üks samaga vastaja reeturite seas	0,9950 nende 1,00 vastu
Reeturid oma tipus	99,2% 21. põlvkonnas
Reeturid lõpus	0,0%
Põlvkonnad	200

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Koostöö evolutsioon

Replikatsioonivõrrand on see, mis muudab turniiri ökoloogiaks. Igal strateegial on populatsioonis oma osakaal. Selle kohasus on tulemus, mille ta teenib igas voorus tegeliku populatsiooniga kohtudes; see populatsioon koosneb kõigist teistest strateegiatest, mis on kaalutud nende esinemissagedusega. Järgmises põlvkonnas korrutatakse iga osakaal tema enda kohasusega ja jagatakse populatsiooni keskmisega. Keskmisest edukam strateegia kasvab, allajääv kahaneb ning muud ei toimu — ühtegi strateegiat ei leiutata, valita ega õpetata.

Mida iga sümbol tähendab

pᵢ: strateegiat i mängiva populatsiooni osakaal
fᵢ: tulemus, mille see strateegia kogu populatsiooni vastu igas voorus teenib
f̄: populatsiooni keskmine ehk mõõdupuu, millega iga strateegiat võrreldakse

Eeldab: Lõpmatult suur ja hästi segunenud populatsioon: iga strateegia kohtub teistega täpselt vastavalt nende osakaalule, siin puuduvad naabruskonnad ja juhus. See teebki osakaaludest pigem pidevad suurused kui isendite arvud ning just seetõttu suudab teabeplokk 2 jälgida osakaalu langemist väärtuseni 10⁻¹⁷⁶, ilma et mudel märkaks taolise populatsiooni puudumist.

Reeturid tapab nende endi edu 🖖

Vajuta nupule Usaldav maailm lõpuni ja jälgi punast joont. Üks protsent populatsioonist reedab; 97% teeb kõigiga koostööd. Kaheksa põlvkonda ei juhtu peaaegu midagi. Siis ületab reetmine 9. põlvkonnas poole maailma ja 12. põlvkonnas 90% piiri ning 14. põlvkonnaks märgib tabel tingimusteta koostöötegijad välja surnuks. See on ka hetk, mil sureb reeturite sissetulek, sest see oli üks ja seesama asi: reetur, kes kohtub teise reeturiga, teenib 1 vooru kohta. Keskmine tulu püsib vahemikus 15. kuni 120. põlvkonnani 1,00 peal – sada põlvkonda kõiki kõigilt võtmas. Vahepeal elasid Kaks silma hamba vastu, Silm hamba vastu ja Vimmakandja näljaaja üle umbes 0,17% peal igaüks, ja kui kaks neist kohtuvad, teenivad nad endiselt 3. Nende kolme osakaalud koos kasvavad umbes poolteist protsenti põlvkonna kohta. See ei paista terve sajandi jooksul millegina ja siis enam ei paista: reeturid hoiavad 120. põlvkonnas 97,1%, 150. põlvkonnas 6,5% ja on 155. põlvkonnaks läinud. Axelrod nimetas seda oma turniiri ökoloogiliseks vooruks. Sinna ei sisene ühtegi uut strateegiat. Muutub vaid see, kui palju on keda.

Koostöö taastub, koostöötegijad mitte 🖖

200. põlvkonnas teenib populatsioon 3,00 punkti voorus, mis on suurim võimalik sissetulek, sest iga kohtuv paar teeb koostööd. Usaldav maailm on taastatud ilma usaldava strateegiata selles. Alati tee koostööd langes 14. põlvkonnas alla kümnendiku protsendi ja selle osakaal 200. põlvkonnas on 3,55 × 10⁻¹⁷⁶. See isegi ei lange enam: see jõuab madalpunkti 147. põlvkonnas ja taastub sealt 23%. Selles põlvkonnas ületab selle kohasus populatsiooni keskmise, 1,63 vastu 1,57, sest selleks ajaks on suurem osa sellest, kellega koostöötegija kohtub, samaga vastaja, kes maksab kolm. Samal ajal tirivad keskmist endiselt alla reeturid, kes võtavad üksteiselt ühe. Replikaatori dünaamika korrutab ja korrutamisel pole alampiiri, nii et mudel võib kahandada strateegiat väärtuseni 10⁻¹⁷⁶ ja selle tagasi tuua. Populatsioon seda ei suuda: nähtavas universumis on umbes 10⁸⁰ aatomit ning 10⁻¹⁷⁶ suurune osakaal ei tähenda haruldast, vaid puuduvat strateegiat. See, mis lõpuks kolm voorus teenib, on Kaks silma hamba vastu 38,3%, Silm hamba vastu 31,0% ja Vimmakandja 30,7% peal. Kõik kolm alustavad koostööga ja jätkavad omavahel koostööd kõigi 200 vooru vältel, nii et nad koguvad täpselt sama palju, kui oleks kogunud Alati tee koostööd. Erinevus nende vahel ilmneb alles reeturi saabumisel ning see ongi kogu erinevus: nad lõpetavad.

Alustamiseks piisab veerandist protsendist 🖖

Loe kolme kaarti pealkirja all Kas koostöö saab üldse alata?. Tingimusteta reeturite maailm maksab igaühele 1,00 voorus. Pillates sinna ühe Silm hamba vastu uustulnuka, teenib ta 0,9950: teeb ühe korra koostööd, ei saa selle eest midagi ning reedab ülejäänud 199 vooru. Jäädes poole sajandiku võrra alla, sureb ta välja. Laske nüüd uustulnukatel saabuda koos, nii et osa q nende kohtumistest on omavahel ja maksab 3,00. Rühm teenib q × 3,00 + (1 − q) × 0,9950, mis ületab väärtuse 1,00 tasemel q = 0,2494%, ehk üks kohtumine 401-st. See on Robert Axelrodi ja W. D. Hamiltoni 1981. aastal avaldatud vastus küsimusele, kuidas koostöö üldse alguse saab maailmas, mis seda karistab. Samaga vastaja kogu kaotus on üks ärakasutatud voor 200-st, seega künnis langeb suhte pikenemisel kui 1/n. Tingimusteta koostöötegijat kasutatakse ära igas voorus, mitte ainult esimeses, ning tema künnis on kolmandik kõigist kohtumistest mistahes pikkusega suhte korral.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui väike saab esimene rühm olla? Tööriist kuvab ühe vastuse: samaga vastajate rühm vajab 0,2494% kohtumisi omasugustega, enne kui suudab reeturite maailmale vastu panna. See arv kuulub Axelrodi tuludega 200-voorulisele matšile. Kust see tuleb ja mis juhtub siis, kui suhe on lühem?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Tingimusteta reeturite maailmas on iga kohtumine vastastikune reetmine, seega teenib asukas igas voorus karistustulu P.
  
  $π_{res} = P = 1$
2. Üksik Silm hamba vastu teeb esimeses voorus koostööd ja korjab petetu tulu S, seejärel reedab ülejäänud n − 1 vooru. Teda röövitakse üks kord ja ta hajutab selle kaotuse kogu matšile, nii et 200 vooru puhul säilitab ta 199/200.
  
  $π_{lone} = \frac{( n - 1 ) P + S}{n} = \frac{199 \times 1 + 0}{200} = 0.9950$
3. Nüüd anname uustulnukatele rühma: osa q nende kohtumistest toimub omavahel ja maksab preemiat R, ülejäänud aga asukatega. Rühm jääb püsima, kui see keskmine ületab asukate teenitu.
  
  $q R + (1 - q) π_{lone} > π_{res} = P$
4. Avaldage q. Mõlema vahe all olev n taandub. Alles jääb ühe ärakasutatud vooru kulu jagatuna n vooru vastastikuse koostöö võiduga vastastikuse reetmise ees, pluss seesama kulu.
  
  $q^{*} = \frac{P - π _{lone}}{R - π _{lone}} = \frac{( P - S ) / n}{( n ( R - P ) + ( P - S ) ) / n} = \frac{P - S}{n ( R - P ) + ( P - S )}$
5. Tulude 5, 3, 1, 0 ja 200 vooru korral on see 1/401, ehk 0,2494%, mida tööriist kuvab. Künnis langeb suhtarvuna 1/n: kümne vooru puhul on see 1/21 ehk 4,76%.
  
  $q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} = \frac{1}{401} = 0 . 2494%, n = 10 \Rightarrow \frac{1}{21} = 4 . 76%$
6. Tingimusteta koostöötegijat kasutatakse ära igas voorus, mitte ainult esimeses, seega on tema üksinda teenitud tulu S ise ning n kaob tema künnisest täielikult. Ühe vooru puhul on need kaks strateegiat sama strateegia ja kaks künnist langevad kokku kolmandiku juures. Iga voor pärast esimest on soodustus, mille korjab vaid samaga vastaja.
  
  $q_{AC}^{*} = \frac{P - S}{R - S} = \frac{1}{3}$
Vastus

Samaga vastajate rühm vajab q ≥ (P − S)/(n(R − P) + (P − S)) seesmisi kohtumisi, mis on Axelrodi tulude juures 1/(2n + 1) ning 200 vooru korral 1/401 = 0,2494%. Tingimusteta koostöötegijate rühm vajab iga n-i puhul (P − S)/(R − S) = 1/3. Mõlemad rühmad teevad üht ja sama, korraldades kohtumisi omasugustega, ning samaga vastaja vajab seda sada kolmkümmend korda vähem, sest ainuke voor, milles teda röövida saab, on esimene.

$q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} vs q_{AC}^{*} = \frac{1}{3}$

Õpitee

Parim vastus ning mis juhtub, kui keegi seda ei arvuta

Allikad (4)

The cluster result this page's third block and worked problem are about: a lone reciprocator cannot enter a world of defectors, and a cluster of them can. Also the source for the 1981 date and for the two authors' names: R. Axelrod and W. D. Hamilton, "The Evolution of Cooperation." Science 211(4489), 1981, pp. 1390–1396.
The second tournament, from which this population's eight strategies and the 200-round match are drawn, written up by the man who ran it: R. Axelrod, "More Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(3), 1980, pp. 379–403.
"The ecological round" — the same strategies in changing proportions, with no new entrant — and the four maxims that came out of it: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The generation step on this page is the discrete replicator equation, and this is where it and the evolutionarily-stable-strategy connection were set out: P. D. Taylor and L. B. Jonker, "Evolutionary stable strategies and game dynamics." Mathematical Biosciences 40(1–2), 1978, pp. 145–156.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.