SIR-epideemiamudel

Epideemial on kaks erinevat lõppu, ja see leht trükib mõlemad. Karjaimmuunsuse lävi on punkt, kus iga nakkus lakkab tootmast rohkem kui üht järglast — kus kõver pöördub. Haigestumusmäär on see osa rahvastikust, kes on nakatunud selleks ajaks, kui kõik on tõesti läbi. Need ei ole sama arv, need ei ole kunagi sama arv, ja just nendevahelisest kaugusest see õppetükk räägibki.

Mida iga sümbol tähendab

R₀

baasreproduktsiooniarv β/γ — mitu inimest nakataks üks nakkus rahvastikus, kus kõik on veel vastuvõtlikud. Kahe määra suhe, seega kirjeldab ta haigustekitajat keskkonnas, mitte kunagi haigustekitajat üksinda.

s

vastuvõtlike osakaal S/N. Peaaegu kõik alljärgnev on väide selle suuruse, mitte aja kohta — just seepärast ei sõltu tulemused sellest, kui kiiresti puhang kulgeb.

H

karjaimmuunsuse lävi 1 − 1/R₀: immuunsete osakaal, mille juures kasv peatub. Leht trükib selle.

A

haigestumusmäär — kunagi nakatunute osakaal, kui I on tagasi nulli langenud. Ka see on lehel olemas, nimetusega „nakatunuid kokku“.

Kust valem tuleb

1. Küsi, millal puhang kasvab. Nakkusohtlik osa muutub võrrandi dI/dt = βIS/N − γI järgi, mis teguriteks lahutades annab I(βs − γ). Kuna I on puhangu ajal positiivne, otsustab märgi ainuüksi sulg: nakkus kasvab seni, kuni βs > γ, see tähendab kuni s > γ/β = 1/R₀. Pane tähele, et see on tingimus vastuvõtlike osakaalu kohta ja aega pole selles kusagil.
2. Pöördepunkt on seega täpselt s = 1/R₀, ja sel hetkel enam mitte-vastuvõtlike osakaal on 1 − 1/R₀. See ongi karjaimmuunsuse lävi ja seesama arv, mille leht trükib — 33.3% gripi eelseade puhul, kus R₀ = 1.5. Sealsamas on ka nakatunute kõvera tipp, mida saab graafikul kontrollida: tipp pole kuju juhus, vaid just selle tingimuse täitumine.
3. Nüüd samm, mille tavaliselt vahele jäetakse. Lävel on dI/dt = 0 — aga see ei ole I = 0. Kohal on endiselt suur nakkusohtlik hulk ja igaüks neist nakatab edasi määraga βs. Vähem kui üks järglane igaühe kohta, seega arvud langevad; kuid tipust allalaskumine võtab aega ja iga selline nakkus tabab kedagi. Epideemia ei peatu lävel. Ta veereb sellest läbi.
4. Et leida, kus ta tegelikult lõpeb, tuleb ajast lahti saada. Jaga vastuvõtlike võrrand tervenenute omaga: dS/dR = −(β/γ)(S/N) = −R₀s, mis integreerub kujule s = s₀·e^(−R₀·r), kus r on tervenenute osakaal. Lõpuks pole enam kedagi nakkusohtlikku, seega r∞ = 1 − s∞, ja asendades saame lõppsuuruse seose: s∞ = s₀·e^(−R₀(1 − s∞)). Haigestumusmäär on A = 1 − s∞. See on transtsendentne — s∞ esineb nii eksponendi sees kui väljaspool —, seega suletud kuju pole olemas, ja just seepärast see leht integreerib, mitte ei arvuta valemit.
5. Pane need kaks arvu kõrvuti ja vahe ongi ülelend. R₀ = 1.5 juures trükib leht läveks 33.3% ja kokku 58.5%: puhang lendab 25 punkti üle selle koha, kus ta kasvamast lakkas. Muuda R₀-i ja ülelend ei ole monotoonne — see tõuseb umbes 30 punktini R₀ ≈ 2 lähedal ja langeb siis taas, kadudes nii R₀ → 1 korral, sest miski eriti ei levi, kui ka suurte R₀ juures, sest lävi ja haigestumusmäär suruvad mõlemad 100% vastu. R₀ = 5 juures on need 80.0% ja 99.3%; leetrilaadse R₀ = 15 juures 93.3% ja 100.0%. Kõige suurem ülelend jääb täpselt pandeemilise gripi ja varase SARS-CoV-2 vahemikku.

Kuidas nähtut lugeda

Kolm kõverat ja kolm arvu. Kõverad on osakonnad; jälgimist väärib nakkusohtlike küür, mille tipp ongi samm 2 toimumas. Arvudest vastavad „tipphetkel nakatunuid“ ja „nakatunuid kokku“ täiesti erinevatele küsimustele — esimene ütleb, kui paljud on haiged korraga, mis loeb haiglate jaoks, teine aga, kui paljud on haiged olnud mingil hetkel, mida ennustab lõppsuuruse seos. Gripi eelseade puhul on need 6.4% ja 58.5%, ja esimene ei ütle teise kohta midagi. Nende kohal olev karjaimmuunsuse lävi pole kumbki neist: see on koht, kus esimene pöördub.

Eeldab

Suletud ja hästi segunenud rahvastik — ei sünde, ei surmi, ei reisimist, ja iga vastuvõtlik kohtub iga nakkusohtlikuga võrdse tõenäosusega. Püsivad β ja γ, seega ei käitumismuutust, ei aastaaegu, ei sekkumisi poole peal. Püsiv immuunsus, keegi ei naase vastuvõtlike hulka. Ja determineeritud mudel — just seepärast käivitab käputäis nakkusohtlikke siin alati puhangu, samal ajal kui tegelikkuses hääbuvad väikesed arvud sageli juhuslikult ka siis, kui R₀ > 1.

Ei kehti, kui

Väljend „karjaimmuunsuse lävi“ kutsub esile lugemisviisi, mida matemaatika ei toeta: nagu lõpeks omapead jäetud epideemia seal. Ei lõpe — ta lõpeb haigestumusmääral, mis samm 5 järgi võib olla 25 punkti kõrgemal. Lävi on vaktsineerimise siht, tase, milleni saab jõuda ilma epideemiata; nakatumise teel saavutatuna maksab see läve ja ülelennu pealekauba. See vahetegemine polnud 2020. aastal sugugi akadeemiline. Veel kaks hoiatust neile, kes neid arve tõsiselt võtavad: hea segunemine on siin kõige ebarealistlikum eeldus ja selle lõdvendamine alandab üldjuhul nii läve kui ka haigestumusmäära, sest tugevalt seotud inimesed nakatuvad varakult ja lakkavad olemast sillad; ning see leht alustab kümnest nakkusohtlikust, mitte lõpmatult väikesest algidust, mistõttu selle 58.5% jääb napilt üle klassikalise s₀ → 1 piirjuhu 58.3%.