SIR-epideemiamudel
Modelleeri epideemia dünaamikat: vaata, kuidas ülekandemäär, paranemismäär ja R₀ kujundavad puhangut.
Haiguste leviku mittelineaarsed diferentsiaalsüsteemid 🖖
SIR-mudel jagab elanikkonna vastuvõtlikeks (S), nakatunuteks (I) ja tervenenuteks (R). Dünaamikat reguleerivad mittelineaarsed harilikud diferentsiaalvõrrandid: dS/dt = -βIS/N ja dI/dt = βIS/N - γI. Nakatuskordaja R₀ = β/γ määrab leviku potentsiaali enne karjaimmunituse saavutamist (S/N < 1/R₀).
Miks puhangud lõppevad, enne kui kõik haigestuvad 🖖
Nakkuskõver tõuseb, jõuab tippu ja langeb siis taas — kuid mitte sellepärast, et haigustekitaja kaoks. See langeb, sest nii palju inimesi on juba nakatunud, et viirus satub pidevalt juba immuunsete peale. Seepärast vaibub epideemia ammu enne, kui jõuab kõigini: R₀ = 1.5 korral nakatub kokku vaid umbes 58% elanikkonnast, mitte 100%.
Läviväärtuse teoreem sündis pimeda keemiku käe all 🖖
SIR-mudeli avaldasid 1927. aastal William Kermack ja Anderson McKendrick. Kolm aastat varem oli laboriplahvatus jätnud 26-aastase Kermacki täiesti pimedaks — ometi aitas ta tuletada epideemia läviväärtuse teoreemi ja lahendas suure osa matemaatikast väidetavalt peast. Nende artikkel jäi aastakümneteks suuresti tähelepanuta, enne kui sellest sai kaasaegse epidemioloogia nurgakivi.
Näiteülesanded
- Leetrid (R₀≈15) - Leetrid: äärmiselt nakkav (R₀ ≈ 15), põhjustab kiireid puhanguid.
- Gripp (R₀≈1,5) - Hooajaline gripp: mõõdukas levik (R₀ ≈ 1.5), haripunkt talvekuudel.
- COVID Delta - COVID-19 Delta: modelleeritud SEIR inkubatsioonifaasiga (R₀ ≈ 5.0).
- Alakriitiline - Alakriitiline juht: R₀ < 1.0, haigus sureb loomulikult välja ilma epideemiata.