Populatsiooni kasv ja kaos

Uuri populatsiooni dünaamikat: pidevat logistilist kasvu ja diskreetse logistilise kujutuse teed kaosesse.

Näidisarvutus — Populatsiooni kasv ja kaos

Kasvukiirus (r)	0.5
Keskkonnamahutavus (K)	1000
Algne populatsioon (N₀)	10
Lõplik populatsioon	1000.0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaos tuleb aja tükeldamisest sammudeks 🖖

Pidev logistiline võrrand käitub märkimisväärselt kenasti: ükskõik millise kasvukiiruse sa talle annad, populatsioon tõuseb või langeb sujuvalt ja jääb igaveseks kandevõime juurde pidama, ilma võnkumist ja ilma üllatusi. Kogu metsik käitumine ilmub alles siis, kui sama mudel kirjutatakse diskreetsete põlvkondadena: xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Seal püsib tasakaaluolek stabiilne ainult seni, kuni r on alla 3, hargneb r = 3 juures kaheaastaseks tsükliks, kahekordistub ikka ja jälle ning laguneb kaoseks umbes r = 3,5699 juures. Sama bioloogia, sama parameeter — vahe on selles, kas paljunemine toimub pidevalt või kord hooaja jooksul. Kaos on ajasammu, mitte populatsiooni omadus.

Miks kasvukõverad muutuvad S-kujuliseks 🖖

Pidevas mudelis kasvab populatsioon kõige kiiremini siis, kui see on jõudnud poole kandevõimeni. Kui arvukus läheneb keskkonna kandevõimele K, jääb suurema asustustiheduse tõttu iga isendi kohta vähem toitu ja ruumi. Kasv aeglustub ning graafik muutub sujuvaks S-kõveraks. Ava vahekaart Pidev ja vaata, kuidas kasv on kiireim käänupunktis, täpselt kohal N = K/2, mitte alguses.

Kaos, mille saab valemiga lahendada 🖖

Väärtusel r = 4 on diskreetne kujutus täiesti kaootiline, kuid sellel on siiski täpne kinnine lahend: kui kirjutada x = sin²(π θ), taandub iga samm lihtsalt θ kahekordistamiseks, säilitades murdosa. Kahendsüsteemis tähendab kahekordistamine vaid numbrite nihutamist vasakule, nii et „ettearvamatu“ orbiit tegelikult loeb ette algväärtuse järjestikuseid bitte. Juhuslik näib see üksnes seetõttu, et θ täpne fikseerimine nõuaks lõpmatut täpsust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Diskreetne mudel 80 põlvkonnaga 5 sammu
Leia, kuhu populatsioon stabiliseerub, kui selle enda kasvureegel ei lase sel stabiliseeruda. See on Diskreetne mudel, x_t+1 = r_dx_t(1 − x_t), kus r_d = 3,2, x₀ = 0,1 ja 80 põlvkonda.
1. Tasakaalupunkt on väärtus, mille kujutus tagastab muutumatuna. Selle suhtes lahendamine annab kaks juurt, millest kasulik on keskkonna kandevõime mittenulliline osa: 68,75% täituvust.
  
  $x^{*} = r x^{*} (1 - x^{*}) ⟹ x^{*} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{3.2} = 0.6875$
2. Püsipunkti olemasolu ei ole sama mis populatsiooni jõudmine selleni. Nihuta populatsiooni pisut ja kujutus korrutab selle vea igas põlvkonnas tõusuga, seega püsib tasakaalupunkt vaid seni, kuni tõus on absoluutväärtuselt väiksem kui 1. Väärtusel r_d = 3,2 on see −1,2: miinusmärk viskab populatsiooni igal aastal teisele poole 0,6875 ning 1,2 viib selle algsest kaugemale.
  
  $f^{'} (x) = r (1 - 2 x), f^{'} (x^{*}) = r (\frac{2}{r} - 1) = 2 - r = - 1.2, ∣ - 1.2 ∣ > 1$
3. Seega otsi selle asemel väärtuste paari, mis kohad vahetavad. Kõik, mis kordub kahe sammu järel, lahendab võrrandi f(f(x)) = x, mis on neljanda astme võrrand — kuid 0 ja 0,6875 juba lahendavad selle, sest kõik, mis kordub ühe sammu järel, kordub ka kahe järel. Jaga need kaks teadaolevat juurt välja ning järele jääb ruutvõrrand.
  
  $f (f (x)) - x = - r^{3} x (x - x^{*}) (x^{2} - \frac{r + 1}{r} x + \frac{r + 1}{r ^{2}})$
4. Ruutvõrrandi juured moodustavadki tsükli. Tööriista 80. põlvkond on neist väiksem kõigi kuue kuvatava numbri täpsusega; 79. on neist suurem.
  
  $x_{1, 2} = \frac{( r + 1 ) \pm ( r + 1 ) ( r - 3 )}{2 r} = \frac{4.2 \pm 0.84}{6.4} = \frac{4.2 \pm 0.916515}{6.4} = 0.513045, 0.799455$
5. Tsükkel on kaks korda rakendatud funktsiooni f püsipunkt, seega kehtib sama stabiilsuskontroll ja selle tõus on kahe punkti tõusude korrutis. Väärtusel 0,16 vähendab tsükkel vigu kuus korda igal kaksiksammul, mistõttu 80 põlvkonda sellest kaugel asuvast algväärtusest maanduvad täpselt sellel. Suurenda väärtust r_d, kuni see korrutis jõuab väärtuseni −1, ning 2-tsükkel kaotab omakorda stabiilsuse.
  
  $μ = f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 4 + 2 r - r^{2} = 0.16; μ = - 1 ⟹ r = 1 + 6 = 3.4495$
Vastus

Tööriist kuvab 0,513045 ning tähistab režiimi kui Periood-2 võnkumine. Mitte ükski selle number ei ole ligikaudne: see on (4,2 − √0,84) / 6,4, mis on algebrailine arv, ning üleminekuprotsess hääbus aastakümnete jagu põlvkondi enne 80. sammu. Mehhanism on väärtuslikum kui see arv. Tasakaalukoht väärtusel 0,6875 ei kadunud parameetri r_d = 3 juures — see on olemas ka väärtusel 3,2, ikka veel täiesti kehtiv lahend, kuid lihtsalt kättesaamatu, ning selle asendaja sündis juba stabiilsena. See kordub väärtustel 1 + √6 = 3,4495, seejärel 3,5441 ning 3,5644: vahemikud pikkusega 0,4495, 0,0946 ja 0,0203, millest igaüks on eelmisest umbes 4,7 korda lühem. Kahaneval geomeetrilisel jadal on lõplik summa, seega mahtub piirväärtusest 3,5699 allapoole lõpmata palju kahekordistumisi ning üle selle piiri ei ole enam ühtegi mis tahes pikkusega tsüklit, millele maanduda.

$r_{n} = 3, 1 + 6 = 3.4495, 3.5441, 3.5644, \dots ⟶ r_{\infty} = 3.5699$

Õpitee

Piiratud kasv

Viib edasi Saagivõtt

Allikad (1)

Insight blocks 1 and 3 — the discrete logistic map, its period doubling and the 3.5699 threshold: R. M. May, "Simple mathematical models with very complicated dynamics." Nature 261, 459–467, 1976.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Bio, geo ja keemia õppetunnid →

Näiteülesanded

Logistiline - Kui r = 0,5, kasvab populatsioon algväärtusest 10 kandevõimeni K = 1000. Kõver on kõige järsem hetkel t = 9,19, mil N jõuab täpselt väärtuseni 500. Kasvukiirus on siis rK/4 = 125 ajaühiku kohta.
Kiire kasv - Kasvukiirus on logistilise näite omast neli korda suurem, mistõttu jõuab populatsioon poole kandevõimeni hetkel t = 1,10, mitte 9,19. Ometi ei ületa see kunagi väärtust K: pidevas mudelis ei teki ülekasvu, ükskõik millise r-i valid.
Periood-2 - Kui r = 3,2, jääb mudel võnkuma täpselt kahe väärtuse, 0,799455 ja 0,513045 vahel. Kui r > 3, jaguneb üks püsiseisund kaheks.
Kaos - Kui r = 3,9, ei stabiliseeru mudel kunagi: viimase saja põlvkonna jooksul läbib see sada erinevat väärtust. Juhuslikkust siin pole. Sama algväärtus annab iga kord sama jada.