Keskmise ja mediaani labor

Sissetulekud järgivad lognormaaljaotust parameetriga σ = 1,5. Arvuta, milline osa inimestest teenib keskmisest vähem. Seejärel näita, et parameetrit σ polnudki vaja — piisab avaldatud keskmisest ja mediaanist.

1. Lognormaalne tähendab, et logaritm on normaaljaotusega: ln X on N(μ, σ²). Kõik alljärgnev kujutab endast ln X kohta käivaid väiteid tagasi teisendatuna, ja see ongi selle ülesande ainus nõks.

   $$\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

2. Mediaaniga on lihtne. Pool ln X-st jääb alla μ ning kuna logaritm säilitab järjestuse, jääb pool X-st alla e^μ. Mediaan on e^μ.

   $$\text{median}=e^{\mu },\text{mean}=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$$

3. Keskmine ei ole e^μ ja see erinevus ongi kogu teema tuum. Lognormaaljaotuse korral on see e^(μ + σ²/2) — keskmine on mediaanist e^(σ²/2) korda suurem, mis parameetri σ = 1,5 korral on e^1,125 = 3,0802.

   $$\frac{\text{mean}}{\text{median}}=e^{{\sigma }^2/2}=e^{1.125}=3.0802$$

4. Nüüd osakaal. Küsida, milline osa teenib keskmisest vähem, tähendab küsida tõenäosust P(X < e^(μ + σ²/2)), ning mõlemalt poolt logaritmi võtmine muudab selle kujule P(ln X < μ + σ²/2), mis on normaaljaotuse küsimus tavapärase vastusega.

   $$P\left(X<e^{\mu +{\sigma }^2/2}\right)=P\left(\ln X<\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$$

5. Standardiseeri see: lahuta μ ja jaga parameetriga σ, misjärel μ taandub välja. Vastus on Φ(σ/2), mis parameetri σ = 1,5 korral on Φ(0,75) = 0,7734. 77,34% teenib keskmisest vähem.

   $$=\Phi \left(\frac{\mu +{\sigma }^2/2-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)=\Phi (0.75)=0.7734$$

6. μ taandus välja, seega pole skaalal tähtsust: populatsioon, mille mediaan on 1, 148 või 22 026, annab sama 77,3%, mida paneel kuvab. Arutluskäiku saab kasutada ka vastupidises suunas: σ = √(2 ln(keskmine/mediaan)). Niisiis määrab juba suhe σ väärtuse ja σ omakorda osakaalu.

   $$\sigma =\sqrt{2\ln \left(\frac{\text{mean}}{\text{median}}\right)}\Rightarrow \text{share}=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)$$

Viie leibkonnaga küla teatab sissetulekud 10, 20, 30, 40 ja 5 000. Arvuta mõlemad keskmised, oleta siis, et üks viiest arvust on näpuviga, ja otsusta, mida saab ikkagi väita.

1. Aritmeetiline keskmine on laiali jagatud summa: 5 100 viie leibkonna peale annab 1 020. Pane enne edasiminekut tähele, mida see teeb. Keskmine on suurem kui neli viiest arvust, millest ta kokku pandi.

   $$\bar{x}=\frac{10+20+30+40+5000}{5}=\frac{5100}{5}=1020$$

2. Mediaan on koht, mitte summa. Järjesta viis arvu ja võta kolmas: 30. Neli leibkonda jääb alla keskmise ja kaks alla mediaani — täpselt samadest andmetest.

   $$x_{(1)},\dots ,x_{(5)}=10,20,30,40,5000⟹\mathrm{med}=x_{(3)}=30$$

3. Kaart Keskmise ja mediaani suhe näitab 34,00. Sümmeetriliste andmete korral seisab see 1 peal, nii et 34 on lehe viis öelda, et need kaks kokkuvõtet ei kirjelda enam sama küla.

   $$\frac{\bar{x}}{\mathrm{med}}=\frac{1020}{30}=34.00$$

4. Lohista viiendat väärtust ja jälgi keskmist. See nihkub viiendiku võrra iga lisatud ühiku kohta ja miski ei pane teda pidama: liuguri ühest otsast teise jookseb keskmine 22-st 1 020-ni.

   $$\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_5}=\frac{1}{5}=0.2⟹x_5:10\to 5000\Rightarrow \bar{x}:22\to 1020$$

5. Mediaan võtab samal lohistamisel ainult kaks väärtust, 20 ja 30, ja põhjus peitub järjestamises. Kõik alla 20 jätab kolmandaks 20, kõik üle 30 jätab sinna 30, ja nende vahel on mediaan viies väärtus ise. Teenib see leibkond 5 000 või viis miljonit — mediaan jääb kümne laiusesse aknasse lõksu.

   $$x_5\le 20\Rightarrow \mathrm{med}=20;20\le x_5\le 30\Rightarrow \mathrm{med}=x_5;x_5\ge 30\Rightarrow \mathrm{med}=30$$

6. Nüüd küsimuse raskem pool. Sa tead, et üks viiest arvust on vale, aga mitte seda, milline. Käi kõik viis juhtu läbi: parandatud mediaan peab sattuma 20 ja 40 vahele, olgu tegelik väärtus milline tahes. Parandatud keskmine võib olla ükskõik mis.

   $$\mathrm{med}\in [20,40],\bar{x}\in (-\infty ,\infty )$$