Kaalutud keskmise labor

Määra iga rühma väärtused ja kaalud. Jälgi, kuidas kaalutud keskmine toimib füüsikalise tasakaalupunktina, samas kui lihtne keskmine eirab rühmade suurusi.

Näidisarvutus — Kaalutud keskmise labor

Kaalutud keskmine	63,00
Keskmiste keskmine	75,00
Lihtsa keskmise viga	−12,00
Suurima rühma osakaal	90,0 %

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Keskmiste keskmine ei ole keskmine 🖖

Kahe rühma protsentide keskmistamine annab mõlemale rühmale võrdse kaalu hoolimata sellest, kui palju inimesi neis on. Kui üks rühm moodustab 90% populatsioonist ja teine 10%, on neile võrdse kaalu andmine aritmeetiline viga.

Keskmine on füüsikaline tasakaalupunkt 🖖

Mehaanikas on massikese punkt, kus kaalutud kaugused tasakaalustuvad nulliks: Σ wᵢ(xᵢ − x̄) = 0. Keskmine toimib täpselt samasuguse toetuspunktina.

Kahe rühma korral ei saa viga ületada poolt ulatust 🖖

Olgu ebatasakaal kui tahes äärmuslik, kahe rühma puhul ei saa lihtsa ja kaalutud keskmise erinevus ületada poolt väikseima ja suurima väärtuse vahest. Võrdsete rühmade korral on see erinevus null. Jaotuse 1/99 puhul on vahe 49% ulatusest ja poole saavutab see alles piirväärtuses. Lisa nüüd kolmas rühm ja see piirang kaob. Seda tasub pimesi uskumise asemel tööriistas ise järele proovida: 4 rühma väärtusega 0 ja 1 väärtusega 100 annavad lihtsaks keskmiseks 20 ja kaalutud keskmiseks veidi alla 100. Nende kahe vahe on neli viiendikku ulatusest. See algne piirang tulenes pelgalt sellest, et KAHE arvu lihtne keskmine asub täpselt nende keskel.

Ülesanne täielikult lahendatud

Keskmine palgatõus kaheteistkümnele 45 000 teenivale inimesele, kes saavad 6%, ja neljakümne kaheksale 72 000 teenivale 7 sammu
Kaksteist inimest, kelle palk on 45 000, saavad 6% palgatõusu. Nelikümmend kaheksa inimest palgaga 72 000 saavad 2% tõusu. Kui suur oli keskmine palgatõus? Sellele on kaks põhjendatavat vastust ja üks vale ning see vale on just see, mida tavaliselt esile tuuakse.
1. Ahvatlev on võtta kahe määra keskmine. See annab kaheteistkümne inimesega osakonnale sama suure kaalu kui neljakümne kaheksaga osakonnale, mis ongi just see viga, mida ülaltoodud tööriist näidata üritab – aga pane see number siiski kirja, sest just 4% on näitaja, mis lõpuks teadaandesse jõuab.
  
  $\frac{6% + 2%}{2} = 4.00%$
2. Kaalu hoopis töötajate arvu järgi ja iga inimene läheb arvesse vaid korra. See on aus vastus küsimusele "kui suure tõusu keskmine töötaja sai" ja see on teadaandes avaldatud numbrist juba enam kui protsendipunkti võrra madalam.
  
  $\frac{12 ( 6% ) + 48 ( 2% )}{12 + 48} = \frac{72 + 96}{60} = 2.80%$
3. Palka aga ei maksta pearaha alusel. Teine osakond on neli korda suurem ja sealsed inimesed teenivad rohkem, mistõttu moodustab see 86% kogu palgafondist. Arvuta välja, millised on iga rühma tegelikud kulud enne palgatõusu.
  
  $12 \times 45, 000 = 540, 00048 \times 72, 000 = 3, 456, 000$
4. Kaalu palgafondi järgi ja saad numbri, mida tunnetab eelarve – protsendi, mille võrra palgakulu tegelikult kasvas. See on veelgi madalam, sest suurem palgatõus rakendus väiksemale rahasummale.
  
  $\frac{540 , 000 ( 6% ) + 3 , 456 , 000 ( 2% )}{3 , 996 , 000} = \frac{32 , 400 + 69 , 120}{3 , 996 , 000} = 2.54%$
5. Mõlemad vastused on õiged. Need vastavad erinevatele küsimustele ja see, kumba neist vajad, sõltub sellest, kas loendad inimesi või raha. Reaalne rahasumma jääb nagunii samaks ja raha ei huvita, millisele keskmisele keegi viitab.
  
  $32, 400 + 69, 120 = 101, 520$
6. Nüüd aga see osa, mida see tööriist sulle näidata ei suuda. Iga ülaltoodud kaalutud keskmine eeldab, et enne ja pärast on tööl samad inimesed. Võtame näiteks kakskümmend töötajat, kellest kümme teenivad 30 000 ja kümme 60 000 – keskmine palk on seega 45 000.
  
  $10 \times 30, 000 + 10 \times 60, 000 = 900, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 45, 000$
7. Koonda kümme kõige madalama palgaga töötajat ja langeta kõigi allesjäänute palka 10% võrra. Keskmine on nüüd 54 000. See tõusis viiendiku võrra, kuigi iga viimanegi allesjäänud töötaja kaotas oma sissetulekust kümnendiku ja veel kümme inimest kaotasid kõik. Mingit viga kaalumisel ei tehtud; keskmise aluseks olev rühm lihtsalt muutus. Seetõttu tulebki väidet "keskmine palk tõusis" tõlgendada alati koos teadmisega sellest, keda üldse arvesse võeti.
  
  $10 \times (60, 000 \times 0.9) = 540, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 54, 000 (+ 20%)$
Vastus

Töötajate arvu järgi kaalutult 2,80%, palgafondi järgi kaalutult 2,54% ja rahas umbes 101 500 aastas. 4% on ainus number, mis on lihtsalt vale, ja just see on see, mis välja kuulutatakse.

Õpitee

Üks arv paljude jaoks: kokkuvõtlik statistika

Viib edasi Keskmine vs mediaan keskmise kui füüsikalise tasakaalupunkti, kus rühmade suurused toimivad kaaludena.

Allikad (2)

The weighted mean, the balance-point property, and why averaging averages misleads Freedman, D., Pisani, R. and Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton — Part II, on averages and the pitfalls of pooling groups of unequal size.
The reversal this tool deliberately does NOT claim Simpson, E. H. (1951). The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 13(2), 238–241.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-25

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

10 tulemusega 90% ja 90 tulemusega 60% - Klass A (10 õpilast) saab 90%; klass B (90 õpilast) saab 60%. 90% ja 60% keskmine on 75,00%, kuid tegelik kaalutud keskmine on 63,00% — kaksteist punkti madalam.
Võrdsed rühmasuurused - Kui rühmad on võrdsed (50 ja 50), on lihtne keskmine (75,00%) täpselt võrdne kaalutud keskmisega (75,00%).
Palgatõus: 10% vs 2% - 10 inimest saavad 10% palgatõusu, 90 inimest saavad 2%. 10% ja 2% keskmine annab 6,00%, kuid tegelik palgatõus 100 inimese peale on 2,80%.
Äärmuslik jaotus: 1 vs 99 - 1 inimene saab 90%, 99 saavad 60%. Kaalutud keskmine on 60,30%, kuigi lihtne keskmine väidab 75,00% — erinevus -14,70 punkti.