Ristkorrutise ruudustik

Pane neli arvu ruutu, tõmba rist ja tõmba ring ümber selle, mida otsid. See, mis üle jääb, ütlebki, mida korrutada ja millega jagada.

Näidisarvutus — Ristkorrutise ruudustik

Ruudustikult loetuna	250 × 20 ÷ 100
Vastus	50

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sa ei pea meeles, kumba kahte korrutada — sa vaatad 🖖

Selles ongi kogu selle meetodi mõte ja see ei ole matemaatiline põhjendus. Siin on neli küsimust — leida osa, tervik, protsent, uus väärtus — ja valemitena õpituna on need neli asja, mida tuleb surve all lahus hoida. Selle ruuduna õpituna on need üksainus: tõmba ring ümber otsitava arvu; need kaks, mis ei ole ristiga sellega ühendatud, korrutatakse, ja see üks, mis on, jagab. See ei muutu kunagi, ükskõik millise nurga sa ringiga ümbritsed. Pilt, mille saad tšeki tagaküljele uuesti üles ehitada, võidab valemi, mida pead õigesti mäletama — ja just seepärast kasutavad inimesed, kes selle nii ära õppisid, seda aastakümneid hiljemgi.

Ruut on kaks sarnast kolmnurka 🖖

2 m kõrgune teivas heidab 3 m pikkuse varju; puu tema kõrval heidab 18 m. Sama päike, sama nurk, seega on mõlemal kolmnurgal sama kuju — ja võrdsete nurkadega kolmnurkade küljed on võrdelised, see on Eukleides, Elemendid VI.4. Neli arvu ruutu: puu on 2 × 18 ÷ 3 = 12 m, mõõdetud maast lahkumata. See on ühtlasi meetodi aus piir. Ta töötab täpselt siis, kui üks suurus on teise püsiv kordne, sest just siis need kaks kolmnurka eksisteerivad. Kepleri T² ∝ a³ taga midagi sellist ei ole ja ükski 2×2 ruudustik ei anna sealt tiirlemisperioodi.

Tuhat aastat lõppes aritmeetika siin 🖖

Brahmagupta pani reegli kirja 628. aastal ja mitte võrrandina — tundmatut selles ei ole. Ta nimetas kolm suurust, pramāṇa, phala ja icchā, koos tähelepanekuga, et kaks neist on sama liiki ja kolmas mitte. Just seda tingimust ruut jõustab, hoides sarnase sarnase all. Sama sõnastus on sajandeid hiljem äratuntav araabia allikates ja seejärel Itaalia abbaco-raamatutes — Fibonacci Liber abaci (1202) kaupmehearitmeetikas ja arvutuskoolides, mis sellele järgnesid. Ja see jäi õppekava lõpuks, mitte alguseks: kui Abraham Lincolnil paluti 1859. aasta detsembris oma haridust kirjeldada, kirjutas ta, et oskab „lugeda, kirjutada ja arvutada kuni kolmiktehteni; aga see oli kõik“.

Tõus, mis toob tagasi, ei ole samaväärne kukkumisega 🖖

20% kukkumist ei heasta 20% tõus ja erinevus ei ole ümardamisviga — see on kõver, mis tõuseb üles ja muutub vertikaalseks. 50% kukkumise korral on taastumiseks vaja 100% tõusu; 80% kukkumise korral 400%; 90% kukkumise korral 900%. Kaotus kasvab lineaarselt, kuid taastumiseks vajalik pingutus tormab lõpmatusse.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kui palju maksavad 7, kui 3 õuna maksavad 2,4 5 sammu
3 õuna maksavad 2,4. Arvuta, kui palju maksavad 7 — ja seejärel selgita välja, mida pidid selleks eeldama.
1. Ruudu mõlemad read kirjeldavad sama suhet ja see ongi kogu väide, mida tehakse. Ülemine rida on sulle antud paar, 3 arvu 2,4 kõrval; alumine rida on soovitav paar, 7 tundmatu kõrval. Seega on murd 3/2,4 ja murd 7/D üks ja sama arv.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D}$
2. Murdudega on ebamugav lahendada, seega vabane neist. Korruta mõlemat poolt korraga arvuga 2,4 ja muutujaga D ning kumbki nimetaja taandub oma poolel. Alles jääb rist: ruudu kahe diagonaali korrutised on võrdsed.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D} \times 2.4 D ⟹ 3 \times D = 2.4 \times 7$
3. Nüüd on tundmatu murrust väljas. See on korrutatud diagonaalis selle vastas asuva arvuga ning kaks vajalikku arvu on need, mis asuvad diagonaalil, mis seda ei puuduta.
  
  $D = \frac{2.4 \times 7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8 ja 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D = \frac{16.8}{3} = 5.6$
5. Tee see korra läbi ka pikemat teed pidi, sest see näitab, mis ristreegel tegelikult on. 2,4 ÷ 3 = 0,8 on ühe õuna hind ja 7 × 0,8 = 5,6. Ristreegel on ühikumäära leidmine nii, et jagamine on lükatud lõppu, mistõttu töötab see ka siis, kui ühikumäär on inetu arv.
  
  $\frac{2.4}{3} = 0.8 ⟹ 7 \times 0.8 = 5.6$
Vastus

Ruudustik kuvab 5,6. Arvutamine on selle lihtsam pool; see, millele see tugineb, mitte. Ristkorrutamine eeldab, et maksumus on koguse kindel kordne — et suhe on sama nii 3 kui ka 7 puhul ning et 0 õuna maksab 0. Määra samadele õuntele hinnaks 0,6 koti eest pluss 0,6 iga õuna eest ja 3 õuna maksavad ikka täpselt 2,4, nii et küsimus tundub muutumatu, kuid 7 õuna maksavad nüüd 4,8 ning ruudustik annab 0,8 võrra liiga suure tulemuse. Üks kontrollnõks aitab seda avastada: kahekordista kogust ja kontrolli, kas teine pool kahekordistub. Püsimaksed on kõikjal — kohaletoimetamise tasu, abonenttasu, miinimumtasu — ja igaüks neist lõhub ruudu eeldused, jättes samal ajal küsimuse sõnastuse täiesti muutumatuks.

$c = 0.8 n ⟹ c (7) = 5.6; c = 0.6 + 0.6 n ⟹ c (3) = 2.4, c (7) = 4.8$
20% tõus ja 20% langus arvule 200 5 sammu
200 suureneb 20% võrra ja seejärel väheneb 20% võrra. Tõus märgib 120 arvu 100 vastu, seega annab see 200 × 120 ÷ 100 = 240. Arvuta, millise tulemuse annab langus ja miks vastus ei ole 200.
1. Alumine rida on muutus kirjutatud suhtena arvu 100 vastu, ja see on koht, kus nurk täidetakse valesti. 20% langus on 80 arvu 100 vastu, mitte 20, sest see, mis alles jääb, moodustab endiselt 80% sellest, mis oli. Pane sellesse nurka 20 ja ruut annab tulemuseks 48, mis on kärpe suurus, mitte uus hind.
  
  $100 - 20 = 80 ⟹ \frac{A}{240} = \frac{80}{100}$
2. Kui 80 on omal kohal, toimib rist korrutamine täpselt samamoodi nagu õunte puhul: uus väärtus korda 100 võrdub 240 korda 80.
  
  $A \times 100 = 240 \times 80 = 19200$
3. Jaga arvuga 100: 192, mis on 8 võrra väiksem kui arv, millest kogu asi algas.
  
  $A = \frac{19200}{100} = 192, 200 - 192 = 8$
4. Põhjus on selles, et kahte protsenti mõõdetakse erinevate summade suhtes. Tõus lisas 40, mis on 20% arvust 200. Langus eemaldas 48, mis on 20% arvust 240. Võrdsed protsendid, erinev raha — ja suurem nendest oli paratamatult lahutamine, sest seda võeti suuremast arvust.
  
  $240 - 200 = 40 = 0.20 \times 200, 240 - 192 = 48 = 0.20 \times 240$
5. Kordajatena on see üks rida ja see rida selgitab rohkem kui ruudustik. 1,2 × 0,8 = 0,96 ning korrutamine ei sõltu järjekorrast, seega annab esmalt langetamine ja seejärel tõstmine samuti tulemuseks 192.
  
  $\frac{120}{100} \times \frac{80}{100} = 1.2 \times 0.8 = 0.96, 200 \times 0.96 = 192$
Vastus

Ruudustik kuvab 192. Selle taga on algebraline seos, mida tasub meelde jätta: (1 + p)(1 − p) = 1 − p², seega tõus ja samasuur langus jätavad tulemuse alati esialgsest p² võrra väiksemaks, olenemata sellest, kummas järjekorras need toimuvad. Siin p = 0,2, kadu on 0,04 × 200 = 8 ning see on piisavalt väike, et näida ümardamisena. Kui p = 0,5, maksab sama edasi-tagasi muutus 25% kõigest. Langus, mis tõeliselt tühistab 20% tõusu, ei ole sugugi 20% — tühistamine tähendab jagamist arvuga 1,2 ning 1 ÷ 1,2 = 0,8333, mis on 16,67% langus. See on sama ruut, kus tundmatu on liigutatud algusnurka: 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1 + p) (1 - p) = 1 - p^{2}; \frac{1}{1.2} = 0.8333 ⟹ - 16.67%$

Õpitee

Üks arv paljude jaoks: kokkuvõtlik statistika

Viib edasi Kaalutud keskmine protsendimuutuste asümmeetria: 50% langus nõuab taastumiseks +100% tõusu.

Allikad (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-11

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

7 õuna - 3 õuna maksavad 2,4 — mis maksavad 7? Tõmba ring ümber D ja ruudustik annab 7 × 2,4 ÷ 3 = 5,6.
20% arvust 250 - 20% arvust 250. Tõmba ring ümber A ja loe maha: 250 × 20 ÷ 100 = 50. Nurgas olev 100 on see tervik, millest 20 on osa.
20% tõus - 200 tõuseb 20%. Muutusest saab 120 vastu 100 ja A tuleb 200 × 120 ÷ 100 = 240.
Tagurpidi - Hind on pärast 20% tõusu 240 — mis see enne oli? Tõmba ring ümber B: 240 × 100 ÷ 120 = 200. Kui võtta 240-st 20% maha, saad 192, ja see on vastus hoopis teisele küsimusele.
Ja siis −20% - Lase nüüd sellel 240-l 20% langeda: 240 × 80 ÷ 100 = 192. 20% tõus ja seejärel 20% langus jätab su 192 peale, mitte tagasi alguse 200 juurde.
50% kukkumisest taastumine - Hind 200 kukub 50% võrra 100-le. Tagasi 200-le jõudmiseks on vaja 100% tõusu (+100,0%), mitte 50% — kaks korda rohkem kui kaotatud protsent.