Soojusjuhtivuse võrrand

Vali algtemperatuuri profiil või joonista see graafikule, ja materjal. Varda mõlemat otsa hoitakse temperatuuril 0 °C. Leht lahendab soojusjuhtivuse võrrandi täpselt ja paneb kella käima, jättes algse profiili kummitusena taustale.

Näidisarvutus — Soojusjuhtivuse võrrand

Aeg kellal	432,2 s
Aeg 1. moodi languseks e võrra	875,7 s
Esimese moodi kõrgus praegu	38,9 °C
Temperatuur keskel	39,4 °C
Kuumim punkt	0,500 m
Profiili ja 1. moodi suurim vahe tipust	1,27%
Veerandpunkt vasakul miinus paremal	0,0 °C
Vardas säilinud soojus, osana algsest	73,91%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Soojusjuhtivuse võrrand

Soojusjuhtivuse võrrand ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² ütleb, et temperatuur punktis muutub kiirusega, mille määrab profiili kõverus selles punktis: oma naabrite keskmisest külmem punkt soojeneb, kuumem aga jahtub. κ = k/(ρc_p) ehk temperatuurijuhtivus on soojusjuhtivustegur jagatud ruumalalise soojusmahtuvusega. Pikkusega L varda jaoks, mille otsad on hoitud 0 juures, on lahendiks algprofiilist f(x) u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²}, kus b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx üle kogu varda.

Mida iga sümbol tähendab

u: temperatuur kohas x ajahetkel t, ühikuga °C
κ: temperatuurijuhtivus (m²/s): 1,157 × 10⁻⁴ vase ja 1,17 × 10⁻⁵ süsinikterase puhul
τ: κt/L², aeg võrrandi arvestuse järgi; kahel samast profiilist alustanud vardal on sama τ juures identne kuju
b_k: siinusmoodi k suurus alguses, arvutatuna algprofiili põhjal

Kuum varras kaotab esmalt oma teravad servad 🖖

Vajuta Keskmine kolmandik, vask. Katkendlik kummitus tähistab varda algseisu: 100 °C plokk vertikaalsete seintega. Iga algprofiili saab kirjutada mõlemast otsast hääbuvate siinusmoodide summana, kus moodil k on k küüru, ning allolev tabel näitab nende suurusi: b₁ = 63,662, b₃ = −42,441, b₅ = 12,732. Iga mood sumbub oma kella järgi kui e^{−k²π²κt/L²}, seega mood 3 kaob üheksa korda kiiremini kui mood 1 ja mood 5 kakskümmend viis korda kiiremini. Vertikaalsed seinad koosnevadki kiiretest moodidest, mistõttu need kaovad esimesena. Ajaks τ = κt/L² = 0,05, mis on 7,2 minutit 1 m pikkuses vases, erineb profiil esimesest moodist maksimaalselt 1,27% võrra selle tipust ja temperatuur keskel on 39,4 °C. Sealt edasi kuju vaevalt muutub; kahaneb vaid selle kõrgus. Logaritmilisel graafikul on iga mood sirgjoon, mis on k² korda järsem kui esimene. Just sellise jada ehitab Fourier Series Builder ja Fourier kirjutas selle soojuse jaoks: tema Théorie analytique de la chaleur (1822) kasvas välja uurimusest, mille ta saatis Institut de France'ile 1807. aasta lõpus.

Kaks korda pikem varras võtab neli korda rohkem aega 🖖

Vajuta Keskmine kolmandik, vask, seejärel Vask, pool meetrit. Profiilid on identsed, sest võrrand peab arvet vaid ühe kella, τ = κt/L² järgi: varda pikkus on mängus ruuduna ja materjal ainult läbi κ, selle temperatuurijuhtivuse. Seega jõuab 1 m pikkune vask τ = 0,05 juurde 432,2 s pärast ning 0,5 m pikkune 108,0 s pärast ehk neljandiku ajaga. Esimese moodi enda aeg e-kordseks langemiseks on L²/(π²κ): 875,7 s 1 m pikkuse vase puhul, 8 659,9 s süsinikterase puhul, mille κ on 9,89 korda väiksem, ning 36,1 tundi Pyrexi puhul. Soojus ei levi mingil kindlal kiirusel. Vahemaa, millele see on levinud, kasvab võrdeliselt aja ruutjuurega, mistõttu ilmub seesama ruutjuur esile ka klassikalise juhusliku liikuja levimisel lehel Quantum Random Walk.

Varras unustab, kumba poolt kuumutati 🖖

Vajuta Vasak pool kuum. Kogu soojus on alguses vasakul ja on loomulik eeldada, et varras jääb ebasümmeetriliseks jahtumiseni. Ebasümmeetria kaob aga ammu enne soojust. Profiili ebasümmeetriline osa koosneb selle paarisarvulistest moodidest, millest igaühel on sama palju küüre üles kui alla. Neist suurim ja aeglaseim, mood 2, üks küür üles ja teine alla, algab täpselt sama suurelt kui esimene mood: b₂ = b₁ = 63,662. See kaob neli korda kiiremini. Ajaks τ = 0,1 ehk 14,4 minuti pärast vases on moodil 2 järel 0,0193 algsuurusest, võrreldes esimese moodi 0,3727-ga; kuumim punkt on liikunud kohale 0,468 m ehk 3,2 cm keskelt eemale ning veerandpunkt kuumutatud poolel on vaid 2,5 °C soojem kui selle peegelpilt, ehkki vardas on endiselt järel 30,21% soojusest. Joonista milline tahes profiil ja juhtub täpselt sama, välja arvatud juhul, kui selle esimene mood on täpselt null. Iga mood kaob esimesest kiiremini, seega lõpeb iga selline profiil sama kaarena ning lõpuks mäletab varras oma algseisust vaid üht arvu: b₁, kaare kõrgust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui kaua läheb aega, kuni terasvarda keskkoht on külm? 3 sammu
1 m pikkuse süsinikterasest varda keskmine kolmandik on 100 °C ja mõlemad otsad on jääs. Kui kaua kulub aega, kuni temperatuur keskel langeb alla 1 °C? Ajaliugur peatub kohas τ = 0,3, enne vastuseni jõudmist. Vajuta esmalt Keskmine kolmandik, teras: leht annab väärtuse b₁ ning esimese moodi e-kordse langemise aja.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ammu enne seda, kui keskkoht jõuab 1 °C-ni, on kõik moodid peale esimese kadunud (ajaks τ = 0,1 on profiil juba 0,02% täpsusega üks kaar). Seega on temperatuur keskel b₁e^−π²τ ning selle 1-ga võrdsustamine annab τ:
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. Kuna τ = κt/L² ja T₁ = L²/(π²κ), on aeg ln(b₁) korda esimese moodi e-kordse langemise aeg:
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. Kontrolli, et ülejäänutest suurim, mood 3, on selleks ajaks tõepoolest kadunud:
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
Vastus

Veidi alla kümne tunni: 35 970 s. Vastuseks on ln(63,662) = 4,15 e-kordse langemise aega, olenemata materjalist, seega kulub samal vaskvardal 4,1536 × 875,7 s = 3 637 s, mis on umbes tund aega. Mood 3 on selleks ajaks langenud tasemele 2,5 × 10⁻¹⁵ °C, seega on ühe kaare valem täpne palju enamate komakohtade ulatuses kui ükski termomeeter näidata suudab.

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

Õpitee

Soojusjuhtivuse, laine- ja Laplace'i võrrandid

Allikad (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.