Maapinna temperatuur: aastaajad maa all

Vali pinnas ja sügavus. Pinnatemperatuur muutub koos aastaaegade ja kellaajaga. See leht näitab soojusjuhtivuse võrrandi täpsele lahendile tuginedes, milline kõikumine jõuab sinu termomeetrini. Võrdluseks on taustal kahvatult näha maapinna enda kõikumine.

Näidisarvutus — Maapinna temperatuur: aastaajad maa all

Termomeetri sügavus sumbumissügavustes	1,247
Aastase tipu hilinemine	72,5 päeva
Sügavus, kus aasta on täpselt vastupidine	6,30 m
Ööpäevane sumbumissügavus	0,1049 m
Ööpäevase tipu hilinemine	91,0 h

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Maapinna temperatuur: aastaajad maa all

Kui ühtlase maapinna temperatuur kõigub siinuseliselt perioodiga P, siis sügavusel z on hälve maapinna omast e^−z/d ja saabub (z/d)·P/2π hiljem. Seejuures on d = √(κP/π) sumbumissügavus ning κ pinnase temperatuurijuhtivus. Mõlemad nähtused on määratud üheainsa arvuga z/d. Sügavusel z = πd hilineb kõikumine täpselt poole perioodi võrra.

Mida iga sümbol tähendab

d: sumbumissügavus √(κP/π), mille jooksul hälve väheneb e korda; kuiva mulla puhul on see aastase perioodi jaoks umbes 2 m ja ööpäevase jaoks 10 cm
z: sügavus maapinnast
P: maapinna kõikumise periood: aasta pikkusega 365,2422 päeva või ööpäev
κ: pinnase temperatuurijuhtivus ühikutes m²/s

Hälve sumbub ja hilineb ühe ja sama arvu võrra 🖖

Vajuta Calton Hill, 24 Pr jalga ja uuri tulemuste kolme rida. Sügavus sumbumissügavustes, z/d, on 2,776. Hälve on seal e^−2,776 = 6,23% maapinna omast. Selle tipp saabub aga 2,776 × 58,13 = 161,4 päeva hiljem, sest aasta on 2π radiaani ja üks radiaan moodustab 365,2422/2π = 58,13 päeva. Sumbumine ja hilinemine tulenevad samast arvust. Iga kord, kui hälve teel allapoole e korda väheneb, jääb see veel 58,1 päeva hiljaks. Mõne muu pinnase valimisel d küll muutub, kuid 58,1 päeva jääb samaks. Forbes asetas termomeetrid Edinburghi Calton Hilli kivimisse 3, 6, 12 ja 24 Prantsuse jala sügavusele. 1860. aastal analüüsis William Thomson nende kolmeteistkümne aasta lugemeid. Vahemikus 3 kuni 24 jalga langes aastase hälbe logaritm 0,1160 võrra ja tipp nihkus 0,1156 radiaani võrra iga Prantsuse jala kohta – seda näitab teise tabeli paksus kirjas rida. Teooria eeldas nende võrdsust ja nad klapivadki 0,3% täpsusega. Maapinnale lähemal on erinevus 6,2%. Thomson pidas seda pinnase, mitte mõõtmisvea tagajärjeks: ei kivim ega ka maapind pole nii ühtlased, kui teooria eeldab.

Kuue meetri sügavusel kuivas mullas saabub soojim päev talvel 🖖

Vajuta Kuiv muld, 6,3 m. See sügavus vastab sentimeetri täpsusega πd-le. Hälve on kahanenud tasemeni e^−π = 4,32% maapinna omast ja saabub 182,7 päeva hiljem. See teeb paari tunni täpsusega pool aastat. Seega on alumise paneeli kaks kõverat teineteise peegelpildid ja pinnas on seal kõige soojem just maapinna külmimal ajal. See soojus on vaid 0,35 °C keskmisest kummalegi poole, ja kelder nii sügavale ei ulatu. Vajuta Kuiv muld, 2,5 m. Keldri sügavusel saabub suvi 72,5 päeva hiljem ja hälbest on järel 28,73%, mis annab tulemuseks sügisese tipu. Kesksuvel ei ole kõige külmem pinnas samuti 6,30 m sügavusel, vaid hoopis 4,72 m peal. See on kolm neljandikku πd-st, kus hälve on suurem ja hilineb vaid kolm kaheksandikku aastat. Tulemused arvutavad selle sügavuse välja iga valitud pinnase jaoks.

Poole meetri sügavusel on öö kadunud, kuid aastaajad alles 🖖

Vajuta Pool meetrit, ööpäevane. Kuivas mullas väheneb ööpäevane hälve e korda iga 0,1049 m järel, aastane aga iga 2,004 m järel – see on 19,11 korda sügavam. Nende suhe on √365,2422 ehk kahe perioodi suhte ruutjuur. Kuna κ taandub siin välja, on see suhe iga pinnase puhul sama. Poole meetri sügavusel on ööpäevane hälve 0,85% maapinna omast ja see saavutab tipu 18,2 tundi hiljem, samas kui aastane hälve on endiselt 77,92% ja hilineb vaid 14,5 päeva. Termomeeter registreerib seal ööpäevast rütmi vaevu, kuid järgib aastaaegu peaaegu sünkroonis. Siin avaldub taas Soojusjuhtivuse võrrandi ruutseadus: 365 korda pikem periood ulatub √365 korda sügavamale.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kelvini hinnang Maa vanusele 3 sammu
Aastal 1862 käsitles William Thomson, hilisem lord Kelvin, Maa koort kivimina, mille κ = 400 ruutjalga aastas. Ta eeldas, et see oli algselt ühtlaselt 7000 °F tänasest maapinnast kuumem ning on sellest ajast saadik pinna kaudu jahtunud. Mõõtmiste kohaselt soojeneb maapõu umbes 1 °F iga 50 jala sügavuse kohta. Kui vanaks hindas Thomson nende andmete põhjal Maa? Vajuta esmalt Thomsoni kivim, 1 m. Leht näitab, kuidas see κ väärtus mõjutab aastast lainet.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Meetermõõdustikus on Thomsoni κ väärtus 1,178 mm²/s (näha κ lahtris) ning selle aastane hälve väheneb e korda iga
  
  $κ = \frac{400 \times 0 . 304 8 ^{2} m ^{2}}{3 . 15569 \times 1 0 ^{7} s} = 1.178 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, d_{y} = \frac{400}{π} ft = 11.28 ft = 3.439 m$
2. Kivimil, mis on algselt ühtlaselt kuum ja jahtub ajahetkest 0 oma pinna kaudu, on maapinnal temperatuurigradient G = ΔT/√(πκt) – see on Fourier' lahend kujul, nagu Thomson selle kirja pani. Avalda sellest t, kasutades Thomsoni algseid ühikuid (°F, jalad ja aastad):
  
  $t = \frac{Δ T ^{2}}{π κ G ^{2}} = \frac{7 , 00 0 ^{2}}{π \times 400 \times ( 1/50 ) ^{2}} = \frac{49 , 000 , 000}{0 . 50265} = 97, 480, 000 years$
3. Vastus on pöördvõrdeline gradiendi ruuduga, mis oligi ainus mõõdetud arv. Poole väiksem gradient teeks Maa neli korda vanemaks ning Thomsoni pakutud sulakivimi temperatuuri kõrgeim hinnang, 10 000 °F, annab tulemuseks
  
  $G = \frac{1}{100} : t = 4 \times 97.48 = 389.9 million years; Δ T = 10, 000^{\circ} F : t = 198.9 million years$
Vastus

Umbes 97,5 miljonit aastat. Thomson kirjutas 98 000 000 ja hindas vanuseks 20 kuni 400 miljonit aastat, arvestades tolleaegset teadmatust kivimite käitumisest kõrgetel temperatuuridel. Tänapäeval on üldtunnustatud vanus 4,54 miljardit aastat. Tavaliselt süüdistatakse eksimuses radioaktiivsust, kuid see on vale: pannes Maa radioaktiivse soojuse sellesse arvutusse, vastus vaevu muutub. Alt veab hoopis eeldus, et planeedi sisemuses miski ei liigu. Aastal 1895 näitas John Perry, et voolav sisemus suudab soojust üles kanda palju kiiremini kui soojusjuhtivus, isegi kui kuum kivim liigub üliaeglaselt. Sellisel juhul räägib maapinna temperatuurigradient Maa tegelikust jahtumisajast üsna vähe.

$t \approx 97.5 \times 1 0^{6} years (Thomson: 98, 000, 000; accepted: 4.54 \times 1 0^{9})$

Õpitee

Soojusjuhtivuse, laine- ja Laplace'i võrrandid

Allikad (3)

Fourier's solution for a periodic surface temperature stated as a law, the retardation of the epoch in radians equal to the diminution of the logarithm of the amplitude, and tested on Forbes's thermometers at 3, 6, 12 and 24 French feet in the rock of Calton Hill (Table IV, thirteen years, 1842–1854: 0.1160 and 0.1156 per French foot from 3 to 24 feet), with k/c of 235.1, 260.5 and 690.7 square French feet a year for the three Edinburgh sites (§§11, 21, 35–38); and the age of the Earth from the cooling of a solid half-space, κ = 400 square feet a year and 1 °F per 50 feet, 98,000,000 years for 7,000 °F and limits of 20 and 400 million (§§6, 10–16): W. Thomson, "On the reduction of observations of underground temperature; with application to Professor Forbes' Edinburgh observations, and the continued Calton Hill series", Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22 (1861), 405–427, doi:10.1017/S0080456800030702; and "On the secular cooling of the Earth", same journal, 23 (1862), 157–169, doi:10.1017/S0080456800018512. Both reprinted in his Mathematical and Physical Papers, vol. III (Cambridge University Press, 1890), Arts. XCIII and XCIV.
Kelvin's calculation re-run with modern values, and the case that radioactivity does not invalidate it (adding the Earth's radioactive heat barely changes the answer) while convection in the interior, argued by John Perry in 1895, does: P. England, P. Molnar and F. Richter, "John Perry's neglected critique of Kelvin's age for the Earth: A missed opportunity in geodynamics", GSA Today 17(1) (2007), 4–9.
The periodic solution and its damping, Example 5.7 (the coldest ground in high summer at three quarters of π damping depths); the thermal diffusivities of dry mineral soil, 4 × 10⁻⁷ m²/s, and granite, about 7.4 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the accepted age of the Earth, 4.54 billion years (Problem 5.45): J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. §5.6 and Example 5.7, pp. 233–235; Problem 5.45; Table A.2, p. 744.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.