Nurkade jaht

leia märgitud nurk, kasutades üht reeglit korraga

Näidisarvutus — Nurkade jaht

Samme ahelas	2
Kasutatud reeglid	2
Fikseeritud	5 / 6
Teised lahendusteed	6, 1 kuni 3 sammu
Antud	30°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Nurkade jaht

Nurkade leidmine on ülesanne, kus joonisel tähistamata nurk leitakse samm-sammult. Igal sammul rakendad üht kindlat reeglit ja tugined juba leitud nurkadele. Need reeglid moodustavad väikese püsiva kogumi, mille saad kaasa geomeetriakursuselt. Igaüks neist on olemuselt lineaarvõrrand tundmatute nurkade suhtes. Näiteks kolmnurga nurkade summa on a + b + c = 180, tippnurgad on a = b ja nii edasi. Seetõttu toob muutujate elimineerimine siin alati lahenduse. Põhiküsimus polegi enam nurga lõplik suurus. Palju huvitavam on uurida, kas joonis annab piisavalt infot lahenduseni jõudmiseks, ning mitu sammu sa eesmärgi saavutamiseks tegema pead.

Mida iga sümbol tähendab

180°: mis tahes kolmnurga nurkade summa ja sirge ühele poolele jäävate kõrvunurkade summa
360°: nurgad ümber punkti
rank: kui palju joonise tundmatuid nurki suudavad eeldused ja reeglid tegelikult fikseerida

Eeldab: Vastuoludeta joonestatud tasapinnaline kujund. Iga siinne joonis on koostatud, valides esmalt selle nurgad ja määrates alles seejärel koordinaadid. Nii ei saa see juhuslikult võimatu olla – garantii, mida käsitsi joonistatud õpikupildiga kaasa ei tule.

Küsimusele saab vastata ka joonist lõpuni lahendamata 🖖

Klõpsa Üks samm ja loe kaarti märgisega Fikseeritud. See näitab 4 6-st. Joonisel on kuus tundmatut nurka ning antud teave koos reeglitega paneb neist paika neli. Kaks jäävad vabaks. Tseviaan võib lõikuda sirgega BC suvalises punktis ja miski teadaolevast ei muutuks. Otsitav nurk on sellegipoolest kindel. Selle tõsiasja üle tasub järele mõelda, sest mõlemal juhul tundub paigalseis täpselt samasugune. Lugeja, kes ei suuda leida nurka ∠ADB, on mõne sammu vahele jätnud. Lugeja, kes ei suuda leida nurka ∠BAD, ei ole aga millestki ilma jäänud, sest sel nurgal polegi siin kindlat väärtust. Tundmatute võrdlemine reeglite poolt fikseerituga eristab need kaks olukorda ühe reaga. Nii saab vastuse küsimusele, mida pelgalt otsimine ei lahenda: kas vastus üldse eksisteerib.

Üheksa reeglit ja ühe kordamine teebki tagaajamise pikaks 🖖

Iga lahendusahel, mille see tööriist suudab luua, on üles ehitatud üheksale reeglile: kolmnurga ja nelinurga nurkade summa, kõrvunurgad, tippnurgad, nurkade summa punkti ümber, võrdhaarse kolmnurga võrdsed alusnurgad, paralleelide lõikamisel tekkivad põik- ja kaasnurgad ning jaotatud nurga osade tagasi kokku liitmine. Kaheksast kujundist seitsme puhul läheb lahenduskäigus mõnd reeglit teist korda vaja üliharva. Nelinurga puhul ei juhtu seda kunagi. Ristumisel tehakse seda vaid 0,0% ja kolmeks jagatud kolmnurga korral 4,7% lahenduskäikudest. Ja siis on meil trepp, kus lausa 30,1% kordadest kasutatakse mõnd reeglit kolm või enam korda. See on ühtlasi ainus kaheksa sammuni jõudev kujund. Need kaks asjaolu on tegelikult üks ja sama. Lahendus venib pikaks iseennast korrates, kandes üht väärtust raja ühest otsast teise: põiknurk ja sirge, käänak käänaku järel. Pikkus tuleneb läbitavast vahemaast, mitte raskusastmest.

Pikk lahendustee iseloomustab ülesannet, mitte sind 🖖

Vajuta mõned korrad Uus ülesanne, jättes joonise puutumata. Küsitav nurk jääb sageli samaks. Muutuvad aga nurgad, mis sulle alguses ette anti. Trepikujundil saab nurgani ∠A0A1A2 jõuda 32 erineval viisil, kusjuures lühim lahendus koosneb ühest, pikim aga kaheksast sammust. Sama joonis, sama nurk, sama vastus 30°. Kõigi siin esitatud kaheksa joonise peale kokku saab 63,0% nurkadest leida lahenduskäikudega, mis erinevad teineteisest kahe või enama sammu võrra, ning 32,8% puhul on vahe kolm või enam sammu. Kui lahendamine kipub venima, räägib see seega tavaliselt pigem sulle antud nurkadest kui sinu oskustest, ning kaart Teised lahendusteed näitab parajasti ekraanil oleva ülesande kohta neid mõlemat arvu. Samal põhjusel tasub oma lahenduskäiku küll teistega võrrelda, kuid erinevuste pärast ei maksa muretseda: kaks väga erineva pikkusega, ent täiesti õiget lahendust ongi tavapärane.

Ülesanne täielikult lahendatud

Üks samm või kaheksa, otsitav nurk on sama 5 sammu
Treppjoonisel on ∠A0A1A2 30°. Leia see kahel viisil. Esmalt algandmetega, mis teevad lahendamise lihtsaks, seejärel nendega, mis muudavad selle keeruliseks. Mida see erinevus meile tegelikult näitab? Vali Trepp paralleelide vahel ja vajuta Uus ülesanne, kuni otsitavaks nurgaks on ∠A0A1A2.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Vastus ei sõltu tegelikult millestki eelnevast. Selles joonises on ∠A0A1A2 alati 30°. See nurk oleks 30° olenemata sellest, millised andmed sulle alguses ette anti, sest joonis pandi paika ammu enne küsimuse esitamist.
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. Siin on lihtne lähenemine. Kui ülesanne annab sulle A1 juures kaks naabernurka, on kogu lahenduskäik vaid üks lahutamine sirgnurgast. Alumisest paralleelist allpool asuvad kolm nurka moodustavad kokku 180° ja kaks neist on teada.
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. Nüüd aga raskem tee sama nurga leidmiseks. Sulle antakse üks nurk tipus A0, teine tipus A2 ja kolmas tipus A3. Tipus A1 pole teada mitte midagi. Iga antud nurga juurest tuleb A1 juurde jõudmiseks mööda joonist sammhaaval edasi liikuda. See nõuab kaheksat sammu, millest kolm viivad ühelt paralleelilt teisele.
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. Kumbki lahenduskäik pole teisest nutikam. Neid eristab vaid see, millised nurgad ülesande koostaja otsustas ette anda. Selles joonises on sama eesmärgini jõudmiseks 32 erinevat võimalust. Lühim neist nõuab ühte sammu, pikim kaheksat.
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. Selline varieeruvus ei ole ebatavaline. Kõigi siin esitatud kaheksa joonise peale kokku saab 63,0% nurkadest leida lahenduskäikudega, mis erinevad teineteisest kahe või enama sammu võrra, ning 32,8% puhul on vahe kolm või enam sammu.
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
Vastus

Lahenduskäigu pikkus räägib ülesandest, mitte lahendajast. Seda on kasulik teada ühel väga praktilisel põhjusel. Kui lahendus venib pikaks, tasub esmalt uurida, kas mõne teise nurga leidmine joonisel oleks lihtsam. Ei maksa kohe arvata, et jätsid mingi kavaluse märkamata. Samal põhjusel on kahe täiesti õige, kuid väga erineva pikkusega lahenduse leidmine pigem reegel kui erand ja see ei tähenda, et üks neist oleks vale. Ja just seetõttu teeb hindaja, kes vaatab pelga lõppvastuse asemel loogikakäiku, hindamisel tegelikult seda palju keerulisemat osa.

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

Allikad (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.