Hüperboolne tasand

Konstantse negatiivse kõverusega tasand, kujutatuna Poincaré kettal. Konstrueeri kolmnurk ja võrdle selle nurki ning pindala tasapinnalise kolmnurgaga. Aseta punkt sirge kõrvale ja vaata, millised seda läbivad sirged antud sirget kunagi ei lõika, või võrdle ringjoone pikkust väärtusega 2πr.

Näidisarvutus — Hüperboolne tasand

Küljed, tasandi kaugustena	1,0000, 1,0000, 1,0000
Nurk tipu A juures	52,643°
Nurk tipu B juures	52,643°
Nurk tipu C juures	52,643°
Kõik kolm nurka koos	157,93°
Pindala	0,385
Osana π-st	12,26%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Hüperboolne tasand

Hüperboolne tasand on täielik, lihtsalt sidus pind, mille Gaussi kõverus on igal pool sama negatiivne arv; siin K = −1, mistõttu on pikkused antud kõverusraadiuse ühikutes ja pindalad selle ruutudes. Kolmnurga pindala on π miinus selle nurkade summa, ning väljaspool sirget asuvat punkti läbib lõpmatult palju sirgeid, mis seda kunagi ei lõika. Poincaré ketas kujutab kogu lõpmatut tasandit ringi sees: sirged muutuvad kaarteks, mis kohtuvad servaga täisnurga all, nurgad joonistatakse õigesti ja pikkused kahanevad serva suunas, mis asub lõpmata kaugel.

Mida iga sümbol tähendab

K: Gaussi kõverus, −1 selle tasandi igas punktis
Π(d): paralleelsusnurk: sirgest kaugusel d asuvat punkti läbivad sirged lõikavad seda ainult Π(d) piires ristsirgest

Üheski siinses kolmnurgas pole pindala suurem kui π, olgugi küljed kui tahes pikad 🖖

Vajuta Võrdkülgne, külg 1. Küljed on selle tasandi sirged, mis on joonistatud kaaridena, kuna ketas on kaart, ning nurkade summa on 157,93°. Puudujääk 180°-st on pindala: 180° − 157,93° = 22,07°, mis radiaanides on 0,385. Nüüd vajuta Võrdkülgne, külg 10. Iga nurk on kahanenud 0,772°-ni, summa on 2,32° ja pindala on 3,101 ehk 98,71% π-st, samas kui 10-ühikuliste külgedega tasapinnalise kolmnurga pindala on 43,30. Kuna pindala on π miinus nurkade summa ja nurgad ei saa langeda alla nulli, ei ole ühegi selle tasandi kolmnurga pindala suurem kui π, sõltumata külgede pikkusest. Tabel näitab lähenemist: külg pikkusega 5 saavutab juba 84,41% π-st, külg pikkusega 20 saavutab 99,99%. Ainult kolmnurk, mille tipud on liikunud lõpmatusse ja mille kolm nurka on 0°, omab pindala täpselt π.

Väljaspool sirget asuvat punkti läbib lõpmatult palju sirgeid, mis seda kunagi ei lõika 🖖

Vajuta Paralleelid kaugusel 1. Must sirge on selle tasandi sirge ja punkt asub sellest 1 ühiku kaugusel. Jälgi punkti läbiva sirge pöörlemist. See lõikab musta sirget ainult siis, kui see on ristsirgest kuni 40,395° kaugusel, ühel või teisel poolel. Lobatševski nimetas seda nurka paralleelsusnurgaks, Π(d), ning 1840. aastal esitas selle kujul tan(Π/2) = e^−d. Kaks roosat sirget täpselt nurga Π(d) all lähenevad mustale sirgele selle otste suunas ega jõua selleni kunagi, ning samuti mööduvad sellest kõik sirged nende vahel ülejäänud 99,21° ulatuses. Eukleidese geomeetrias läbib punkti täpselt üks paralleel; siin on neid lõpmatult palju. Vajuta Paralleelid kaugusel 3: Π(d) on langenud 5,700°-ni ja 168,60° suundadest lähevad mööda. Kui tood punkti lähemale, siis kimp aheneb peaaegu olematuks, olles 55,05° juures d = 0,5: sirge lähedal käitub tasand peaaegu nagu paber.

Ringjoone pikkus kasvab eksponentsiaalselt ja suurem osa ringist asub selle serva lähedal 🖖

Vajuta Ringjoon raadiusega 10. Ringjoone pikkus on 2π sinh 10 = 69 198,18, paberil aga 62,83, olles 1 101 korda pikem. Sisemine pindala, 2π(cosh 10 − 1) = 69 191,90, on peaaegu sama arv ja 63,22% sellest asub servast kuni 1 ühiku kaugusel. Kaugel eemal korrutab iga 1-ühikuline samm ringjoone pikkust ligikaudu arvuga e. Henderson ja Taimina heegeldavad selle tasandi mudelit sama reegli järgi: iga uue reaga teevad nad N silmusest N + 1, seega on iga rida eelmisest sama teguri võrra pikem. Kuna kangas sisaldab rohkem serva, kui tasasele lehele mahub, peab see voltuma ja lainetama. Gaussi Theorema Egregium'i sadul pikenes samal viisil. Sisesta siin r = 0,5 ja ringjoon annab kõveruseks −1,0126 (hinnang on täpne ainult ringjoone kahanedes), samas kui sadula ringjoon andis samal raadiusel kõveruseks −0,884: see tasand on kõikjal kõverusega −1, sadul aga ainult oma keskpunktis.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ainult nurkade kaudu tuntud kolmnurk 4 sammu
Selle tasandi kolmnurga nurgad on 30°, 45° ja 60°. Milline on selle pindala ja kui pikad on küljed? Paberil puudub sellele küsimusele vastus: iga kolmnurga suurendamine säilitab selle nurgad. Vajuta esmalt Võrdkülgne, külg 1, kus leht näitab nurkade summat ja pindala.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Eelseadistuses on pindala π miinus nurkade summa radiaanides:
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. Sama reegel annab kohe ka selle kolmnurga pindala:
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. Külgede leidmiseks on sellel tasandil teine koosinusteoreem, mis võtab sisendiks nurgad ja annab väljundiks külje:
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. ning ülejäänud kaks samal viisil, alustades B-st ja C-st:
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
Vastus

Pindala π/4 = 0,7854, küljed 1,3121, 1,6231 ja 1,8131. Ühelgi teisel kolmnurgal pole selliseid nurki: suurenda seda ja selle pindala kasvab, seega peab nurkade summa vähenema. Erineva suurusega sarnaseid kolmnurki sellel tasandil ei eksisteeri ja kolmnurga nurgad kannavad endaga kaasas pikkusskaalat, milleks on kõverusraadius.

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

Õpitee

Geomeetria kõverpinnal

Allikad (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.