Suurringjooned

Vali maakeral kaks asukohta. See leht lendab nende vahel lühimat teed pidi kõrvuti marsruudiga, mis hoiab üht kompassikurssi. Leht kuvab mõlemad kursid ja pikkused ning jagab marsruudi lõikudeks nii, nagu navigaator seda teeks.

Näidisarvutus — Suurringjooned

Nurk A ja B vahel Maa keskpunktist vaadatuna	78,78°
Suurringjoon, lühim marsruut	8760,1 km
Kurss A-st väljudes	311,7°
Kurss B-sse saabudes	214,1°
Kursi muutus teel (miinus: vastupäeva)	−97,5°
Marsruudi kaugeim punkt ekvaatorist	62,26° N
Mercatori kõrguse muutus (isomeetriline laius)	−0,4208
Ainus kurss, mis viib B-sse	258,4°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Suurringjooned

Suurringjoon on joon, kus kera keskpunkti läbiv tasand lõikab selle pinda. Selle lühem kaar kahe punkti vahel on lühim tee nende vahel keral ehk kera versioon sirgjoonest. Loksodroom lõikab igat meridiaani sama nurga all, nii et seda saab juhtida ühel kompassikursil; Mercatori kaardil on see sirgjoon. Kui mõlemad asukohad ei asu just ekvaatoril või ühel meridiaanil, on suurringjoon alati lühem ja selle kurss muutub pidevalt kogu teekonna vältel.

Mida iga sümbol tähendab

σ: nurk kahe asukoha vahel Maa keskpunktist vaadatuna; suurringjoone pikkus on Rσ, kus σ on radiaanides
θ: kurss, mõõdetuna põhjast päripäeva: θ₁ A-st väljumisel, θ₂ B-sse saabumisel
ψ: isomeetriline laius, ln tan(45° + φ/2): laiuskraadi φ kõrgus ühikkera Mercatori kaardil
R: Maa raadius, siin on keskmine raadius 6 371,0088 km

Eeldab: Eeldame Maa keskmise raadiusega kera. Maa lapikus on ligikaudu 1 osa 298-st ja WGS 84 ellipsoidil on lühim tee Londoni Heathrow'st Los Angelesse Vincenty meetodi järgi 8 781,1 km ehk 0,24% pikem kui kera mudeli 8 760,1 km. Laiema marsruutide valiku puhul on kera mudeli suurim kõrvalekalle umbes pool protsenti, esinedes peamiselt ekvaatori lähedastel lühikestel põhja–lõuna suunalistel lendudel.

Edelas asuvasse linna jõudmiseks alusta lendu loodesse 🖖

Vajuta Londonist Los Angelesse. Los Angeles asub Londonist 17,5 laiuskraadi lõunas ja 118 pikkuskraadi läänes ning navigaator, kes hoiaks üht kurssi 258,4°, jõuaks sinna 9 732,5 kilomeetriga. Lühim marsruut suundub loodesse kursil 311,7°, ületab Gröönimaa lõunaosa 62,26° N juures ja laskub Los Angelesse edelakursil 214,1°. Pikkuseks on 8 760,1 km ehk 972,4 km vähem. Jälgi kompassi helesinist nõela. See pöördub 97,5°, samas kui marsruut ise ei paindu kunagi vasakule ega paremale. Põhjuseks on see, et liigub hoopis põhjasuund. Kuna kõik meridiaanid koonduvad samal poolusel, lõikab suurringjoon igaüht neist erineva nurga all. Allpool oleval tasapinnalisel kaardil on sirge joon ühe kursiga marsruut. Suurringjoon kaardub aga pooluse suunas, et hoida kokku peaaegu tuhat kilomeetrit.

Paralleel ei ole sirgjoon 🖖

Madrid asub 40,49° ja New York 40,64° põhjalaiusel, seega kulgeb nendevaheline püsikursiga marsruut peaaegu otse läände, 270,2°, ning pea täielikult piki paralleeli: 5930,8 km. Suurringjoon väljub Madridist kursil 294,7°, ületab Atlandi ookeani kõrgemal 46,30° põhjalaiusel ja jõuab kohale 169,9 km varem. Paralleeli mööda liikumine tundub sirgjooneline, kuid pole seda. Ekvaatorist eemal on paralleel ümber pooluse joonestatud väike ring ja 40,49° põhjalaiusel püsimiseks tuleks iga 100 km järel pöörata 0,768° pooluse suunas; roolist lahti lastes kandute piki suurringjoont sellest lõunasse. Ekvaator on ainus paralleel, mis pööramist ei nõua, kuna vaid selle kese ühtib Maa keskpunktiga.

Poolita lõigud ja lisapikkus kahaneb neljandikuni, kuni marsruut möödub pooluse lähedalt 🖖

Laevad järgisid suurringjooni juba ammu enne autopiloote, liikudes kindlatel kurssidel paari pöördepunkti vahel. Vajuta Neli lõiku: Londonist Los Angelesse kurssidel 299,2°, 267,1°, 236,5° ja 219,3° lennates on teekond 74,6 km pikem kui suurringjoon. Ühe kursi puhul oli lisapikkus 972,4 kilomeetrit. Tabel näitab poolitamist: 972,4, 282,0, 74,6, 18,9, 4,8 km, ja jagatis jääb püsima 4 juurde. Põhjuseks on see, et lühikese lõigu lisapikkus kasvab võrdeliselt lõigu kuubiga: poolita lõik ja igaüks lisab vaid kaheksandiku varasemast, samas kui neid on kaks korda rohkem. Vajuta Singapurist New Yorki ja see reegel kaotab kehtivuse. See marsruut möödub poolusest 2,53° kauguselt, kus püsikurss keerleb ümber pooluse ega lõika sellest otse läbi. Kahe lõigu puhul on lisapikkus endiselt 2 976,7 km, võrreldes 3 160,4 kilomeetriga ühe lõigu puhul. Jagatised rändavad 1,06 juurest 3,92-ni ja tagasi 2,27-ni. Alles 32 lõigust alates, kus igaüks on umbes 480 km pikk, jõuab jagatis tagasi neljani.

Ülesanne täielikult lahendatud

Hoia igavesti üht kurssi 4 sammu
Alusta ekvaatoril asuvast punktist liikumist kursil 45° ehk kirdesse ja ära seda kunagi muuda. Kui kaugele sa jõuad enne põhjapoolusele jõudmist ja mitu korda sa sellele lähenedes tiiru peale teed? Vajuta kõigepealt Londonist Los Angelesse: leht arvutab välja selle loksodroomi pikkuse ning sama reegel annab vastuse ka sellele küsimusele.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lehel esitatud pikkus Londonist Los Angelesse kulgevale püsikursiga marsruudile, jaotatuna põhja-lõuna ja ida-lääne suunaliseks osaks, mõlemad mõõdetud radiaanides nurgana Maa keskpunktist:
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. Loksodroomil ei muutu kurss kunagi, seega annab iga kilomeeter sama palju põhjasuunalist edasiminekut, cos θ kilomeetrist. Ekvaatorilt pooluseni on veerand meridiaani, πR/2:
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. Pikkuskraad moodustab teise poole. Loksodroomil kehtib tan θ = Δλ/Δψ, seega 45° juures on läbitud pikkuskraad võrdne isomeetrilise laiuse ψ muutusega radiaanides ning iga selle 2π tähistab üht täisringi ümber pooluse. Üks kraad enne poolust, 157,3 km spiraali lõpust:
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. Kuid ψ ei lõpeta kunagi kasvamist. Pooluse lähedal on ψ väga täpselt logaritm 2 jagatuna järelejäänud polaarkaugusega. Seega iga kümnekordne samm lähemale lisab sellele sama palju juurde ning annab sama suure osa täispöördest:
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
Vastus

14 152,8 km ja lõpmatult palju ringe. Kaugus on lõplik, sest iga kilomeeter spiraalil annab 0,707 km põhjasuunalist edasiminekut. Kogu spiraal on seega √2 korda veerand meridiaani. Ringid ei lõpe kunagi, sest laiusel ψ puudub ülempiir, kuid need lisanduvad hilja ja väikselt: 0,755 täisringi 89° N juures, 1,488 ringi 89,99° N juures, kui jäänud on 1,573 km spiraali, ja sealt edasi veel 0,3665 ringi iga kümnekordse sammu eest lähemale. Mercatori kaart ei suuda selle lõppu näidata, sest poolus asub kaardilehel lõpmatult kõrgel.

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

Õpitee

Geomeetria kõverpinnal

Allikad (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.