Paralleellüke sfääril

Joonista sfäärile silmus ja liiguta noolt piki seda, hoides selle suunda pidevalt muutumatuna. Leht näitab, kuhu see jõuab, kui kaugel on see alguspunktist ja kuidas pööre suhestub silmusega piiratud alaga.

Näidisarvutus — Paralleellüke sfääril

Küljed, kesknurkadena	90,00°, 90,00°, 90,00°
Nurk punktis A	90,00°
Nurk punktis B	90,00°
Nurk punktis C	90,00°
Kolm nurka kokku	270,00°
Nurga ekstsess	90,00°
Sisemise sfääri osa	0,1250
Siseala	1,5708 R²

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Paralleellüke sfääril

Paralleellüke kannab noolt piki pinnal kulgevat teekonda ilma seda pööramata: igal sammul püsib nool pinnal ja muutub vaid nii palju, kui pind seda sunnib. Tasasel lehel naaseb iga suletud kontuuri läbinud nool täpselt endisena. Kõveral pinnal võib see naasta pööratult ja see pööre võrdub kontuuri sisse jääval alal kokku liidetud kõverusega, millest on lahutatud täispöörded. Raadiusega R keral on see radiaanides pindala/R², mis on suurringjoone kaartest kolmnurga puhul selle nurkade liig A + B + C − 180°.

Mida iga sümbol tähendab

E: kolmnurga nurga ekstsess, A + B + C − 180°; radiaanides on see siseala ühikutes R²
R: sfääri raadius; siinses näites Maa puhul 6 371,0088 km
φ: ringi laiuskraad, mida mööda noolt liigutatakse

Kordagi pööramata naaseb nool ikkagi 90° teises suunas 🖖

Vajuta nupule Kolm täisnurka. Kolmnurk kulgeb põhjapooluselt alla ekvaatorini, piki seda veerand tiiru edasi ja tagasi üles poolusele, kusjuures kõik selle kolm nurka on 90°. Jälgi nüüd oranži noolt. Piki iga külge säilitab see külje suhtes sama nurga, mis on kumerpinnal ainus „mitte pööramise” tähendus, ja igas nurgas püsib see täiesti paigal. See jõuab poolusele tagasi 90° vastupäeva pöördunult võrreldes katkendjoonega märgitud algasendiga. Numbriketas näitab, kuhu see 90° kadus. Piki kolmnurka kõndija pöörab igas nurgas 90°, kokku 270°, samas kui kinnine teekond paberil teeb täpselt 360° pöörde. Puuduv 90° ongi noole pööre ja ühtlasi ka kolmnurga pindala: π/2 ühikutes R², mis on kaheksandik sfäärist.

Loeb üksnes pindala ja Foucault' Pariis on peaaegu kaheksandik sfäärist 🖖

Vajuta Sama pindala, ümmargune: laiusring 48,59° N, kus sin φ = 3/4, nii et selle peale jääv kalott on kera pinnast üks kaheksandik, täpselt nagu oktant. Ringil pole nurki ega ühtegi teist sarnasust selle kolmnurgaga, kuid nool jõuab tagasi täpselt sama 90° võrra pööratult. Pööre ei sõltu millestki muust kui piiratud pindalast: 720° korrutatud sisse jääva kera osaga, millest on lahutatud täispöörded. Teine graafik paigutab iga kontuuri ühele joonele. Vajuta Pariis, 48,836° N, Foucault' pendli laiuskraad peatükis Coriolisi efekt ja Foucault' pendel: nool naaseb 88,98° vastupäeva pööratult. Pendel ongi seesama nool. Ühe täheööpäevaga kannab Maa selle võnkesihi korra ümber laiusringi. Miski seda ei vääna ja pöörleva maapinna suhtes jääb see maha 360° − 88,98° = 271,02° päripäeva. See teebki 11,32° tunnis, mida see leht Pariisi kohta kuvab. Laiuskraadil 30° N on kalott kera pinnast neljandik ja nool naaseb ümberpööratult.

Sipelgas suudab leida oma maailma raadiuse sealt lahkumata 🖖

Pööre jagatud pindalaga on sama iga kontuuri puhul ühel keral, mis katab sellest vähem kui poole, ja see on 1/R²: see suhe ongi kõverus. Vajuta London, Tokyo, Los Angeles. Maakeral katab see kolmnurk 47 696 300 km² ja pöörab noolt 67,33°, mis on 1,17508 radiaani. Ning √(47 696 300 / 1,17508) teeb 6 371,0 km ehk Maa raadiuse, mis leiti kahe pinnal tehtud mõõtmise põhjal. Selle märkamiseks on vaja suurt kontuuri. Poolita võrdkülgse kolmnurga küljed ja niipea, kui see on väike, langeb pööre neljandikuni (tabelis: 4,059; 4,015; 4,004), nii et 100 km külgedega kolmnurk pöörab noolt 22,0 kaaresekundi võrra. Geodeedid on just sellega arvestanud alates Legendre'ist: väikese sfäärilise kolmnurga iga nurk on sama pikkade külgedega tasapinnalise kolmnurga vastavast nurgast suurem peaaegu täpselt kolmandiku liigi võrra.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kolmnurk, mille nurkade summa on 181° 4 sammu
Maal on suurringi kaartega võrdkülgse kolmnurga nurkade summa täpselt 181°. Kui palju maad see katab ja kui pikad on selle küljed? Vajuta esmalt nupule Kolm täisnurka: seal on ekstsess 90° ja leht esitab pindala Maal.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Oktandi puhul on ekstsess veerand pööret ja pindala vastab sellele ekstsessile radiaanides korrutatuna R²-ga:
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. 1° ekstsess on π/180 radiaani, seega on pindala kohe leitav, olenemata kolmnurga kujust:
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. Külgede leidmiseks kasuta asjaolu, et kolmnurk on võrdkülgne. Iga nurk on 181°/3 ja sfäärilise kolmnurga koosinusteoreem kolme võrdse külje s puhul taandub kujule cos A = cos s / (1 + cos s), mis teiseneb cos s leidmiseks:
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. ja külg kilomeetrites on see nurk radiaanides korrutatuna R-iga:
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
Vastus

708 425 km², küljepikkusega 1 275,9 km. Sama kolme küljega tasapinnalise kolmnurga nurgad oleksid täpselt 60° ja pindala ligikaudu 704 900 km², ehk 0,50% vähem. Terve kraadi suuruse ekstsessi jaoks on tarvis suure riigi suurust kolmnurka: poolita selle küljed ja ekstsess langeb 0,249°-ni, mis on umbes veerand. Seetõttu annabki põllul välja mõõdetud kolmnurk iga malli täpsuse piires summaks 180°.

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

Õpitee

Geomeetria kõverpinnal

Allikad (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.