Coriolisi efekt ja Foucault' pendel

Vali laiuskraad ja see leht paneb Foucault' pendli võnkuma Maa pöörlemisega kaasa liikuva põranda kohal. Arvutus toimub reaalajas ja sinu valitud kiirusega. Allpool veereb pall üle pöörleva karusselli, vaadatuna nii maapinnalt kui ka karussellilt, ning kivi kukub kaevandusšahti. Iga arvutus tugineb Maa pöörlemiskiirusele Ω.

Näidisarvutus — Coriolisi efekt ja Foucault' pendel

Coriolisi parameeter, 2× vertikaalpöörlemine	1,098×10⁻⁴ s⁻¹
Tasandi kiirus põranda suhtes	11,32°/h
Tasandi täispöördeks kuluv aeg	31,79 h
Pöördenurk 24 tunni jooksul	271,76°
Üks võnge, sinna ja tagasi	6,65 s
Coriolisi kiirendus 0,1 m/s liikuval veel	1,10×10⁻⁵ m/s²
Sama näitaja g ühikutes	1,12×10⁻⁶ g
Külghälve 0,2 m anuma läbimisel	0,022 mm

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Coriolisi efekt ja Foucault' pendel

Coriolisi kiirendus on liige −2Ω × v, mis tekib siis, kui liikumist kirjeldatakse nurkkiirusega Ω pöörlevas taustsüsteemis, milleks siin on maapind. Kuna see mõjub kiirusega risti, muudab see ainult keha suunda, kuid mitte kunagi kiirust, ning ükski jõud seda ei tekita. Maapinnal toimuva liikumise puhul on oluline ainult lokaalse vertikaali ümber pöörlev osa Ω sin φ: see pöörab Foucault' pendli tasandit just sellel kiirusel ja annab Coriolisi parameetri f = 2Ω sin φ. Maapinnaga paralleelne osa Ω cos φ lükkab aga vertikaalset liikumist kas itta või läände.

Mida iga sümbol tähendab

Ω: Maa pöörlemiskiirus, 7,292115×10⁻⁵ rad/s: üks täispööre tähtede suhtes 23,93 tunniga
φ: laiuskraad, ekvaatorist lõunas negatiivne
f: Coriolisi parameeter, 2Ω sin φ: maapinnal liikuva keha külgsuunaline kiirendus kiiruse iga meetri kohta sekundis
Ro: Rossby arv U/(fL): liikumise enda kiirendus jagatud Coriolisi kiirendusega

Eeldab: Eeldatakse väikeseid hälbeid, mistõttu koosneb pendli liikumine kahest täisnurksest võnkumisest. Maa pöörlemise tsentrifugaalkomponent on lisatud g väärtuse sisse, mis osutab piki ripploodi, ning g = 9,80665 m/s² kehtib kõikjal. Kivi langeb vaakumis. Karussell on tasane ja hõõrdevaba, nii et miski ei lükka palli pärast selle veerema panemist.
Ei kehti, kui: Tõeline pendel, mille võnkumine on avardunud kergeks ellipsiks, pretsesseerib iseseisvalt ja seda kiirusel, mis kasvab koos ellipsi laiusega. Seepärast vabastas Foucault oma pommi, põletades selle hoidmiseks kasutatud niidi läbi, et vältida igasugust külgsuunalist tõuget. Õhk aeglustab kukkuvat kuuli: Reichil kulus langemiseks umbes 6,01 s, samas kui vaakumis oleks see 5,69 s. Sadade kilomeetrite lõikes muutub f väärtus koos laiuskraadiga, kuid see leht hoiab selle konstantsena.

Pariisis kulub tasandi täispöördeks 31,79 tundi, mitte 24 🖖

Vajuta nupule Pariisi obs., 1851 ja lase simulatsioonil joosta kiirusega üks tund sekundis. Miski ei pööra võnkumist vertikaaltelje ümber. Põrand pöörleb pendli all ning see liikumine sisaldab vaid seda osa Maa pöörlemisest, mis langeb kokku lokaalse vertikaaliga: laiuskraadil φ on see Ω sin φ. Põhjapoolusel hõlmab see kogu pöörlemist ja tasand teeb täisringi 23,93 tunniga, püsides samas tempos katkendliku kord-päevas joonega. Laiuskraadil 48,836° N on kiirus 15,04°/h asemel 11,32°/h, mistõttu kulub täispöördeks 31,79 tundi ning 24 tunni möödudes on tasand läbinud kõigest 271,76°. Täpselt seda kirjutas Léon Foucault 3. veebruaril 1851 ilmunud väljaandes Comptes rendus: ta esitas siinusseaduse ja märkis, et «meie laiuskraadidel» ei tee tasand kahekümne nelja tunniga täispööret. Ekvaatoril ei pöörle põrand vertikaali ümber üldse ja tasand jääb lahtilaskmise asendisse seni, kuni pomm võngub. Sealt lõunas pöörleb põrand teises suunas ja Sydney annab tulemuseks 8,38°/h vastupäeva.

Enda liikumise suhtes mõõdetuna tunneb kraanikausi vesi suuremat Coriolisi jõudu kui Foucault' 11 m pendel 🖖

Pariisi 11 m pikkuse pendli puhul ei ületa külgsuunaline Coriolisi jõud kunagi 1/8600 pommi liigutavast jõust. Vesi, mis läbib anumat kiirusega 0,1 m/s, saab Coriolisi kiirenduseks 1,12×10⁻⁶ g ning kaldub 0,2 m distantsil kõrvale 0,022 mm. Vee enda liikumisega võrreldes annab see Rossby arvuks 4550, samas kui allolevas tabelis on pendli näitajaks 8600. Neid kaht eristab aga kõik muu. Pendli tasandit ei pööra miski peale Maa enda, mistõttu lisab iga võnge samasuguse väikese pöörde ja tund aega annab kokku 11,32°. Vesi säilitab kraanikausis igasuguse algse keerise ning äravool koondab seda sarnaselt iluuisutajaga, kes käsi ligi tõmmates kiiremini pöörlema hakkab. Seega määravad anuma täitmine, tõmbetuul või soe sein tulemuse kaua enne seda, kui Maa mõjule pääseb. Aastal 1962 pani Ascher Shapiro MIT-st mahuti vastupäeva tühjenema, täites selle päripäeva pöörleva veega, kattes anuma kinni, hoides ruumitemperatuuri stabiilsena ja oodates 24 tundi. Äravoolu kohal olnud ujuk hakkas pöörlema alles siis, kui 20-minutilisest tühjenemisest oli kulunud 12 kuni 15 minutit. Teises tabeli otsas asub 1000 km laiune ja 10 m/s liikuv ilmastikusüsteem Rossby arvuga 0,0911, mille puhul juhib protsessi täielikult pöörlemine.

Kaevandusšahti kukkuv kivi maandub idas, mitte läänes 🖖

Kui maapind pöörleks kukkuva kivi alt ära, maanduks Freibergi šahtis 158,5407 m kõrguselt lahti lastud kivi 1,67 km lääne pool, sest just nii kaugele itta liigub maapind langemiseks kuluva 5,686 sekundi jooksul. Vajuta nupule Freibergi šaht, 1831: kivi maandub hoopis 27,65 mm idas. Kivi liikus lahtilaskmise hetkel koos šahti tipuga ning kuna tipp asub Maa teljest kaugemal kui põhi, on sellel langedes algselt suurem idasuunaline kiirus kui maapinnal, mille poole ta kukub. Pöörleva maapinna taustsüsteemis on see Coriolisi kiirendus, 2Ω cos φ korda kivi langemiskiirus, mis osutab mõlemal poolkeral itta. Ferdinand Reich kukutas 19. augusti ja septembri alguse vahel 1831. aastal Drei-Brüder-Schachti 106 kuuli. Keskmine langemiskõrgus oli 158,5407 m (laiuskraadil 50°53′22,81″ N) ja ta mõõtis hälbeks idasuunas 28,396 mm. Lisaks mõõtis ta 4,374 mm lõunasse, kuid ei usaldanud seda tulemust; teoorias on iga lõunasuunaline komponent suurusjärgus Ω²ht², mis on antud juhul umbes 0,03 mm. Kivi reageerib maapinnaga paralleelsele pöörlemise osale Ω cos φ, mis on pendli käitumise vastand: poolusel mõju puudub, ekvaatoril on see suurim.

Ülesanne täielikult lahendatud

Tulista pall otse šahti tippu: kuhu see maandub? 5 sammu
Freibergis tulistatakse pall Reichi šahti põhjast otse üles täpselt sellise kiirusega, et see ulatuks 158,5407 m kõrgusel asuva tipuni ning kukuks siis tagasi. Kuhu see alguspunkti suhtes maandub? Esimese sammu kontrollimiseks vajuta nupule Freibergi šaht, 1831.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Lehel toodud tipust kukkuv kivi langeb 5,686 sekundit ja maandub 27,65 mm idas. Palli mõjutavad sama laiuskraad ja sama g väärtus:
  
  $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 158 . 5407}{9 . 80665} = 5.686 s, x = \frac{1}{3} g Ω t^{3} cos φ = 27.65 mm east$
2. Et tõusta 158,5407 m kõrgusele, peab selle algkiirus olema v₀ = √(2gh) ning see viibib õhus 2v₀/g aega:
  
  $v_{0} = 2 g h = 2 \times 9.80665 \times 158.5407 = 55.76 m/s, T = \frac{2 v _{0}}{g} = 11.37 s$
3. Pöörlevas taustsüsteemis on Coriolisi kiirendus −2Ω × v. Selle idasuunaline komponent on −2Ω cos φ korda ülessuunatud kiirus v₀ − gt: üles lennates läände, alla kukkudes itta.
  
  $a_{E} = - 2Ω cos φ (v_{0} - g t)$
4. Esimene integreerimine annab külgsuunalise kiiruse. Trajektoori tipus, kus t = v₀/g, triivib pall läände kiirusega Ω cos φ v₀²/g; allakukkumine võtab täpselt sama kaua aega ja allalaskumise idasuunaline tõuge viib kiiruse maandumise hetkeks tagasi nulli, ilma et see palli alguspunkti tagasi tooks.
  
  $v_{E} (t) = - 2Ω cos φ (v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}) : v_{E} (\frac{v _{0}}{g}) = - \frac{Ω cos φ v _{0}^{2}}{g} = - 14.59 mm/s, v_{E} (\frac{2 v _{0}}{g}) = 0$
5. Integreerides uuesti üle kogu lennuaja T = 2v₀/g:
  
  $x_{E} (T) = - 2Ω cos φ (\frac{1}{2} v_{0} T^{2} - \frac{1}{6} g T^{3}) = - \frac{4}{3} Ω cos φ \frac{v _{0}^{3}}{g ^{2}} = - 110.58 mm$
Vastus

See maandub tulistamiskohast 110,58 mm läänes, mis on neli korda kaugemal kui tipust kukkuva kivi maandumispunkt idas, ning igasugune külgsuunaline kiirus on kadunud. See suhe on täpselt 4 igal kõrgusel ja laiuskraadil, kuna mõlemad kaugused on võrdelised avaldisega Ω cos φ h^3/2/√g.

$x_{E} = - 110.58 mm = - 4 \times 27.646 mm (west)$

Õpitee

Pöörlemine ja impulsimoment

Allikad (3)

Foucault's own announcement: the pendulum's plane turns against the floor at the Earth's rotation times the sine of the latitude, so that at Paris it does not make a whole turn in twenty-four hours; first a 2 m pendulum in a cellar, then 11 m in the Meridian Room of the Paris Observatory: L. Foucault, "Démonstration physique du mouvement de rotation de la terre au moyen du pendule." Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 32 (1851), 135–138.
The eastward fall measured: 106 balls dropped down the Drei-Brüder-Schacht at Freiberg in August and September 1831, a mean fall of 158.5407 m at 50°53′22.81″ N, landing 28.396 mm east (and 4.374 mm south, which Reich doubted), against his own computed 27.512 mm: F. Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde, angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg. Freiberg: J. G. Engelhardt, 1832, pp. 46–47.
A sink's drain direction is set by how it was filled, unless everything else is removed: Shapiro filled a tank with a clockwise swirl, covered it, kept the room's temperature steady, let it settle for 24 hours, and saw it drain counterclockwise: A. H. Shapiro, "Bath-Tub Vortex." Nature 196 (1962), 1080–1081. doi:10.1038/1961080b0

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.