Impulsimoment

Seisa hõõrdevabalt pöörleval kettal, hoia mõlemas käes hantlit, pane end pöörlema ja tõmba hantlid keha ligi. Saad ise määrata algse pöörlemise, hantlite massi, oma keha inertsimomendi ja selle, kui kaugele käed liiguvad. Leht integreerib liikumist reaalajas, näitab, mis jääb samaks ja mis muutub, ning liidab kokku käte tehtud töö.

Näidisarvutus — Impulsimoment

Inertsimoment, käed sirutatud	3,600 kg·m²
Inertsimoment, käed ligidal	1,200 kg·m²
Impulsimoment, algusest lõpuni sama	22,62 kg·m²/s
Pöörlemine ligitõmmatud kätega	3,000 rev/s
Pöörlemine hantlitega teljel	3,462 rev/s
Kineetiline energia, käed sirutatud	71,06 J
Kineetiline energia, käed ligidal	213,18 J
Pöörlemise ja energia kasv	3,000

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Impulsimoment

Keha impulsimoment fikseeritud telje ümber pöörlemisel on L = Iω, mis võrdub keha inertsimomendiga selle telje suhtes korrutatuna nurkkiirusega. Inertsimoment saadakse iga massiosa ja teljekauguse ruudu korrutiste liitmisel, seega annab hantel, mille massikese on kaugusel r, tulemuseks m r² + I_own vastavalt Steineri lausele; kahe ketta puhul d kaugusel kummastki käest on I_own = m d². Kui teljele ei mõju välist jõumomenti, ei saa L muutuda, mistõttu I_out ω_out = I_in ω_in, samas kui kineetiline energia ½ I ω² = L²/2I muutub vastavalt käte tehtud tööle.

Mida iga sümbol tähendab

I: inertsimoment pöördkettaga sama telje suhtes, kg·m²
ω: nurkkiirus rad/s; leht näitab f = ω/2π p/s
L: impulsimoment telje suhtes, Iω, kg·m²/s
I_b: keha ja pöördkettaga seotud inertsimoment, mis käte ligitõmbamisel ei muutu
d: pool hantlikangi pikkusest, 0,1 m: kettad asuvad d kaugusel kummastki käest

Eeldab: Eeldatakse, et pöördketta laagrites puudub hõõrdumine ning miski muu keha ei puuduta, seega puudub telje suhtes jõumoment. Kätel ei ole massi; päris käed, mis kaaluvad mitu kilogrammi, suurendaksid väljasirutatult inertsimomenti ja kineetilise energia kasvu. Iga hantel kujutab endast kahte punktmassina käsitletavat ketast kerge kangi otsas, mida hoitakse horisontaalselt ja käega risti, ning keha enda inertsimoment püsib samana sõltumata käte asendist. Arvesse võetav töö pärineb tõmbejõust mω²r, mis hoiab hantleid ringliikumisel; nende edasi-tagasi liikumise väike energia on otspunktides null ja see on välja jäetud.

Tõmba hantlid ligi ja kineetiline energia kolmekordistub 🖖

Vajuta Tõmba sisse, 2 kg ja jälgi teljel kaht noolt. L säilitab oma pikkuse, samas kui pöörlemiskiirus kolmekordistub, kasvades 1-lt 3,000 p/s: teljele ei mõju ühtki välist jõumomenti, seega peab L = Iω vastu pidama inertsmomendi langemisele 3,600-lt 1,200 kg·m²-le. Kineetilisel energial, ½Iω² = L²/2I, selline kaitse puudub ning see suureneb sama palju kordi, 71,06 J-lt 213,18 J-le. Sellel lisaenergial on allikas. Et hoida kaht hantlit raadiusel r ringlemas, peavad käed neid jõuga 2mω²r sissepoole tõmbama, ja nende nihutamine piki seda tõmbejõudu ongi töö: viirutatud ala teise paneeli kõvera all. Tulemuste tabel summeerib selle üle tuhande riba kokku ning saab vastuseks 142,12 J, mis on energiavõit kuni viimase kuvatud numbrini. Lükka käed tagasi välja, ja seesama tõmbejõud teeb nüüd tööd hoopis käte kallal ning pöörlemine langeb tagasi väärtusele 1 p/s.

Käed on neli korda lähemal, aga pöörlemine vaid kolm korda kiirem 🖖

Kui olemas oleksid vaid hantlid, otsekui punktmassid kätes, paneks L = 2mr²ω nende toomine 0,8 m pealt 0,2 m peale sind kuueteist korda kiiremini pöörlema. Leht näitab 3,000. Suurem osa pöörlevast süsteemist ei liigu, kui sa tõmbad. Sinu keha ja pöördketas hoiavad oma 1 kg·m², ning iga hantel säilitab selle osa oma inertsimomendist, mis tuleneb hantli enda mõõtmetest, vastavalt Steineri lausele md², ükskõik kui lähedale sa selle tood. Seega on siin lagi ees: isegi kui mõlemad hantlid on täpselt teljel, näitab pöörlemise all olev rida 3,462 p/s ja ükski tõmbamine ei aita sellest kaugemale jõuda. Raskemad hantlid moodustavad suurema osa pöörlevast massist. Raskem, 10 kg korrutab pöörlemise 7,000-ga, kuid isegi alustades vaid veerandpöördega sekundis peavad käed lõpuks vastu hoidma 483,6 N suurusele jõule.

Ilma igasuguse impulsimomendita on sul ikkagi võimalik pöörata 🖖

Vajuta Paigalt, käetõmme. L on algusest lõpuni null, ja siiski jätab iga tõmme keha 25,00° pöördesse. Liiguta sirutatud käsi 45° ja keha pöörab 32,50° teises suunas, kuna hantlid moodustavad 3,600 kg·m² pöörlevast massist 2,600. Tõmba hantlid ligi ja liiguta käed tagasi, ning keha pöörab tagasi vaid 7,50°, sest nüüd moodustavad nad 0,200 kogumassist 1,200. Käed lõpetavad oma liikumise keha suhtes samas kohas, kus alustasid; keha aga mitte. Nullimpulsimoment keelab püsiva pöörlemise: liigutuste vahel seisab keha paigal, ning Tõmme, käed alati väljas toob keha tagasi 0,00° peale. Ka paigalt tagurpidi kukkuval kassil puudub impulsimoment, kuid ta maandub käppadel. Thomas Kane ja M. P. Scher avaldasid sellele dünaamilise selgituse 1969. aastal, ning 1970. aastal uuringu sellest, kuidas inimene saab jäsemeid liigutades end ümber pöörata.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kus on teekonnal tõmbejõud kõige suurem? 4 sammu
Kaks 2 kg hantlit tõmmatakse 0,8 m pealt 0,2 m peale, kui L = 22,62 kg·m²/s. Mõlema käe poolt hoitav tõmbejõud on alguses 126,3 N ja lõpus 284,2 N. Kas see on lõpus kõige tugevam? Kui mitte, siis kus ja kui tugev see on? Esimese sammu kontrollimiseks vajuta Tõmba ligi, 2 kg.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Käed hoiavad hantleid ringliikumisel jõuga 2mω²r ja ω = L/I(r), mistõttu sõltub tõmbejõud ainult raadiusest r:
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. Tabeli 0,30 m rida, 313,2 N, ületab mõlemat otspunkti, seega on suurim tõmbejõud kuskil vahepeal. Võrdsusta r/I² tuletis nulliga, kus I′ = 4mr:
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. Kirjuta I lahti ja lahenda r jaoks:
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. Aseta r* tagasi valemitesse I ja tõmbejõu leidmiseks:
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
Vastus

Tõmbejõud on kõige tugevam siis, kui käed asuvad teljest 0,2944 m kaugusel: 313,3 N mõlema käe peale, 156,7 N kummalegi, mis vastab umbes 16 kg raskuse massile. Veelgi lähemale liikudes pöörlemine küll kiireneb, kuid r kahaneb kiiremini kui ω² kasvab, ning viimased 9 cm nõuavad juba vähemat tõmmet.

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

Õpitee

Pöörlemine ja impulsimoment

Allikad (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.