Güroskoop

Pane ratas pöörlema, vali telje algnurk ja otsusta, kas lükata ratast vabastamisel külgsuunas. Leht integreerib liikumist reaalajas. Näed ekraanilt kohe, kui palju ratas vajub, kui kiiresti see pretsesseerib ja kuivõrd erineb õpikute valem tegelikkusest.

Näidisarvutus — Güroskoop

Inertsimoment telje suhtes (rõngas)	0,180 kg·m²
Inertsimoment toetuspunkti suhtes, risti teljega	0,170 kg·m²
Pöörlemise impulsimoment	11,31 kg·m²/s
Raskusjõu pöördemoment toetuspunktis	3,923 N·m
Üks täispööre selle kiirusega	18,12 s
Simulatsiooni erinevus valemist	−0,005%
Külgsuunaline kiirus, vähimast suurimani	0,0000 kuni 0,6937 rad/s
Vajumine alla algtaseme, simuleeritud	0,597°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Güroskoop

Güroskoop on siin pöörlev ratas, mille telje üks ots toetub fikseeritud toetuspunktile. Horisontaalse telje korral avaldab raskusjõud toetuspunkti suhtes pöördemomenti τ = mgl. See on horisontaalne ja teljega täisnurga all. Kuna pöördemoment on impulsimomendi muutumise kiirus, pöördub pöörlemise impulsimoment L = I₃ω₃ allapoole vajumise asemel külgsuunas. Stabiilse pretsessiooni korral liigub telg ümber vertikaali kiirusega Ω = mgl/L. Paigalt vabastades vajub see esmalt veidi ja hakkab seejärel nutateerima. Ratas laperdab oma algkõrguse ja madalaima punkti vahel, mis asub umbes 2I₁mgl/L² radiaani madalamal. Seda tsüklit läbitakse ligikaudu L/(2πI₁) korda sekundis.

Mida iga sümbol tähendab

L: pöörlemise impulsimoment telje suhtes, I₃ω₃
Ω: stabiilne pretsessioonikiirus, mgl/L, kiirus, millega telg ümber vertikaali pöördub
I_3: inertsimoment telje suhtes; rõnga puhul mR²
I_1: inertsimoment toetuspunkti läbiva ja teljega risti oleva sirge suhtes, ml² + ½mR²
l: kaugus toetuspunktist ratta keskpunktini
k: külgsuunaline pöörlemiskiirus vabastamisel, ühikuks Ω

Eeldab: Jäik ratas, mida käsitletakse kogu massi servale koondava rõngana kergel teljel, toetumas hõõrdumisvabale toetuspunktile. Standardne raskuskiirendus on 9,80665 m/s². Õhutakistus ja igasugune hõõrdumine puuduvad. Seetõttu on energia ning impulsimomendid nii vertikaali kui ka telje suhtes jäävsuurused. Tulemuste tabel näitab, kui hästi integraator neid säilitab.
Ei kehti, kui: Tõelisel toetuspunktil on hõõrdumine. See summutab laperdamise ja jätab ratta sujuvalt pretsesseerima veidi madalamal tasemel, kui see lahti lasti. Laagri hõõrdumine aeglustab ka pöörlemist. L-i vähenedes pretsessioon kiireneb ja vajumine suureneb, kuni ratas ümber kukub.

Vabastatuna hakkab pöörlev ratas enne vajuma kui pretsesseerima 🖖

Vajuta Paigalt 10 p/s ja jälgi teist paneeli. Külgsuunas pöördumine tähendab ratta keskpunkti liikumist. Vajalik kineetiline energia peab kuskilt tulema, mistõttu ei saa ratas vabastamise hetkel kohe pretsesseerima hakata. See hoopis vajub esmalt. Telg langeb 0,597° ja keskpunkt 2,09 mm. Languse madalaimas punktis on külgsuunaline kiirus jõudnud väärtuseni 0,6937 rad/s, olles keskmisest kaks korda suurem. Seejärel tõuseb telg tagasi algkõrgusele, kus külgsuunaline liikumine täielikult peatub. Tsükkel algab otsast peale ning telje ots joonistab rea teravikke, täpsemalt 10,59 tükki sekundis. Peraire'i ja Widnalli MIT-i dünaamikaloengud nimetavad seda teravikuliseks liikumiseks. David Tong näitab Cambridge'i loengutes matemaatiliselt, et just nii käitub pöörlema pandud ja lahti lastud vurrkann. Nii väikest vajumist on palja silmaga raske märgata. Lisaks silub reaalse toetuspunkti hõõrdumine laperdamise välja. Seetõttu tundubki demonstratsioonratas justkui hõljuvat. Hall vari kujutab sama ratast ilma pöörlemiseta, mis ripub 0,39 s pärast otse alla.

Kaks korda kiirem pöörlemine annab poole väiksema pretsessiooni 🖖

Raskusjõu pöördemoment toetuspunktis on horisontaalse teljega 3,923 N·m. See muudab L-i igas sekundis 3,923 kg·m²/s võrra ja alati külgsuunas. Mida suurem on L, seda kauem võtab aega selle ringi pööramine. Pretsessioonikiirus avaldub seega kujul Ω = mgl/L. Ratas teeb ühe täispöörde vastavalt 9,06, 18,12 ja 36,23 sekundiga kiirustel 5, 10 ning 20 p/s. Vajumine on võrdeline suhte 1/L²-ga, vähenedes pöörlemise kahekordistumisel neljandikuni. Simulatsioon annab vajumisteks 2,386°, 0,597° ja 0,149°. Valem Ω = mgl/L eeldab L-i paiknemist piki telge. See peab paika vaid seni, kuni pöörlemise impulsimoment on tohutult suurem külgsuunalise liikumise lisatud osast. Tabelis allapoole liikudes on näha erinevuste kasvu. Simuleeritud ratas pöördub valemist 0,087% aeglasemalt kiirusel 5 p/s, 3,026% kiirusel 2 p/s ja 21,481% kiirusel 1 p/s. Viimasel juhul lendab ratas 39,013° allapoole ning käitub güroskoobi asemel pigem pöördega pendlina.

Lükka telge külgsuunas ja ratas tõuseb 🖖

Telje otsa lükkamine on pöördemoment. Sarnaselt raskusjõule liigutab see L-i tippu pöördemomendi, mitte tõuke suunas. Ratta senise liikumise suunas antud tõuge tekitab ülespoole suunatud pöördemomendi ja telg tõuseb. Vajuta Lükatud kiirusega 2Ω. Vabastades telje kahekordse stabiilse külgsuunalise kiirusega, tõuseb see 0,597°. Vahemaa on täpselt sama, mille tõukamata ratas vajus. Seejuures jääb keskmiseks pretsessioonikiiruseks endiselt 0,3468 rad/s. Hoides seda tagasi tõukega −1, vajub telg 1,195° ehk kaks korda rohkem. Vajutades Vabastatud kiirusega Ω, ei esine üldse mingit vajumist ega laperdamist. Täpselt mgl/L kiirusega toimuv stabiilne pretsessioon on horisontaalse telje puhul täisvõrrandite lahend mis tahes pöörlemiskiiruse juures. Määra tõukeks 1 ja vaata tabelit. Kiirusel 1 p/s, kus paigalt vabastamine andis 21,481% vea, pöördub ratas nüüd kiirusega 3,4684 rad/s, mis klapib ideaalselt valemiga. Madala pöörlemiskiiruse viga on paigalt lahtilaskmise hind. Tongi märkmed ütlevad, et ilma laperdamiseta pretsesseerimiseks vajab vurrkann "täpselt õiget tõuget".

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida toetuspunkt kannab ja kui kiiresti peab ratas pöörlema? 5 sammu
Ratas pöörleb horisontaalse teljega kiirusel 10 p/s ja pretsesseerib stabiilselt. Kui suure jõuga surub toetuspunkt teljele üles- ja külgsuunas? Milline pöörlemiskiirus hoiaks paigalt vabastamisel vajumise alla 0,1°? Esimese sammu kontrollimiseks vajuta Paigalt 10 p/s.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Pöörlemise impulsimoment ja stabiilne pretsessioonikiirus on lehel kirjas:
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. Stabiilselt horisontaalse teljega pretsesseerides püsib keskpunkt ühel kõrgusel. Vertikaalne kiirendus puudub ja toetuspunkt lükkab ülespoole täpselt raskusjõuga võrdse jõuga. Pöörlemine ei vähenda seda mingil määral:
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. Keskpunkt liigub mööda l-raadiusega ringjoont kiirusega Ω. Seetõttu peab toetuspunkt lükkama seda ka aluse suunas:
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. Teise küsimuse jaoks pööra vajumise kiire vurri lähend ümber, kasutades δ = 0,1° = 0,001745 rad:
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. ning jaga I₃ ja 2π-ga:
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
Vastus

Toetuspunkt kannab ülespoole 19,61 N ehk kogu ratta raskust. Aluse suunas külgsuunas mõjub 0,0481 N, mis moodustab raskusest alla veerandi protsendi. Pöörlemine ei muuda ratast kergemaks. Vajumise alla 0,1° hoidmine nõuab pöörlemiskiirust 24,44 p/s. Energia võrrandi täpne lahendamine selle kiiruse juures annab vajumiseks 0,0999997°, seega on hinnangu täpsus seal umbes 2,5 osa miljonist.

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

Õpitee

Pöörlemine ja impulsimoment

Allikad (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.