Veeremisvõistlus ja inertsimoment

Aseta kaldpinnale kuni neli keha ja lase neil korraga veerema hakata. Vali iga keha kuju, mass ja suurus. Määra kaldpinna kalle ja hõõrdetegurid. Graafikute all olevas tabelis on arvutatud iga keha kiirendus, kulunud aeg ja energia jaotumine.

Näidisarvutus — Veeremisvõistlus ja inertsimoment

Finišeerimise järjekord	1 · Täiskera < 2 · Täissilinder < 3 · Õõneskera < 4 · Rõngas
Kujutegur k	0,400
Veeremiseks vajalik hõõre	0,077
Veereb või libiseb	veereb
Suurim veeremisnurk	60,3°
Kiirendus a	1,814 m/s²
Aeg allajõudmiseni	1,485 s
Aeg, sammhaaval	1,485 s

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Veeremisvõistlus ja inertsimoment

Inertsimoment I näitab keha vastupanu pöörlemise muutmisele, sarnaselt massiga, mis näitab vastupanu lükkamisele. Massiga m ja raadiusega r keha puhul kirjutatakse see kujul I = k m r². Kujutegur k sõltub üksnes massi jaotusest: täiskeral 2/5, täissilindril 1/2, õhukesel õõneskeral 2/3 ja rõngal 1. Keha, mis veereb ilma libisemiseta, rullib lahti täpselt sama palju oma ümbermõõdust, kui pika vahemaa see läbib, v = ωr. Nurga θ all kalduval pinnal on selle kiirendus a = g sin θ ÷ (1 + k).

Mida iga sümbol tähendab

k: kujutegur, I ÷ mr². See on keha ainus omadus, mis määrab veeremiseks kuluva aja; libisemise algades ei mängi k enam rolli
I: inertsimoment ühikuga kg·m². Massi vaste pöördliikumisel
a: kiirendus kaldpinnal liikumisel. Hõõrdeta liuglemise puhul g sin θ, veerevatel kehadel aga väiksem
μ_s: seisuhõõre, mida puutepunkt suudab hoida ilma libisemata. Veeremine nõuab tingimust μs ≥ tan θ · k ÷ (1 + k)
μ_k: liugehõõre, mis toimib keha libisemise ajal. Tavaliselt väiksem kui μs

Mass ja suurus taanduvad välja, võistluse otsustab kuju 🖖

Klõpsa valikul Raske ja kerge silinder. Üks silinder kaalub 5 kg ja teine 0,2 kg. Ühe raadius on teise omast viis korda suurem, kuid mõlemad ületavad finišijoone korraga ajaga 1,537 s. Raskemale kehale mõjub suurem raskusjõud, kuid seda on täpselt samavõrra raskem kiirendada. Sama kujuga, ent suuremal kehal on r² korda suurem inertsimoment. See aga pöörleb 1/r korda kiiremini, mistõttu on selle pöörlemisenergia ½Iω² = ½kmv² endiselt massiga võrdeline. Järele jääb vaid üks kujust sõltuv arv, k = I ÷ mr², ning kiirendus on g sin θ ÷ (1 + k). Klõpsa nupul Nelja keha võidusõit. Täiskera (k = 0,4) võidab täissilindrit (0,5), mis omakorda võidab õõneskera (0,667). Viimaseks jääb rõngas (1). Iga libisemiseta veerev täiskera jõuab sellelt kaldpinnalt alla ajaga 1,485 s.

Rõngas kulutab poole oma energiast pöörlemisele 🖖

Energiatulbad näitavad, kuhu kadunud kõrgusest saadud energia kulub. Kõik veerevad kehad peavad jagama energiat allaliikumise ja pöörlemise vahel. Pöörlemisele kuluv osa on k ÷ (1 + k): täiskeral 28,6% ja rõngal täpselt 50%, sest kogu selle mass asub servas. Pöörlemisele kulunud energia ei muutu kiiruseks ja seetõttu rõngas kaotabki. Klõpsa valikul Supipurgid. Vedelikuga purk võidab ajaga 1,316 s. Selles mudelis rakendatud piirjuhul ei pöörle vedelik purgi sees kaasa. Ainult kest pöörleb ning pöörlemisele kulub 9,1% energiast. Kui muuta sisu tahkeks, on purgi aeg 1,563 s. Tühi purk on siin mudelis avatud otstega ja käitub nagu rõngas, jäädes seetõttu viimaseks.

Jääl libiseb esimesena aeglaseim veereja ja libisemine võib võidu tuua 🖖

Veeremiseks on vaja hõõrdumist ning rõngas nõuab seda kõige rohkem. See suudab veereda vaid siis, kui kaldpinna kaldenurk on kriitilisest nurgast väiksem. Hõõrdeteguri 0,1 juures on rõnga piirnurk 11,31°, täiskeral aga 19,29°. Klõpsa valikul Jäine kaldpind. 15° juures hakkavad rõngas ja õõneskera libisema, kulutavad vähem energiat pöörlemisele ja nende kiirus kasvab. Sellegipoolest lõpetavad nad kahe veereva keha järel. Üheainsa hõõrdeteguri puhul on see alati nii: libisev keha suudab olla parimal juhul sama kiire kui veerev, ent ei möödu sellest kunagi. Enamik päriselu pindu hoiab paigalseisvat keha tugevamini kinni kui libisevat. Klõpsa nupul Libisev rõngas möödub, kus seisuhõõrdetegur on 0,3 ja liugehõõrdetegur 0,1. Libisev rõngas jõuab alla 0,849 s jooksul, edestades veerevat kera, mille aeg on 0,942 s.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kera ja rõngas samal kaldpinnal 4 sammu
Täiskera ja rõngas lastakse paigalseisust korraga lahti 2 m pikkuse ja 15° nurga all oleva kaldpinna tipust. Mõlemad veerevad libisemiseta. Leia, kui kaua kulub mõlemal alla jõudmiseks ning kui kaugel on rõngas kera finišeerimise hetkel. Võta g = 9,81 m/s². Kontrollimiseks klõpsa valikul Nelja keha võidusõit.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kaldpinna sihiline raskusjõu komponent on mõlemal kehal sama:
  
  $g sin 1 5^{\circ} = 9.81 \cdot 0.2588 = 2.539 m/ s^{2}$
2. Iga keha kiirenduse leidmiseks jagatakse see väärtus ühe ja kujuteguri summaga:
  
  $a_{ball} = \frac{2 . 539}{1 + 0 . 4} = 1.814, a_{hoop} = \frac{2 . 539}{1 + 1} = 1.270 m/ s^{2}$
3. Paigalseisust alustades s = ½at², seega 2 m läbimiseks kuluv aeg on:
  
  $t = \frac{2 L}{a} : t_{ball} = \frac{4}{1 . 814} = 1.485 s, t_{hoop} = \frac{4}{1 . 270} = 1.775 s$
4. Kui kera finišeerib, on rõngas läbinud vaid ½ a_rõngas t_kera²:
  
  $s_{hoop} = \frac{1}{2} \cdot 1.270 \cdot 1.48 5^{2} = 1.400 m, 2 - 1.400 = 0.600 m$
Vastus

Kera aeg on 1,485 s ja rõnga aeg 1,775 s. Kera finišijoone ületamisel on rõngal puudu 0,600 m, mis on peaaegu kolmandik kaldpinnast. Mass ja raadius ei esinenud arvutuskäigus kordagi. Sama vastus kehtib iga ühtlase täiskera, näiteks klaaskuuli või keeglipalli puhul.

$t_{ball} = 1.485 s, t_{hoop} = 1.775 s, 0.600 m$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.