Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Lohista positsiooniliugurit mööda rada. Energia jäävus määrab kiiruse igas punktis.

Näidisarvutus — Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Kõrgus	5 m
Kiirus	0 m/s
KE	0 J
PE	49.05 J

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Hõõrdevabal rajal on mehaaniline energia jääv: kineetilise ja potentsiaalse energia summa on kõikjal ühesugune. See ainus lause määrab kiiruse sõidu igas punktis üksnes alguskõrguse põhjal — vaja ei ole jõude, ajakava ega künka kuju.

Mida iga sümbol tähendab

h: kõrgus nulltaseme kohal. See, millise taseme sa nulliks nimetad, ei muuda kunagi vastust: valemisse jõuab ainult vahe h₀ − h, nii et nulltaseme nihutamine nihutab mõlemat kõrgust korraga.
v: kiirus, mille näit tuletab energiast, mitte ühestki jõust.
KE: kineetiline energia, ½mv².
PE: potentsiaalne energia, mgh — alguses 49.05 J, mis tuleb tehtest 1 × 9.81 × 5.
μ: hõõrdetegur. Nullist suuremaks seadistatuna vähendab see teel energiat ning kadunud energia hulk sõltub läbitud teepikkusest, mitte kaotatud kõrgusest.

Kust valem tuleb

Energia jäävuse seadus ütleb, et kogusumma on muutumatu: ½mv² + mgh = ½mv₀² + mgh₀.
Iga liige sisaldab sama tegurit m, seega saab sellega läbi jagada: ½v² + gh = ½v₀² + gh₀. Mass on kadunud, ja seda lõplikult.
Avaldame kiiruse: v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)). Valemisse jääb ainult kõrguse langus — mis on ka põhjus, miks näit kuvab algenergiat massiühiku kohta, 49.05 J/kg, mitte jõudu.

Eeldab: Punktmass, mis libiseb seda suunaval rajal ilma pöörlemise ja õhutakistuseta ning piisava kiirusega, et püsida rööbastel. Miski siin ei kontrolli, kas vagun võiks künka harjal tegelikult rajalt õhku tõusta.
Ei kehti, kui: 2. sammu tasub pigem ise katsetada kui usaldada — ja see leht võimaldab seda. Poolel teel näitab kiiruse näit 7.8912 m/s; muutes massi 1 kg pealt 500 kg peale, on näit ikka 7.8912 m/s — täpselt sama —, samal ajal kui KE hüppab väärtuselt 31.135 J väärtusele 15,568 J. Raskemad vagunid kannavad rohkem energiat, kuid ei liigu sugugi kiiremini. Ka hõõrdumine ei riku seda seaduspära: kadu massiühiku kohta on μgs, mis on samuti massist sõltumatu.

Hõõrdumine on koht, kust raja kuju hakkab lugema 🖖

Hõõrdumiseta rajal loeb üksnes langemiskõrgus; algus- ja lõpp-punkti vahele jääva raja kuju tulemust ei mõjuta. Tulemus tugineb just sellele eeldusele ning selle tööriista μ-liugur võimaldab hõõrdumise sisse lülitada. Hõõrdumise korral võrdub energiakadu μg ja läbitud teepikkuse korrutisega, seega sõltub see raja pikkusest, mitte üksnes kõrgusest. Hõõrdumise näidisrajal langeb auto 5 m võrra, läbides 13,55 m, ning jõuab lõppu kiirusega 9,209 m/s; sama μ = 0,05 korral annaks sirge 5 m langus lõppkiiruseks 9,654 m/s. Alguspunkt ja lõppkõrgus on samad, kuid pikem tee maksab 0,445 m/s. Pooltoru näide toob erinevuse eriti selgelt esile. Hõõrdumiseta tõuseb auto tagasi algkõrgusele ja selle kiiruseks jääb täpselt 0,000 m/s. Kaks horisontaalset keskosa lisavad teepikkusele 4,00 m, kõrgust muutmata. Seetõttu jätab juba väikseim valitav hõõrdumine auto tõusunõlval seisma.

Kiirus sõltub ainult kõrgusest 🖖

Hõõrdevabal rajal määrab kuuli kiiruse igas punktis ainuüksi see, kui palju ta on stardikõrgusest allapoole langenud — vahepealse raja kuju ei loe. Peaaegu vertikaalne kukkumine ja pikk laugjas kalle samasse sügavusse annavad täpselt sama kiiruse. Seepärast ei saa kuul kunagi tõusta kõrgemale kui alguspunkt: selleks jääks tal energiat puudu. Hõõrdega võtab iga rajameeter vaikselt energiat soojusena ära.

Päris loopingud pole ringikujulised 🖖

Ameerika mäe looping näib ümar, kuid pole seda peaaegu kunagi — see on pisarakujuline klotoid, kõver, mille raadius tipu poole kitseneb. Täiuslikult ümmargune looping, mis liigub piisavalt kiiresti, et tipus rajal püsida, muljuks sõitjaid all julmade g-jõududega. Saksa insener Werner Stengel tõi klotoidse loopingu kasutusele 1976. aastal: väike raadius üleval (vähe kiirust vaja), laugem raadius all. Sama energia jäävus — targem geomeetria.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Massilahter on määratud väärtusele 1 kg. Määra selleks 500 kg ja ennusta, mis juhtub kiirusega poolel teel.

Näita vastust

Mitte midagi — see jääb väärtusele 7.8912 m/s. Energiavõrrandi iga liige sisaldab tegurit m, seega taandub see välja ning kiirus sõltub ainult kaotatud kõrgusest. Kineetiline energia aga muutub, väärtuselt 31.135 J väärtusele 15,568 J: raskem vagun kannab palju rohkem energiat, kuid ei liigu kiiremini.
Alguses näitab näidik PE 49.05 J ja KE 0 J. Kus saavutab vagun oma suurima kiiruse ja kui suur on koguenergia sel hetkel?

Näita vastust

Raja madalaimas punktis ning kogusumma on ikka 49.05 J — selles seisnebki kogu energia jäävuse seadus. PE on muundunud KE-ks, mitte tekkinud juurde ega hävinud. Kui hõõrdumine on null, ei muutu summa kunagi, hoolimata sellest, kui palju künkaid see läbib.
Tõsta hõõrdetegur üle nulli. Kas kaotatud energia sõltub sellest, kui kaugele vagun on sõitnud, või sellest, kui palju kõrgust see on kaotanud?

Näita vastust

Läbitud teepikkusest. Tabel näitab kadu kujul μgs, kus s on teepikkus — mistõttu näidik jälgib teepikkust kõrgusest eraldi. Pikk tasane lõik nõuab energiat, samas kui sama pikk vertikaalne laskumine ei kuluta peaaegu üldse energiat. Pane tähele, et see on samuti massist sõltumatu, seega hõõrdumine ei tühista ka eelmise küsimuse vastust.

Ülesanne täielikult lahendatud

Rajal 5 m kõrguselt paigalseisust lahti lastud 1 kg vagonett 6 sammu
1 kg vagun vabastatakse paigalolekust 5 m kõrgusel rajalt 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Leidke, kuhu see välja jõuab — ja see pole rajatise teine ots.
1. Hõõrdumise puudumisel on koguenergia määratud vabastamiskõrgusega ega muutu kunagi. Üks kilogramm ja 5 meetrit on kogu sisend, mis sellel ülesandel on.
  
  $E_{0} = m g h_{0} = 1 \times 9.81 \times 5 = 49.05 J, v_{0} = 0$
2. Kiiruse suhtes ümber seatuna saab samast väitest kitsendus: vagun saab olla vaid seal, kus ruutjuur on reaalarvuline. See ongi kogu lahendus, enne kui ühtegi rada on joonistatud.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = m g (h_{0} - h) ⟹ v = 2 g (h_{0} - h), real only where h \leq h_{0}$
3. Otsige rajalt selle maksimumi. Tipp asub vabastamispunktist kõrgemal, mis otsustab küsimuse — ning pange tähele, et sellest tagapool asuv laskumine kõrguseni 1 m ei puutu üldse asjasse.
  
  $track max = 6 m > h_{0} = 5 m ⟹ the hill at x = 3 is unreachable$
4. Leidke pöördepunkt täpselt. See asub tõusul punktist (2,3) punkti (3,6), kus sirglõik ristub tagasi vabastamiskõrgusega.
  
  $(2, 3) \to (3, 6) : y = 5 at x = 2 + \frac{5 - 3}{6 - 3} = 2.667$
5. Teepikkus on oluline, sest hõõrdumine toimiks piki rada, mitte piki horisontaali. Kuus lõiku, kuus Pythagorase arvutust.
  
  $s = \sum Δ x^{2} + Δ y^{2} = 2.828 + 3.162 + 5.385 + 3.606 + 2.828 + 3.162 = 20.972 m$
6. Lõpetuseks kaks kiirust: suurim kiirus, mille vagun oma lühikesel sõidul tegelikult saavutab, ja stardikiirus, mis avaks ülejäänud sõidu.
  
  $v_{m a x} = 2 g (5 - 3) = 6.26 m/s; v_{0} needed = 2 g (6 - 5) = 4.43 m/s$
Vastus

Auto pöördub tagasi punktis x = 2,667 m ega jõua ülejäänud rajani. Punktis x = 3 on künka kõrgus 6 m, auto aga alustas kõrguselt 5 m, seega ei jätku tal lihtsalt energiat. Sellest punktist kaugemal näitab tööriist igas asukohas peatunud: see kinnitab tulemust, mitte ei tähenda tõrget. Ülesanne on huvitav just seetõttu, et vastuse leidmiseks pole simulatsiooni üldse vaja. Energia jäävuse seadus taandab diferentsiaalvõrrandi võrratuseks h ≤ h₀ ning stardi ja takistuse vahele jääva raja kuju pole oluline. Andke autole tipus kiiruseks 4,43 m/s ja talle muutub läbitavaks kogu 20,972 m pikkune rada, sealhulgas lohku läbiv lõik punktis x = 5, kus kiirus on 9,90 m/s. Sellest väiksema algkiiruse korral jääb kogu see rajaosa kättesaamatuks.

$h_{track} = 6 > h_{0} = 5 ⟹ it stops at x = 2.667, never reaching the drop$

Õpitee

Energia jõudude asemel

Viib edasi momentum-collision

Allikad (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Klassikaline - Auto lastakse lahti 5 m kõrguselt ja see pöördub tagasi kohal x = 2,667 m: kohal x = 3 on raja kõrgus 6 m ning selleni jõudmiseks ei jätku energiat. Allpool olev lahenduskäik näitab seda ilma simulatsioonita.
Suur langus - Auto langeb 8 m võrra, läbides hõõrdumiseta rajal 16,45 m. See ületab kõik künkad ja jõuab lõppu kiirusega 12,528 m/s, mis on selle lehe suurim kiirus.
Poolkanal - Kolm rajapunkti asuvad nullkõrgusel, mistõttu läbib auto 4,00 m pikkuse horisontaalse põhja muutumatu kiirusega 9,905 m/s. Seejärel tõuseb auto tagasi täpselt 5 m kõrgusele, kus selle kiiruseks jääb 0,000 m/s.
Hõõrdumisega - Kui μ = 0,05, hajub 13,55 m pikkusel rajal 6,65 J/kg energiat. Seetõttu jõuab auto lõppu kiirusega 9,209 m/s, mitte hõõrdumiseta saavutatava kiirusega 9,905 m/s.