Vabalanguse kalkulaator

langemisaeg, löögikiirus ja energia vabalangemisel raskusjõu mõjul

Näidisarvutus — Vabalanguse kalkulaator

Langemisaeg (Impact)	4,5152 s
Löögikiirus	44,29 m/s (159,5 km/h / 99,1 mph)
Kineetiline energia kg kohta	981 J/kg

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Vabalanguse kalkulaator

Vabalangemine on liikumine üksnes raskusjõu mõjul, kus õhutakistus on võrrandist välja jäetud. Kogu kukkumise vältel mõjub üks konstantne kiirendus g ning kõik paneeli esitatavad tulemused tulenevad sellest ühest eeldusest — ühtegi lisajõudu ei lisata ja ühtegi ei jäeta arvestamata.

Mida iga sümbol tähendab

h: langemiskõrgus otse alla mõõdetuna. See on ülesande ainus vahemaa: seda, kui kaugele keha külgsuunas liigub ja mis kujuga see on, ei arvestata.
g: raskuskiirendus meetrites sekundi ruudu kohta. Määra selle väärtuseks Kuu puhul 1.62 ja sama 100 m kukkumine pikeneb 4.5152 s ajalt 11.1111 s ajani, jõudes kohale kiirusega 18 m/s asemel 44.29 m/s.
v: löögikiirus maandumise hetkel, mitte keskmine kiirus. Keha liikus kogu kukkumise vältel sellest aeglasemalt, välja arvatud viimasel hetkel.
t: langemisaeg. See kasvab proportsionaalselt kõrguse ruutjuurega, mis ongi see osa, mis inimesi üllatab — kümme korda suurem kõrgus annab vaid 3.1623 korda pikema aja.

Kust valem tuleb

Konstantse kiirenduse ja paigalseisust startimise korral on teepikkus h = ½gt². See on kogu füüsika; ülejäänu on algebra.
Lahenda see aja suhtes: t = √(2h/g). Ruutjuur ongi põhjus, miks kukkumine kaks korda suuremalt kõrguselt ei kesta kaks korda kauem.
Kiirus pärast aega t on v = gt. Asendades aja 2. sammust, saame v = g·√(2h/g) = √(2gh) — kõrgus ja raskuskiirendus sisenevad sümmeetriliselt ning massi ei ilmu kumbagi võrrandisse.
Kineetiline energia kilogrammi kohta on ½v² ja √(2gh) ruutu võtmine annab tagasi täpselt g·h. Kui h = 100 ja g = 9.81, kuvatakse kolmandas reas 981 J/kg, mis on 9.81 × 100 — näit on kahe sisendväärtuse korrutis ja ei midagi muud.

Kuidas nähtut lugeda

Muuda kõrgust ja jälgi, kuidas kaks ülemist rida liiguvad koos, ent mitte ühes rütmis: 1000 m juures kestab langemine 14.2784 s (teise rea 4.5152 s vastu) ning lõppkiirus on 140.07 m/s (teise rea 44.29 m/s vastu) — mõlemad korrutuvad 3.1623-ga, sest kümnekordne kõrgus tähendab kõigele tegurit √10. Võta kõrgusest hoopis neljandik ja kiirus kahaneb täpselt poole võrra, kuna v on võrdeline √h-ga: 25 m annab kiiruseks 22.15 m/s.

Eeldab: Õhutakistust ei ole, algkiirus on null ja raskuskiirendus püsib kukkumise vältel muutumatuna. Neist kolmest on viimane kõige leebem eeldus. Suurus g kahaneb kõrguse kasvades, mistõttu reaalne 1000 m kukkumine ei toimu algusest lõpuni ühe ja sama väärtusega nagu siin.
Ei kehti, kui: Esimesena rikub arvutuse õhutakistus, ning see rikub selle täielikult, mitte vähesel määral. Tegelik langevarjur lakkab kiirenemast piirkiirusel umbes 55 m/s, seega see lehekülg hindab 1000 m juhtumit kiirusega 140.07 m/s juba rohkem kui kaks korda üle. Valemis puudub liige, mis võiks kunagi tekitada piirkiiruse — v = √(2gh) kasvab piiramatult —, seega kuvatav arv ei ole mitte kergelt optimistlik vastus, vaid vastus hoopis teisele küsimusele.

Galileo ei suutnud kukkuva kuuli aega mõõta, seega aeglustas ta raskusjõudu 🖖

Mõnemeetrine kukkumine kestab alla sekundi ning parim 1600. aastal kättesaadav kell oli kaalul mõõdetav veeanum. Niisiis lahjendas Galileo raskusjõudu sellega võitlemise asemel: kui veeretada kuul mööda madalat kaldpinda alla, mõjub sama ühtlane kiirendus vaid murdosaga oma tugevusest, venitades liikumist nii palju, et seda saab käsitsi mõõta. Ta avastas, et järjestikuste võrdsete ajavahemike jooksul läbitud vahemaad suhtusid nagu 1, 3, 5, 7 — paaritud arvud, mille kumulatiivsed summad on 1, 4, 9, 16 ehk ruudud. Nii tehti kindlaks h ∝ t² ilma stopperita. Ülalolev raskusjõu kast teeb tarkvaras sama: selle seadmine väärtusele 1.62 ei muuda füüsikat, vaid ainult tempot, millega füüsika avaldub.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Vajuta 100 m torn (Maa): 4.5152 s, 44.29 m/s, 981 J/kg. Sea nüüd raskuskiirenduseks Kuu 1.62 ja jäta kõrgus samaks — löögikiirus kukub 18 m/s peale. Kui kõrgelt peaks Kuul kukkuma, et löök oleks sama kõva, ja milline rida ütleb, millal oled kohal?

Näita vastust

Ligi 605,5 m. Kuuendiku raskuskiirenduse juures on kõrgus kuuekordne. Jälgida tasub kolmandat rida. Kineetiline energia kilogrammi kohta on vaid g·h, mis tähendab, et väärtuse 981 J/kg saavutamisel klapib ka kiirus. Väärtustel 605,5 ja 1,62 on näidud 980,91 J/kg ning 44,29 m/s. Maal on vastavad arvud 981 ja seesama 44,29. Langemine kestab nüüd varasema 4,5152 s asemel 27,341 s. Aeg on kuuekordne. Lõppkiirus jääb samaks, sest nõrk raskusjõud vajab teepikkust, et teha seda, mida tugev suudab kiiresti.
Päris langevarjur lakkab kiirenemast umbes 55 m/s juures. Millisest langemiskõrgusest alates hakkab see leht näitama kiirust, mida ükski kukkuv inimene ei saavuta?

Näita vastust

154 m ja 155 m vahel: 154 annab 54.97 m/s ja 155 annab 55.15 m/s. See lävi on madalam, kui enamik arvab, ja kõik sellest ülalpool vastab küsimusele vaakumi, mitte õhu kohta. Edasi kasvab vahe kiiresti: 1000 m juures näitab leht 140.07 m/s, kaks ja pool korda kiirust, mida õhus kukkuv keha üldse ületada ei saa.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kivi kukutamine 100 m kõrguselt, kui g = 9,81 m/s² 5 sammu
Kukutage kivi 100 m kõrguselt, võttes g = 9,81 m/s². Leidke kukkumise aeg, lõppkiirus ja energia ühe kilogrammi kohta. Seejärel uurige, kus asuvad kukkumise teekonnal poole peale jäävad punktid. Nimelt ei saavutata poolt kõrgust ega poolt energiat siis, kui ajast on kulunud täpselt pool.
1. Siirde sõltuvus ajast on ruutvõrdeline, seega kõrguse võrdsustamine nulliga ja võrrandi lahendamine ongi kogu esimene samm.
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. Kiirus on tuletis sel ajahetkel. Seda tasub teisendada: 159 km/h on kiirteekiirus kümnendalt korruselt.
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. Asendades seose v² = 2gh ühe kilogrammi kohta käivasse kineetilise energia valemisse, kaob kiirus mängust ning järele jäävad vaid algkõrgus ja raskuskiirendus. See on puhtalt tagasi saadud potentsiaalne energia. Just seetõttu ongi tulemuseks ilus ümmargune 981.
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. Nüüd kukkumise kulust. Kõrguse esitamine osana kogukõrgusest muudab ajasõltuvuse lihtsaks ruutsõltuvuseks ja ruudud on armutud: pool kulunud ajast annab vaid veerandi vahemaast.
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. Õhk ei muuda üksnes tempot, vaid ka lõpptulemust. Kui piirkiirus on 55 m/s, annab analüütiline avaldis tulemuseks 38,0 m/s — 14% võrra väiksema kiiruse, kuid 26% võrra väiksema energia, sest energia sõltub ruudust, ning see on ainus rida, kus mass tuleks tagasi.
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
Vastus

4,5152 s, 44,29 m/s ja täpselt 981 J/kg. See viimane näitaja on puhas gh ilma igasuguste lisanditeta. Mass taandub valemitest välja, mistõttu jõuavad kivike ja klaver maapinnale täpselt sama energiaga iga kilogrammi kohta. Kogu langemine on tugevalt lõppu koondunud. Poole aja möödudes on kivi läbinud alles veerandi teekonnast ja poole kõrguseni jõuab see siis, kui ajast on kulunud 71%. Tervelt pool teekonda läbitakse kukkumise viimase 29% jooksul. Seepärast kukkumine, mis ülevalt vaadates tundub üleelatav, seda tegelikult polegi.

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

Õpitee

Energia jõudude asemel

Allikad (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.