Visketrajektoori Simulaator

paraboolne trajektoor koos elava animatsiooniga

Algväärtused — Visketrajektoori Simulaator

Väljalennukiirus (v₀)	20
Väljalennunurk (θ)	45
Väljalennukõrgus (h)	0

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Nelikümmend viis kraadi võidab ainult tasasel maal 🖖

Kaldvise on gravitatsioonivälja visatud objekti kinemaatiline analüüs, eeldades konstantset allapoole kiirendust g. Õhutakistust eirates on horisontaalne kiirus konstantne, samal ajal kui vertikaalne liikumine on ühtlaselt kiirenev süsteem, luues paraboolse trajektoori. Maksimaalne lennukaugus saavutatakse 45-kraadise nurga all.

Kaks liikumist ühes 🖖

Heitekeha teeb tegelikult korraga kahte sõltumatut asja: liigub ühtlase kiirusega külgsuunas ja kukub samal ajal raskusjõu mõjul. Kumbki ei mõjuta teist, millest tuleneb kuulus tulemus — horisontaalselt välja tulistatud kuul ja lihtsalt lahti lastud kuul jõuavad samalt kõrguselt maha täpselt samal hetkel. Muuda siin väljalaskekiirust ja jälgi, kuidas külgulatus kasvab, samal ajal kui lennuaeg sõltub ainult vertikaalliikumisest.

Kõrgemalt visates 45° enam ei võida 🖖

Kuulus 45° reegel maksimaalse lennukauguse jaoks kehtib ainult siis, kui väljalase ja maandumine on samal kõrgusel. Lisa väljalaskekõrgus h ja parim nurk langeb alla 45°, järgides valemit θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Viska pall kaljult alla ja veidi laugemalt kui 45° sihtides lendab see kaugemale — lükka kõrguse liugurit üles ja otsi tegelik optimum.

VISKEKEHAD — NURK OTSUSTAB KÕIK PEALE SELLE, MIDA OTSUSTAB KIIRUS

Millist viskejuhtumit sa lahendad?

Horisontaalne ja vertikaalne liikumine on teineteisest sõltumatud: külgsuunas ühtlane kiirus, allasuunas ühtlane kiirendus. Kõik muu tuleneb sellest lahutusest. Tasasel maal on lennukaugus R = v²sin(2θ)/g, mille tipp on 45° juures ja mis paarutab selle mõlemal pool asuvad nurgad. Viska kõrgemalt ja see sümmeetria puruneb — parim nurk langeb alla 45°.

45° tasasel maal — suurim lennukaugus R = v²/g at θ = 45°

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada R = v²sin(2θ)/g

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole h = v²/2g, R = 0

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° tasasel maal — suurim lennukaugus

Mida sa tead: Vise ja maandumine on samal kõrgusel ja sa tahad võimalikult kaugele. sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°.

Lennukaugus: R = v²/g at θ = 45°

Näidisarvutus: v = 20 m/s nurga 45° all → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, kaugeim, kuhu see kiirus ulatub

Ava see juhtum: 45° max kaugus

45° tasasel maal — suurim lennukaugus. 45° juures on lennuaeg ja horisontaalkiirus tasakaalus ning kaugus suurim. Vise ja maandumine on samal kõrgusel ja sa tahad võimalikult kaugele. sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°. — 45° juures on lennuaeg ja horisontaalkiirus tasakaalus ning kaugus suurim.

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada

Mida sa tead: Iga nurk θ ja tema täiendnurk 90° − θ annavad tasasel maal sama kauguse, sest sin(2θ) = sin(180° − 2θ).

Lennukaugus: R = v²sin(2θ)/g

Näidisarvutus: v = 20 m/s nurga 30° all → 35,3 m; 60° all → jälle 35,3 m. Lame vise kestab 2,0 s, kõrge 3,5 s

Ava see juhtum: 30°

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada. Kaks trajektoori, üks maandumispunkt: 30° ja 60° annavad sama kauguse eri kõrgustel. Iga nurk θ ja tema täiendnurk 90° − θ annavad tasasel maal sama kauguse, sest sin(2θ) = sin(180° − 2θ). — Kaks trajektoori, üks maandumispunkt: 30° ja 60° annavad sama kauguse eri kõrgustel.

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole

Mida sa tead: θ = 90°, seega horisontaalkomponent on null. Kõik, mille vise andis, kulub tõusule ja tagasitulekule.

Lennukaugus: h = v²/2g, R = 0

Näidisarvutus: v = 20 m/s otse üles → suurim kõrgus v²/2g = 20,4 m, kaugus 0, ja pall naaseb pihku kiirusega 20 m/s

Ava see juhtum: 90° otse üles

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole. Vertikaalne vise: trajektoor kokku surutud jooneks ja kaugus kaob. θ = 90°, seega horisontaalkomponent on null. Kõik, mille vise andis, kulub tõusule ja tagasitulekule. — Vertikaalne vise: trajektoor kokku surutud jooneks ja kaugus kaob.

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb

Mida sa tead: Maandumispunkt on stardipunktist madalamal, nii et lend pole enam sümmeetriline ja 45° reegel ei kehti.

Lennukaugus: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Näidisarvutus: v = 22 m/s nurga 35° all 18 m kõrguselt → 3,6 s õhus ja 65 m kaugusele; optimaalne nurk on siin 37,2°, mitte 45°

Ava see juhtum: kaljult

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb. Lisakõrgus ostab lisalennuaega, nii et lamedam vise võidab. Maandumispunkt on stardipunktist madalamal, nii et lend pole enam sümmeetriline ja 45° reegel ei kehti. — Lisakõrgus ostab lisalennuaega, nii et lamedam vise võidab.

Ülesanded täielikult lahendatud

20 m/s ja 45° all tasapinnalt lennutatud pall 5 sammu
Pall lennutatakse tasaselt maapinnalt kiirusega 20 m/s ja 45° nurga all. Leia, kui kaua see õhus püsib ja kui kaugele maandub — seejärel leia, mida maksab 5° sihtimisviga, mis on küsimus, mis otsustab, kas 45° nurka tasub sihtida.
1. Lahutage lennutamine kaheks liikumiseks, mis teineteist ei mõjuta. Raskusjõud mõjub ainult allapoole, mistõttu on horisontaalkiirus maandumisel sama mis startimisel, ning 45° on ainus nurk, kus mõlemad komponendid on alguses võrdsed.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 20 cos 4 5^{\circ} = 14.142 m/s, v_{y} = v_{0} sin θ = 14.142 m/s$
2. Lend lõpeb siis, kui kõrgus jõuab tagasi nulli, ja sellest teab midagi ainult vertikaalliikumine. Tõus ja langus võtavad tasaselt maapinnalt sama palju aega, seega on kogu lennuaeg kaks korda pikem ajast tippujõudmiseni.
  
  $y (t_{f}) = 0 : t_{f} = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 ( 14.142 )}{9.81} = 2.8832 s$
3. Horisontaalkaugus saadakse konstantse kiirusega liikumisest selle lennuaja jooksul. Komponentide asendamine taandab kõik kahekordseks nurgaks, ja kuna sin 2θ jääb muutumatuks, kui θ asendada nurgaga 90° − θ, maandub pall nii 30° kui ka 60° all lennutades 35,312 m kaugusel.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 14.142 \times 2.8832 = 40.775 m = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{400}{9.81}$
4. Tippkõrgus tuleneb üksnes vertikaalkomponendist, mille raskusjõud peatab. 45° all on see täpselt veerand lennukaugusest ning see veerand kehtib 45° puhul iga algkiiruse korral.
  
  $y_{m a x} = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{200}{19.62} = 10.194 m = \frac{R}{4}$
5. Nüüd sihtimisveast. sin 2θ on kohal 45° statsionaarne, seega on 5° eksimus teist järku viga ja maksab 40,775 m ulatuses 62 cm. Sama 5° eksimus 30° juures on esimest järku ning muudab lennukaugust 8,5%, st umbes 3 m.
  
  $\frac{R ( 5 0 ^{\circ} )}{R ( 4 5 ^{\circ} )} = sin 10 0^{\circ} = 0.9848 (- 0.62 m), \frac{R ( 3 5 ^{\circ} )}{R ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 1.085$
Vastus

Tööriist väljastab lennuajaks 2,8832 s, lennukauguseks 40,775 m ja tippkõrguseks 10,194 m. Kaks viimast on täpselt suhtes 4 ning jäävad sellesse suhtesse 45° all olenemata kiirusest — 45° trajektoor on alati neli korda laiem kui kõrge, seega on kuju üks ja muutub vaid suurus. Samm 5 on see, mida tasub meeles pidada: maksimum on lame, mistõttu püsib 45° rusikareeglina, mida keegi hoolikalt ei kontrolli. Lamedusel on aga kaks külge, sest lamedat tippu on raske leida — igaüks, kes katsetades parimat nurka otsib, saab laia nurgavahemiku, kus kõik tunduvad võrdselt head.

$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}, \frac{R}{y _{m a x}} = 4 (θ = 4 5^{\circ})$
Nurk, mis kannab kõige kaugemale 18 m kõrguselt 7 sammu
Paneel lahendab selle viske, mille sa talle annad: 35° 18 m kõrguselt kannab 64,764 m. Kas 35° oli üldse hea valik, seda ta ei ütle. Leia nurk, mis sellelt kaljult kõige kaugemale kannab — ja küsi siis, kui palju see vastus tegelikult väärt on.
1. Jaga vise kaheks. Kõik pärast seda rida on ühtlane horisontaalkiirus ja vertikaalne vabalangemine, mis juhtub algama 18 m maandumispinnast kõrgemal.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 22 cos 3 5^{\circ} = 18.021 m s^{- 1}, v_{y} = v_{0} sin θ = 22 sin 3 5^{\circ} = 12.619 m s^{- 1}$
2. Lend lõpeb, kui kõrgus jõuab tagasi nulli — see on ruutvõrrand t suhtes. Võta positiivne juur; teine oleks hetk, mil keha oleks maapinnalt lahkunud, kui ta oleks sealt alt startinud.
  
  $h + v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t_{f} = \frac{v _{y} + v _{y}^{2} + 2 g h}{g} = \frac{12.619 + 159.24 + 353.16}{9.81} = 3.5938 s$
3. Kaugus on horisontaalkiirus korda kogu lennuaeg, sest horisontaalselt ei mõju miski. Kolm senisest neljast arvust on ülal paneelil.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 18.021 \times 3.5938 = 64.764 m$
4. Tipp on seal, kus vertikaalkiirus otsa saab, ja kalju lihtsalt tõstab kogu asja: 18 m edumaa pluss täpselt see tõus, mille maapinnalt visatu oleks saavutanud.
  
  $y_{m a x} = h + \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = 18 + \frac{159.24}{19.62} = 26.116 m$
5. Nüüd küsimus, millele paneel ei vasta. Kirjuta kaugus ainult nurga funktsioonina, hoides v₀ ja h fikseerituna. Lennuaeg sõltub nüüd samuti θ-st, ja just seepärast pole see mugav merepinna valem.
  
  $R (θ) = \frac{v _{0} cos θ}{g} (v_{0} sin θ + v_{0}^{2} sin^{2} θ + 2 g h)$
6. Diferentseeri ja võrdsusta nulliga. Kõik taandub üheks tingimuseks sin θ jaoks ja kalju siseneb ainult mõõtmeteta suuruse 2gh/v₀² kaudu. Kui h = 0, annab see sin θ = 1/√2 ehk tuttava 45°. Siin annab see 37,248°.
  
  $\frac{d R}{d θ} = 0 ⟹ sin θ^{*} = \frac{1}{2 + 2 g h / v _{0}^{2}} = \frac{1}{2.72967} = 0.60526 ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}$
7. Aseta nüüd kolm nurka kõrvuti ja loe suurusjärke, mitte ainult järjestust.
  
  $R (37.24 8^{\circ}) = 64.887, R (3 5^{\circ}) = 64.764, R (4 5^{\circ}) = 63.355 (m)$
Vastus

Parim nurk sellelt kaljult on 37,248°, ja ümbersihtimine on 65-meetrise viske juures väärt 12 cm. Tegelik õppetund ongi see, ja see ei peitu optimumis endas: maksimum on lame, nii et 2,2° möödalask ei maksa peaaegu midagi. Kallis on vale mudeli kaasavõtmine — 45° on optimaalne ainult maapinnalt, ja siin viskab see minema 1,532 m, kaksteist korda rohkem kui sihtimisviga. Tõsta kalju kõrgemaks ja θ* langeb veelgi; väga kõrge kalju piiril on kõige kaugem vise peaaegu horisontaalne.

$sin θ^{*} = (2 + \frac{2 g h}{v _{0}^{2}})^{- 1/2} ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}; R^{*} - R (3 5^{\circ}) = 0.123 m, R^{*} - R (4 5^{\circ}) = 1.532 m$

Õpitee

Asjade viskamine

Viib edasi Õhutakistus ja tuul kahemõõtmelise juhu, kus see tingimus endiselt kehtib.

Allikad (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

45° max kaugus - v=20 m/s, θ=45°, h=0 → lennukaugus≈40.8 m (maksimaalne selle kiiruse juures)
30° - v=20 m/s, θ=30° → lennukaugus≈35.3 m (sama, mis 60° juures, sümmeetria tõttu)
60° - v=20 m/s, θ=60° → lennukaugus≈35.3 m (sama, mis 30° juures)
90° otse üles - v=20 m/s, θ=90° → otse üles, lennukaugus=0, maksimaalne kõrgus≈20.4 m
madala nurgaga lask - v=55 m/s, θ=12° → lame trajektoor, lennukaugus≈125 m
kaljult - v=22 m/s, θ=35°, h=18 m → lennukaugus≈65 m, lennuaeg≈3.6 s