Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Võrdle ideaalset trajektoori õhutakistusest mõjutatud trajektooriga.

Näidisarvutus — Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Tegelik lennukaugus	28.0 m
Tegelik maksimaalne kõrgus	9.5 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Lisa heitekehale õhutakistus ja sa ei saa parandatud parabooli — sa kaotad valemi. Ruutsõltuvusega takistus on jõud −(k/m)·|v_rel|·v_rel: suunatud vastu liikumisele läbi õhu ja kasvav kiiruse ruuduga. See seob rõht- ja püstvõrrandi teineteise külge, ja sellel seotud paaril pole elementaarset lahendit. See leht integreerib lennu 10-millisekundiliste sammudega, sest hinnata pole enam midagi.

Mida iga sümbol tähendab

θ: väljalaskenurk. Takistuseta on selle parim väärtus 45° iga algkiiruse ja iga massi korral — ülesande konstant. Takistusega pole ta midagi sellest, ja just sellest see õppetükk räägibki.
k/m: takistustegur jagatud massiga. See on ainus kombinatsioon, mis võrrandites üldse esineb: mitte kunagi k üksi, mitte kunagi m üksi. Kaks kuuest sisestuskastist on kaks käepidet ühe ja sama arvu küljes.
v_rel: kiirus õhu suhtes, v − w. Takistus mõjub sellele, mitte kunagi maapinna suhtes mõõdetud kiirusele — just seepärast pole vastu- ja pärituul teineteise peegelpildid.
R: lennukaugus. Leht trükib neid kaks — R_ideal suletud kujul paraboolist ja R_actual integreerimisest — ja nende vahe ongi see, mille õhk võttis.

Kust valem tuleb

Alusta õhuta, kus kaks telge omavahel kunagi ei suhtle. Rõhtkiirus on jääv, püstasend on ajas parabool, ja aja kõrvaldamine jätab alles R = v₀² sin(2θ)/g. Maksimeeri: sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°. Pane tähele, mis välja langes — selles tingimuses pole ei v₀-d ega massi, seega on 45° parim nurk iga väljalaske jaoks, mis eales aset on leidnud. Sellepärast jäetakse see meelde faktina, mitte tulemusena.
Lisa nüüd takistus ja vaata, kuidas teljed lakkavad olemast sõltumatud. Jõud on −(k/m)·|v_rel|·v_rel, ja |v_rel| on √(v_x² + v_y²) — selles on mõlemad komponendid. Rõhtvõrrand sõltub nüüd sellest, kui kiiresti sa tõused, ja püstvõrrand sellest, kui kiiresti sa eemaldud. Paar on mittelineaarne ega lase end lahutada; ükski elementaarne R valem seda üle ei ela. Graafiku pidev kõver on integreeritud, mitte välja arvutatud, ja leht kirjutab selle ausalt summana.
Loe aritmeetikat ja üks asi torkab silma: k ja m esinevad alati ainult kujul k/m. Raske pall on kerge pall hõredamas õhus. Pane k = 0.03 ja m = 3 ning saad viimse kohani sama trajektoori mis k = 0.01 ja m = 1 puhul — eelseade „raske pall“ on väikese takistuse juhtum teise nime all, ja massikast ei oska öelda midagi, mida takistuskast juba ei ütleks.
Ja nüüd optimum liigub. Järsk tõus ostab endiselt lennuaega, kuid takistuse all makstakse lennuaja eest kiirusega, ja just kiirus kannab sind edasi — nii kaldub parim nurk lamedamaks. Ja kuna kiirem keha kuhjab teel rohkem takistust, sõltub see nurk nüüd algkiirusest, mida ta varem kunagi ei teinud. Proovi selle lehe vaiketakistusega: 25 m/s juures ei maksa 45° peaaegu midagi, 28.0 m võrreldes 28.5 m-ga, mille leiad käsitsi 38° kandis; 90 m/s juures maksab see palju, sest seal annab 45° 65.4 m ja umbes 30° annab 70.8 m.

Kuidas nähtut lugeda

Kaks kõverat ja kaks arvu, mis vastavad eri küsimustele. Katkendjoon on seesama väljalase, millelt õhk on ära võetud — mitte pideva kõvera lähend, vaid teise ülesande lahend —, nii et nendevaheline ruum ongi otse see, mis takistus maksma läks. R_ideal trükitakse valemina, kuhu sinu arvud on asetatud, sest valem on olemas; R_actual trükitakse kujul Σ v_x Δt, sest valemit pole. Sea takistus nulli: mõlemad kirjeldavad sama füüsikat — ja ometi näitab leht 63.7 m versus 63.5 m. See viiendik meetrit pole õhk. See on integraatori enda viga, ja seda tasub teada, enne kui hakkad mõnda vahet füüsikana lugema.

Eeldab: Seisev õhk, välja arvatud ühtlane rõhttuul, mis puhub igal kõrgusel sama kiirusega, ühtlane tihedus kogu tõusu ulatuses ja takistustegur, mis kiirusega ei muutu. Punktmass: ei tõstejõudu, ei pöörlemist, ei Magnuse jõudu — lõigatud golfipall ja kõrvale triiviv mürsk jäävad mõlemad väljapoole seda, mida see mudel öelda oskab.
Ei kehti, kui: Integreerimine kestab kõige rohkem 5000 sammu à 10 ms — viiskümmend sekundit lendu — ja leht ei maini seda kusagil. Tavalised seaded ei jõua sellele lähedalegi: vaikejuhtum on vähem kui kolme sekundiga tagasi maas. Kuid lülita takistus välja ja lase kõvasti ja järsult, v₀ = 300 m/s nurga 85° all, ja trajektoor lihtsalt katkeb õhus, keha veel 2.68 km maapinnast kõrgemal; allpool trükitud kaugus on koht, kus ta sel hetkel juhtus olema, mitte koht, kuhu ta maandub. Takistus pigem varjab seda piiri kui põhjustab seda — seesama lask k = 0.03 juures on üheksa sekundiga maas.

miks õhutakistus rikub parabooli sümmeetria 🖖

Õhutakistus hävitab ideaalse visketrajektoori elegantse parabooli sümmeetria. Takistusjõud on võrdeline v²-ga, seega kiiruse kahekordistamine neljakordistab takistuse. Piirkiirusel võrdub takistus raskusjõuga ja vertikaalne kiirendus peatub. Tegelikud tulistustabelid arvestavad takistust, pöörlemist, õhutihedust ja tuult — ideaalne valem on vaid esimene lähendus.

Loeb õhk, mitte maapind 🖖

Kuul tunneb takistust ainult oma kiirusest õhu suhtes, mitte maapinna suhtes. Tuul liigutab kogu õhumassi, samas kui takistus mõjub alati vastu keha liikumisele selle õhu suhtes. Seetõttu tõstab vastutuul tegelikku õhukiirust ja takistus hammustab tugevamalt, pärituul aga vähendab seda — nii lendab kuul kaugemale, kui tuule õrn tõuge üksi seletaks.

Miks lohkudega golfipall lendab kaugemale 🖖

Vastuoluline osa: palli pinna karestamine võib takistust vähendada. Golfipalli lohud sunnivad õhuvoolu õhukesse turbulentsesse piirikihti, mis püsib pinnal kauem ja kahandab palli taha jäävat madalrõhuala. Lohkudega pall lendab ligi kaks korda kaugemale kui ühtemoodi löödud sile pall. Selle simulaatori lihtne v²-takistuse seadus eeldab püsivat takistustegurit ega suuda tabada seda 'takistuskriisi', kus Cd kiiruse kasvades järsult langeb.

Ülesanne täielikult lahendatud

Miks 63,7 m vaakumivalemi vastusest saab 28,0 m 5 sammu
25 m/s 45° all, õhutakistustegur 0,03. Vaakumivalem annab tulemuseks 63,7 m. Selgita välja, miks vastus on 28,0 m — ja miks kõrgus säilib palju paremini kui lennukaugus.
1. Alusta vastusest, mille õhk ära rikub. Mõlemad vaakumivalemid on täpsed, üherealised ning selle probleemi ainus analüütiline alus.
  
  $R_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{2 5 ^{2} sin 9 0 ^{\circ}}{9.81} = 63.7 m, H_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g} = 15.9 m$
2. Nüüd kirjuta tegelik võrrand. Takistuse liige on suunatud kiirusvektorile vastassuunas, mistõttu selle horisontaalne komponent sõltub vertikaalsest kiirusest ja vastupidi — kaks telge ei ole enam sõltumatud ning parabooli enam ei eksisteeri.
  
  $\ddot{r} = - g \hat{y} - k ∣ \dot{r} ∣ \dot{r} — the drag term couples x and y, so no closed form survives$
3. Loe need kaks kadu paneelilt murdudena maha. Need erinevad ning just see erinevus ongi selgitamist väärt.
  
  $R_{actual} = 28.0 m = 0.44 R_{ideal}, H_{actual} = 9.5 m = 0.60 H_{ideal}$
4. Piirkiirus on kiirus, mille korral takistus tasakaalustab raskusjõu, ning selle võrdlemine algkiirusega näitab, kumb jõud alguses domineerib.
  
  $v_{t} = \frac{g}{k} = \frac{9.81}{0.03} = 18.1 m/s < v_{0} = 25 m/s$
5. Takistuspikkus 1/k on vahemaa, mille jooksul õhk eemaldab märkimisväärse osa kiirusest. Võrdle seda oodatud lennukaugusega.
  
  $ℓ = \frac{1}{k} = 33.3 m \approx R_{ideal} /2 ⟹ drag is not a correction here, it is the problem$
Vastus

Sest õhutakistuse pikkusskaala on 33 m, ent vise oleks vaakumis ulatunud 64 m kaugusele ja ainult 16 m kõrgusele. Lennukaugusest säilib 44% ja maksimaalsest kõrgusest 60% nende väärtusest vaakumis. Need kaks arvu näitavad, et häiretusteooria siin ei kehti. Piirkiirus √(g/k) on 18,1 m/s, mis jääb alla algkiirusele 25 m/s. Seega pidurdab palli algul rohkem õhk kui raskusjõud. Ka 1/k = 33 m on vaid pool lennukaugusest vaakumis, kuigi väikese paranduse korral peaks see olema lennukaugusest mitu korda suurem. Abiks pole ka suletud kujul lahendit: õhutakistus seob liikumise kahel teljel ning seepärast integreerib paneel võrrandeid, mitte ei asenda lihtsalt väärtusi valemisse.

$drag keeps 44% of the range but 60% of the height$

Õpitee

Asjade viskamine

Allikad (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

ilma takistuseta - Takistus välja lülitatud: lend lõpeb 63.5 m juures, kõrval on trükitud ideaalne parabool 63.7 m.
vastutuul - Vastutuul kärbib täpselt sama väljalaske 14.2 meetrini.
pärituul - Seesama tuul selja tagant annab 41.2 m — ligi kolm korda rohkem kui vastutuulega.
raske kuul - Kolmekordne mass kannab sedasama palli 43.3 meetrini.