Tennisereketi teoreem

Määra kolm peamist inertsimomenti, pöörlemistelg, pöörlemise kiirus ja see, kui palju pöörlemine algselt sellest teljest hälbib. Leht integreerib sinu silme all Euleri võrrandid, joonistab pöörleva keha, mille impulsimoment püsib paigal, ning leiab täpse pööretevahelise aja.

Näidisarvutus — Tennisereketi teoreem

Pöörlemissagedus	6,283 rad/s
Kesktelje laperdamise kasvukiirus	3,628 s⁻¹
Väike laperdamine ümber telje 2	3,628 s⁻¹
Aeg pöörete vahel, täpne	4,38 s
Lõppenergia suhe algenergiasse	1,000000
\|L\| väärtuse suhe algväärtusesse	1,000000
L-i suurim nihe ruumis, osana \|L\|-ist	5,9×10⁻¹⁰

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Tennisereketi teoreem

Tennisereketi teoreem ehk kesktelje teoreem: jäik keha, mille kolm peamist inertsimomenti erinevad (I₁ < I₂ < I₃), pöörleb stabiilselt ümber vähima ja suurima momendiga telje ning ebastabiilselt ümber keskmise. Kasti puhul on need teljed piki selle pikimat, lühimat ja keskmist külge. Välise jõumomendi puudumisel kasvab väike laperdamine ümber kesktelje kui e^λt, kus λ = ω√((I₂ − I₁)(I₃ − I₂)/(I₁I₃)), kuni keha pöörab end ümber, kusjuures selle impulsimoment jääb ruumis paigale. Reket, mis on visatud nii, et selle käepide teeb ühe täispöörde, naaseb vahetunud külgedega; orbiidil nimetatakse sedasama liikumist Džanibekovi efektiks kosmonaudi järgi, kes vaatas 1985. aastal kaaluta olekus pöörleva tiibmutri lakkamatut ümberpöördumist.

Mida iga sümbol tähendab

I₁: väikseim peamine inertsimoment; kasti puhul ümber pikimat külge läbiva telje
I₂: keskmine moment: telg, mis ei suuda pöörlemist säilitada
I₃: suurim moment; õhukese lameda keha puhul on see ümber esikülge läbiva telje, ning I₃ = I₁ + I₂
λ: väikese laperdamise kasvukiirus ümber kesktelje: laperdamine korrutub e-ga iga 1/λ järel
ε: algne laperdamine, pöörlemine ümber kahe ülejäänud telje väljendatuna osana peamisest pöörlemisest

Eeldab: Jäik keha, millele ei mõju jõumomente: ei mingit õhutakistust ega gravitatsioonigradienti. Maal visatuna massikese langeb, kuid pöörlemine selle ümber jääb samaks. Energia hajumine, kui see on sisse lülitatud, on mudel, millel on täpselt kaks omadust – energia läheb välja ja L jääb muutumatuks – kiirusel, mille valis see leht; tõeline sumbumine sõltub sellest, kuidas keha paindub.

Pööreldes ümber oma kesktelje, pöörab see end iga 4,38 s järel ümber, ilma et miski seda tõukaks 🖖

Klõpsa Kesktelg, ε 10⁻³. Keha inertsimomentide suhe on 1 : 2 : 3 ning see teeb ühe pöörde sekundis ümber telje 2, kusjuures mõlema ülejäänud telje ümber on tuhandik sellest pöörlemisest. Hetkel 2,37 s on see külili ja hetk hiljem pea alaspidi; 4,38 s pärast seda teeb see sama uuesti ja jätkab seda seni, kuni simulatsioon kestab. Punane nool tähistab selle impulsimomenti L ning see ei liigu. Pärast 60 s möödumist on energia ja |L| täpselt 1,000000 korda algväärtustest ning L on ruumis nihkunud oma pikkusest 5,9×10⁻¹⁰ võrra, mis on lihtsalt integraatori enda viga. Ükski jõumoment siin ei mõju ning ümberpööramine ei maksa energiat. Teine paneel näitab, miks just telg 2 ja mitte ükski teine. Kuna nii E kui ka |L| on fikseeritud, saab L-i suund keha poolt vaadatuna liikuda vaid mööda üht joonistatud kõverate perest. Punktide ±1 ja ±3 ümber on need väikesed suletud silmused, seega väike laperdamine jääb väikeseks. Punktis ±2 need lõikuvad, moodustades sadulpunkti, ja +2 lähedalt algav kõver viib otse punktini −2. Klõpsa Suurim moment, ε 10⁻³: sama laperdamine ümber telje 3 on kolmandal paneelil horisontaalne sirge ning pööret ei järgne.

Tuhat korda suurem hool annab 3,81 sekundit 🖖

Klõpsa Kesktelg, ε 10⁻⁶, sama vise tuhat korda puhtamalt tehtuna. Pöörded toimuvad nüüd 4,38 s asemel iga 8,19 s järel. Tulemuste all olev tabel viib selle mustri edasi: alla 10⁻² laperdamise puhul lisab iga kümnekordne vähenemine samad 1,27 s, ja seda kuni 10⁻¹² välja. Kolmas paneel näitab, kust see tuleb. Laperdamine ümber kesktelje kasvab kui e^λt, mis on logaritmskaalal sirgjoon. Pärast iga pööret kahaneb see tagasi umbes väärtuseni ε, asendis pea alaspidi, ning peab enne järgmist pööret taas kasvama. Langus väärtuseni ε võtab aega umbes ln(1/ε)/λ ning tagasi ronimine sama palju, seega iga ε kümnekordne vähenemine maksab 2 ln 10/λ, mis on λ = 3,628 s⁻¹ korral 1,27 s. Muuda momente ja tabel reageerib: alla 10⁻² laperdamise püsib samm poole protsendi piires väärtusest 2 ln 10/λ. Just seetõttu pöörabki õhku visatud telefon end ümber. Klõpsa Õhku visatud telefon: Michael Wheatland ja tema kolleegid arvutasid telefoni iPhone 8 Plus massi ja suuruse põhjal selle momentideks 1,04, 4,23 ja 5,25 ×10⁻⁴ kg·m², ning kiirusel 17,002 rad/s on selle λ väärtus 13,125 s⁻¹. Iga kümnekordne hoolikas kordaja annab juurde 0,35 s ning 0,2 laperdamine pöörab telefoni ümber 0,32 s juures. Nende telefoni güroskoop salvestas päris viskel täpselt sama suunamuutuse.

Lase energial hajuda ja stabiilseks jääb vaid suurima momendiga telg 🖖

Klõpsa Energia hajub, telg 1. Esimene telg, väikseim moment, oli hetk tagasi stabiilne. Nüüd avardub pöörlemine ümber selle aeglaselt, muudab 40,60 s juures suunda ning jääb püsima kolmanda telje ümber, hoides alles 0,333712 oma algsest energiast ja viimsegi raasu oma impulsimomendist. Sisehõõrdumine võib pöörlevalt kehalt energiat ära võtta, kuid see ei saa muuta keha kogu impulsimomenti L, ja fikseeritud L korral on energia L²/2I väikseim seal, kus I on suurim. Pöörlemine ümber esimese telje kannab kõige rohkem energiat, mida L võimaldab, seega hajumine jalutab L-i üle teisel paneelil asuva sfääri, läbi sadulpunkti asenditesse ±3. Tehiskaaslane Explorer 1 puutus sellega kokku 1958. aastal. See oli pikk ja peenike keha, mis pidi pöörlema ümber oma pikitelje (kõige väiksema inertsiga telje), see kandis nelja painduvat antenni ega suutnud pöörlemist säilitada; Michael Efroimsky 2001. aasta artikkel laperdavatest asteroididest algab just selle näitega. Siinsel lehel olev hajumine on mudel, millel on täpselt need kaks omadust – energia läheb välja ja L jääb puutumata – ning seda lehe enda valitud kiirusel; see pole antennide mudel. Ilma hajumiseta kestavad esimese kahe ploki pöörded igavesti. Koos hajumisega aga, nagu märkisid J. A. de la Torre ja Pep Español, oleks Džanibekovi tiibmutter, kui seda piisavalt kaua jälgida, lõpuks leitud pöörlemas ümber oma peatelje.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui puhast viset vajab paberileht? 5 sammu
A4-paberi leht mõõtmetega 210 mm ja 297 mm pannakse kiirusega 1 p/s pöörlema ümber telje, mis kulgeb piki selle lühikest külge ja läbib keskpunkti. Leia selle kolme inertsimomendi suhe, laperdamise kasvukiirus ning see, kui väike peab olema algne laperdamine, et pöörete vahele jääks kümme sekundit, ning et jääks minut. Teise sammu kontrollimiseks klõpsa Kesktelg, ε 10⁻³.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kogu õhukese lehe mass asub ühel tasapinnal. Ümber pika külje telje on mass jaotunud üle 210 mm laiuse, seega I₁ = m b²/12, kus b = 210 mm; ümber lühikese külje telje on I₂ = m a²/12, kus a = 297 mm; ja ümber esikülge läbiva telje annab risttelgede teoreem I₃ = I₁ + I₂:
  
  $I_{1} : I_{2} : I_{3} = 21 0^{2} : 29 7^{2} : (21 0^{2} + 29 7^{2}) = 44, 100 : 88, 209 : 132, 309 = 1 : 2.0002 : 3.0002$
2. A-seeria paber on lõigatud nii, et pooleks murtud leht säilitab sama kuju, mis nõuab a/b = √2, ja siis on suhe täpselt 1 : 2 : 3; 297/210 on √2, mis on ümardatud millimeetrini. Kui ω = 2π rad/s, nagu lehe esimeses eelseades:
  
  $\frac{a}{b} = 2 \Rightarrow 1 : 2 : 3, λ = 2 π \frac{( 2 - 1 ) ( 3 - 2 )}{1 \times 3} = \frac{2 π}{3} = 3.628 s^{- 1}$
3. Pöörete vahel kahaneb laperdamine umbes väärtuseni ε ja kasvab tagasi umbes üheni, seega intervall käitub kui (2/λ) ln(1/ε) pluss konstant. Leht trükib 4,38 s väärtuse ε = 10⁻³ juures ja iga edasine kümnekordaja annab juurde 1,27 s. Kümme sekundit vajab
  
  $\frac{10 - 4 . 38}{1 . 27} = 4.43 \Rightarrow ε \approx 1 0^{- 3 - 4.43} = 3.7 \times 1 0^{- 8}$
4. Minut vajab 55,62 s enam, kui lehe eelseade annab:
  
  $\frac{60 - 4 . 38}{1 . 27} = \frac{55 . 62}{1 . 27} = 43.8 \Rightarrow ε \approx 1 0^{- 46.8} = 1.6 \times 1 0^{- 47}$
5. Võrdluseks, 0,3 m pikkune leht, mille telg on paika pandud ühe aatomi, 10⁻¹⁰ m, laiuse täpsusega, alustaks laperdamisega umbes üks osa 3×10⁹ kohta:
  
  $ε \approx \frac{1 0 ^{- 10} m}{0 . 3 m} = 3.3 \times 1 0^{- 10} \Rightarrow t_{flip} = 12.61 s$
Vastus

Momendid on 1 : 2,0002 : 3,0002 ning laperdamine kasvab kiirusega λ = 3,628 s⁻¹. Et pöörete vahel oleks kümme sekundit, peab algne laperdamine olema 3,75×10⁻⁸, ja minutilise vahe jaoks 1,54×10⁻⁴⁷, lahendades seejuures täpse intervalli, mitte kümne kordaja reegli abil. Telje seadmine aatomi laiuse täpsusega annab juurde umbes 12,6 s. Mitte ükski vise ei suuda hoida paberilehte ümber oma kesktelje pöörlemas tervet minutit.

$1 : 2.0002 : 3.0002, λ = 3.628 s^{- 1}, ε_{10 s} = 3.75 \times 1 0^{- 8}, ε_{60 s} = 1.54 \times 1 0^{- 47}$

Õpitee

Pöörlemine ja impulsimoment

Allikad (3)

A phone tossed in the air as a free-rotation laboratory: Euler's equations, the instability of the middle axis, and the moments of an iPhone 8 Plus, 1.04, 4.23 and 5.25 ×10⁻⁴ kg·m², computed from its measured mass and dimensions, behind the page's phone preset: M. S. Wheatland, T. Murphy, D. Naoumenko, D. van Schijndel and G. Katsifis, "The mobile phone as a free-rotation laboratory", American Journal of Physics 89, 342–348 (2021). doi:10.1119/10.0003380
Explorer 1, in 1958, was a very prolate body with four deformable antennas, meant to spin about its least-inertia axis, and refused; a body that loses energy at fixed angular momentum must end in the minimum-energy state, a spin about the maximal-inertia axis: M. Efroimsky, "Relaxation of wobbling asteroids and comets: theoretical problems, perspectives of experimental observation", Planetary and Space Science 49(9), 937–955 (2001). doi:10.1016/S0032-0633(01)00051-4
Dzhanibekov's wing nut, observed in 1985, flips for ever in Euler's equations; real bodies dissipate, and a torque-free body ends spinning about its major axis, so 'had Dzhanibekov observed his wing nut for a sufficiently long period, he would have found it spinning around the major axis': J. A. de la Torre and P. Español, "Internal dissipation in the Dzhanibekov effect", European Journal of Mechanics A/Solids 106, 105298 (2024). doi:10.1016/j.euromechsol.2024.105298

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.