Euleri nõtkumine ja sale post

Vali materjal, ristlõige, pikkus ja otste kinnitusviis. See leht arvutab välja koormuse, mille juures post nõtkub, koormuse, mille juures see lihtsalt survel puruneb, ja näitab, kumb neist juhtub esimesena.

Näidisarvutus — Euleri nõtkumine ja sale post

Ristlõike pindala	706,86 mm²
Ristlõike inertsimoment	3,976 × 10⁻⁸ m⁴
Inertsiraadius, √(I ÷ A)	7,500 mm
Saledus, KL ÷ r	400,0
Nõtkekoormus	8,72 kN
Survepurunemise koormus	176,71 kN
Kumb juhtub esimesena	8,72 kN
Seega post puruneb	nõtkudes

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Euleri nõtkumine ja sale post

Lühike pikiteljeliselt koormatud post puruneb survel. Pinge saavutab materjali tugevuse ja post annab järele koormusel, mis võrdub pindala ja tugevuse korrutisega. Pikk post nii kaugele ei jõua. See puruneb nõtkudes — paindudes küljele ja murdudes — Euleri kriitilise koormuse P = π²EI ÷ (KL)² juures, kus E on elastsusmoodul, I on ristlõike inertsimoment, L on pikkus ja K on otste kinnitusviisi tegur. Purunemise iseloomu määrab puhtalt see, kumb koormus on madalam. Neid kahte võrreldakse enamasti saleduse λ = KL ÷ r kaudu, kus r = √(I ÷ A) on inertsiraadius. See on pikkus, mis näitab, kui kaugel keskpunktist materjal efektiivselt asub.

Mida iga sümbol tähendab

E: elastsusmoodul paskalites. Näitab, kui raske on materjali venitada. See on ainus materjali omadus Euleri valemis
I: ristlõike inertsimoment ühikuga m⁴. See on ainuüksi KUJU omadus ja põhjus, miks toru ületab sama raskusega täisvarrast
r: inertsiraadius, √(I ÷ A), meetrites. Kaugus keskpunktist, kus ristlõike materjal efektiivselt asub
λ: saledus, KL ÷ r. Üksainus arv, mis otsustab, kumma purunemisviisi sa saad
K: otste kinnitusviisi tegur. 1 liigendatud otste, 0,5 mõlema jäiga ja 2 ühe vaba otsa korral

Eeldab: Täiesti sirge post, ideaalselt tsentreeritud koormus, ühtlane ristlõige ja materjal, mis jääb purunemise hetkeni elastseks. Iga eeldus on helde. Euleri koormus tähistab punkti, kus ideaalne post kaotab stabiilsuse, mitte koormust, kus reaalne post puruneb. Päris post on algusest peale kergelt kõver ja veidi tsentrist väljas, mis tähendab, et see hakkab kohe painduma ja annab järele allpool seda joont. Suhtu numbrisse pigem kui ületamatusse lakke, mitte kui kasutatavasse koormusesse. Just sel põhjusel asendavad reaalsed projekteerimisnormid kahe kõvera vahelise terava nurga katsetest tuletatud sujuva üleminekuga.
Ei kehti, kui: Piirsaleduse lähedal ei pea kumbki idealisatsioon paika. Post on piisavalt jässakas, et materjal hakkab survepoolel voolama enne elastse nõtkekoormuse saavutamist, ja tegelik purunemine asub allpool mõlemat kõverat. See eeldus murdub silmnähtavalt ka I-profiili korral. Valtsitud tala on ühe telje suhtes umbes kolmteist korda jäigem kui teise suhtes, nii et sellisest talast tehtud toestamata post nõtkub küljele alati nõrgema telje ümber. Siinsel lehel esitatud tugevama telje number on seega projekteerimisel vale. Lisaks puruneb puit viisil, mida tabel ei suuda näidata. Esitatud arv on normatiivne survetugevus sorteeritud populatsioonist, mitte voolavuspiir, sest puidul puudub voolavuspiir täielikult — see puruneb hoopis rakuseinte kokkuvajumise tõttu.

Tugevam teras ei nõtku suurema koormuse all 🖖

Klõpsa nupul Sale varras ja seejärel Sama, tugevam teras. Varras, pikkus ja otste kinnitused on samad, kuid materjalil on 2,76 korda suurem tugevus. Nõtkekoormus on 8,72 kN enne ja 8,72 kN pärast. Tulemus pole lihtsalt sarnane, vaid arvuti iga salvestatud numbri piires täpselt identne. Euleri koormus on π²EI ÷ (KL)² ja materjali tugevust ei leidu seal mitte kuskil. Valemis figureerib ainult E, ehk jäikus, ning E on mõlema terase puhul sama, sest kõik terased on ligikaudu võrdselt jäigad. Tugevam teras andis meile hoopis survepurunemise koormuse kasvu 176,71 kN pealt 487,73 kN peale. Seda koormust antud post aga kunagi ei saavuta. Rida, mis näitab ära kasutatava tugevuse osakaalu, liigub vales suunas, langedes 4,93% pealt 1,79% peale. Parem materjal annab hoopis kehvema tulemuse.

On olemas pikkus, mille juures kaks purunemisviisi kohad vahetavad 🖖

Survepurunemine ei hooli posti pikkusest ja nõtkumine ei hooli peaaegu millestki muust. Järelikult peavad esimese paneeli kaks kõverat kuskil ristuma. Nende lõikepunktis asub piirsaledus ning selle valem on λ = π√(E ÷ tugevus). Selles puudub pikkus, puudub pindala ja puudub kuju. Valem koosneb puhtalt kahest materjali omadusest. Konstruktsiooniteras lõikub 88,86 juures ja kõrgtugev teras 53,49 juures, mis on sama fakti teine külg. Mida tugevam on materjal, seda varem muutub see asjaks, mille eest maksta ei tasu. Piirsaledusest allpool ostad sa tugevust ning sellest ülevalpool jäikust ja geomeetriat, mil materjali enda tugevus pole enam oluline.

Paksus annab neljanda astme efekti, tugevus esimese 🖖

Kui tugevus seal üleval midagi ei tee, siis mis teeb? Teine paneel vaatleb ristlõike suurust ja mõõdab selle kallet, jättes oletused kõrvale. Nõtkumise harus kasvab täisringikujulise varda kriitiline koormus läbimõõdu neljandas astmes, mõõdetuna väärtusel 4,000000. Survepurunemise harus kasvab see ruudus, mõõdetuna väärtusel 2,000000. Läbimõõdu kahekordistamine korrutab nõtkekoormuse kuueteistkümnega. Õõnestoru on oma kaalu kohta veelgi efektiivsem, sest sama metallikoguse väljapoole nihutamine suurendab näitajat I ja vaevalt puudutab pindala A. Just seetõttu on tellingupost toru, jalgrattaraam on toru ja esimese näite täisvarras lihtsalt kehv viis terast kulutada.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kahe terase vahel valimine 3 m posti jaoks 6 sammu
3 m pikkune ja mõlemast otsast liigendatud post peab olema valmistatud 30 mm ümarvardast. Sulle pakutakse konstruktsiooniterast tugevusega 250 MPa ja suurema raha eest kõrgtugevat terast tugevusega 690 MPa. Arvuta välja, kui palju kumbki kannaks, ja otsusta, kumba osta. Esimese poole nägemiseks klõpsa tööriistas nupul Sale varras.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alusta geomeetriast, sest see on mõlema terase puhul sama ja ühtlasi ainus asi, mida Euleri valem vajab. 30 mm ümarvarda pindala on 706,86 mm² ja selle inertsimoment on 3,976 × 10⁻⁸ m⁴.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. Järgmiseks tuleb inertsiraadius, mis on täisvarda puhul lihtsalt veerand läbimõõdust: 7,500 mm.
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. Mõlemast otsast liigendiga tähendab, et K = 1, seega on saledus pikkus jagatud inertsiraadiusega: 3 ÷ 0,0075 = 400. See on väga sale post ning konstruktsiooniterase piirsaledus on 88,86.
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. Nüüd Euleri valem, kus E = 200 GPa mõlema terase puhul, sest just selline on terase elastsusmoodul:
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. Ja survepurunemise koormused, mis on ainus koht, kus kaks terast üldse erinevad:
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. Võrdle paare. Varras nõtkub 8,72 kN juures sõltumata terasest. See ei näe kunagi kummagi survepurunemise näitaja lähedale ulatuvat koormust, mistõttu ei anna tugevam teras posti kandevõimele mitte midagi juurde.
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
Vastus

Osta odavamat terast. Mõlemad nõtkuvad 8,72 kN juures ja 690 MPa terase ainus efekt on alandada ära kasutatavat osa selle tugevusest 4,93% pealt 1,79% peale. Sa maksaksid tugevuse eest ja ei saaks sealt midagi tagasi. Ainus, millest abi oleks, peitub muutujates, mis kuuluvad Euleri valemisse: lühem post, toetus silde keskel, jäigad kinnitused liigendite asemel või sama teras paigutatuna keskpunktist kaugemale. Asenda 30 mm täisvarras 78 × 3 mm toruga. Nii jääb terase pindalaks 706,86 mm², seega raskus ja hind püsivad samana. Inertsimoment kasvab aga 12,52 korda, viies nõtkekoormuse 8,72 kN pealt 109,18 kN peale. Kaheteistkümnekordselt tugevam post ilma lisakuluta, saavutatud vaid metalli väljapoole nihutamisega materjali uuendamise asemel. Selles seisnebki kogu kompromiss ja see on põhjus, miks nõtkumisprobleemi lahendus pole kunagi parem sulam.

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

Õpitee

Kuhu koormus kandub

Allikad (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.