Mohri ring ja pinge kaldpinnal

Määra punkti kolm pinget ja pööra elementi. Ringil on näha kõik tasandid korraga: kus saavutab haripunkti normaalpinge, kus nihkepinge, ja paksussuunaline ring, mida tasapinnaline joonis ei näita. Joonise all olev tabel arvutab välja iga viimasegi väärtuse.

Näidisarvutus — Mohri ring ja pinge kaldpinnal

Ringi keskpunkt	20,00 MPa
Poolvahe	30,00 MPa
Raadius	50,00 MPa
Peapinge σ1	70,00 MPa
Peapinge σ2	−30,00 MPa
Peapingete korrutis	−2100,00 MPa²
Peanurk θp	26,57°
σ2 tasand	−63,43°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Mohri ring ja pinge kaldpinnal

Punkti läbival pinnal mõjuv pinge sõltub sellest, millist pinda lõigata. Kahemõõtmelisel juhul kirjeldavad seda kolm arvu: σx, σy ja τxy. Pinna pööramine nurga θ võrra annab teisendusvõrrandite abil uued väärtused. Mohri ring joonistab need kõik korraga välja. Iga pind vastab punktile (σ, τ) ringil, mille keskpunkt on (σx + σy) ÷ 2 ja raadius R = √(((σx − σy) ÷ 2)² + τxy²). Pinna pööramine nurga θ võrra liigutab selle punkti ringjoonel 2θ. Seal, kus ring lõikab σ-telge, asuvad peapinged σ1 ja σ2, olles pindadel, mis ei kanna nihet. Ringi tipp ja põhi tähistavad tasapinnalist suurimat nihkepinget, R, asudes nende suhtes 45° nurga all olevatel pindadel.

Mida iga sümbol tähendab

σ1: suurem tasapinnaline peapinge, C + R. Suurim normaalpinge mis tahes lehega risti oleval pinnal
σ2: väiksem tasapinnaline peapinge, C − R. Selle pind asub σ1 pinna suhtes täisnurga all
R: ringi raadius ja suurim nihe mis tahes lehega risti oleval pinnal
θp: nurk x-teljest σ1 pinnani. Pool nendevahelisest nurgast ringil
τ_abs: absoluutne suurim nihe, pool σ1, σ2 ja σ3 = 0 haardest. Suurem kui R alati, kui σ1 ja σ2 on samamärgilised

Ei kehti, kui: Õhukeseseinalise kooriku teooria jätab kõrvale radiaalpinge, mis on sisepinnal −p. Anuma eelseadistuses on σ3 seal nulli asemel −2 MPa, ning koos õhukese seina rõngaspingega on suurim nihe sisepinnal 51 MPa, mitte 50. Tingimus σ3 = 0 kehtib täpselt ainult välispinnal, ja õhukese seina pinged ise on ligikaudsed, olles sellise paksusega seina puhul täpsed umbes 1% piires.

Tõmba varrast ja selle suurim nihe on kaldpinnal 🖖

Vajuta Üheteljeline tõmme. Varrast tõmmatakse pingega 100 MPa. Selle ristlõikel, kus θ = 0, on nihkepinge null. Elemendi pööramisel ilmub nihe, mis kasvab kuni nurgani θ = 45°. Seal ulatub selle suurus 50 MPa-ni, mis on pool tõmbest, ja hakkab seejärel uuesti langema. Tabelis kuvatakse see kui −50,00. Märgikokkuleppe kohaselt suundub nii pööratud pinnal nihe negatiivsesse suunda. Ringil vastab see ülemisele või alumisele punktile. See on veerandpööre alguskohast, sest iga nurk elemendil kahekordistub ringil. Metallid nagu teras voolavad dislokatsioonide libisemisel piki libisemistasandeid, mida juhib nihe, mistõttu nad annavad järele kaldu: purunemiseni tõmmatud terasest katsekeha lõpeb kausi ja koonusega, mille serv kulgeb teljega ligikaudu 45° nurga all. Tresca kriteerium teeb sellest reegli. Plastne metall voolab siis, kui selle suurim nihe ulatub pooleni tõmbe voolavuspiirist.

Vääna kriiti ja see murdub 45° spiraali mööda 🖖

Vajuta Puhas nihe (vääne). Väändel võlli ristlõikel on 100 MPa nihkepinget. Elemendi pööramine 45° võrra kaotab nihke täielikult: üht tahkude paari tõmmatakse 100 MPa-ga ja teist surutakse 100 MPa-ga. Vääne kujutab endast üksteise suhtes täisnurga all olevat tõmmet ja survet, mis asetsevad võlli suhtes 45° nurga all. See, kummale materjal järele annab, määrab purunemisviisi. Vajuta Malmi vääne. Malm on tõmbel nõrk. Seepärast puruneb ta seal, kus mõjub tõmbepinge, asudes +45° pinnal. Väändel malmvarras mõraneb piki 45° nurga all kulgevat spiraali. Üks tahvlikriit teeb sõrmede vahel sedasama. Terasvõll puruneb seevastu nihkel. Nihe on suurim ristlõikel endal, θs = 0°, seega murdub teras väänamisel varrega risti.

Surveanuma suurim nihe ei asu sinu joonistatud ringil 🖖

Vajuta Surveanuma sein: 100 MPa rõngassuunas ja 50 MPa piki telge. Neid kahte läbiva ringi raadius on 25 MPa. See 25 MPa on ühtlasi suurim nihe mis tahes seina suhtes risti oleval pinnal. Seinal on aga veel kolmas suund, läbi selle paksuse. Kuna välispinnal ei suru sellele midagi, on seal σ3 = 0. Ring väärtusest 100 alla 0-ni on kaks korda suurem. Nihkepinge sellel on 50 MPa, asudes läbi paksuse kaldu olevatel pindadel. Kui kontrollid anumat tasapinnalise ringi järgi, tuleb Tresca ohutusteguriks 250 ÷ (2 × 25) = 5,00. Lehel toodud 2,50 on aga tõeline väärtus. Lõks avaneb alati, kui kahe peapinge märk on sama. Kõige ilmsem on see olukorras Võrdne kaheteljeline, kus tasapinnaline ring tõmbub punktiks ja ükski lehte läbiv pind ei kanna nihet. Ometi mõjub läbi paksuse seda lausa 30 MPa.

Ülesanne täielikult lahendatud

Surveanuma voolavuse kontrollimine 5 sammu
Terasest silinder raadiusega 500 mm ja seina paksusega 10 mm sisaldab gaasi rõhuga 2 MPa. Terase voolavuspiir on 250 MPa. Leia seina pinged, suurim nihe ja ohutustegur voolavuse vastu Tresca kriteeriumi järgi. Iga väärtuse kontrollimiseks vajuta Surveanuma sein.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Õhukeseseinalise kooriku teooria annab otse kaks seina pinget. Rõngaspinge on teljesuunalisest kaks korda suurem:
  
  $σ_{h} = \frac{p r}{t} = \frac{2 \cdot 500}{10} = 100 MPa, σ_{a} = \frac{p r}{2 t} = 50 MPa$
2. Kumbki suund ei kanna nihet, seega on need juba peapinged ja tasapinnaline ring on järgmine:
  
  $σ_{1} = 100, σ_{2} = 50, C = \frac{100 + 50}{2} = 75, R = \frac{100 - 50}{2} = 25 MPa$
3. Suurim nihe mis tahes seina suhtes risti oleval pinnal on raadius:
  
  $τ_{m a x, in} = R = 25 MPa$
4. Välispinnal ei suru seinale midagi, mistõttu on kolmas peapinge null. Kolmest ringist suurim ulatub σ1-st nullini:
  
  $σ_{3} = 0, τ_{abs} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{100 - 0}{2} = 50 MPa$
5. Tresca võrdleb kahekordset suurimat nihet voolavuspiiriga:
  
  $σ_{T} = 2 τ_{abs} = 100 MPa, n = \frac{250}{100} = 2.50$
Vastus

Sein kannab rõngassuunas 100 MPa ja piki telge 50 MPa. Suurim nihe on 50 MPa, mõjudes läbi paksuse, mitte 25 MPa, mida näitab tasapinnaline ring. Tresca ohutustegur on seega 2,50. Ainult tasapinnalise ringi põhjal arvutades oleks see 5,00, mis on anuma tegelikust väärtusest kaks korda suurem.

$n = 2.50, \frac{250}{2 \cdot 25} = 5.00$

Õpitee

Kuhu koormus kandub

Allikad (2)

Where the circle comes from. Mohr published the graphical construction for the state of stress at a point in 1882: O. Mohr, "Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes." Zivilingenieur 28, 1882.
Where the two material values would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specification: ASTM A36 or EN 10025 S275 for structural steel, ASTM A48 for grey cast iron.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.