Kolmnurga keskpunktid ja Euleri sirge

Lohista mis tahes tippu. Neljast keskpunktist kolm ei lahku kunagi punaselt sirgelt ja neljas satub sellele ainult siis, kui kolmnurk on võrdhaarne.

Näidisarvutus — Kolmnurga keskpunktid ja Euleri sirge

Raskuskese G	(2,667, 1,667)
Ümberringjoone keskpunkt O	(3,000, 1,700)
Ortokese H	(2,000, 1,600)
Siseringjoone keskpunkt I	(2,491, 1,687)
HG : GO	2,000
I kaugus sirgest	0,0372

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kolmnurga keskpunktid ja Euleri sirge

Kolmnurga keskpunkt on punkt, mille määrab kolmnurk ise, mitte paberileht, kuhu see on joonistatud: liiguta, pööra või muuda kolmnurga suurust ja punkt järgneb sellele. Nelja neist loetakse klassikalisteks ja igaüks asub seal, kus lõikub üks kolmest sirgest koosnev pere. Mediaanid lõikuvad raskuskeskmes, külgede keskristsirged ümberringjoone keskpunktis, kõrgused ortokeskmes ja nurgapoolitajad siseringjoone keskpunktis. See, et need kolm sirget üldse lõikuvad, on igal mainitud neljal juhul omaette teoreem.

Mida iga sümbol tähendab

G: raskuskese, kolme tipu aritmeetiline keskmine ja punkt, millele toetudes püsib kolmnurk tasakaalus
O: ümberringjoone keskpunkt, mis asub kõigist kolmest tipust samal kaugusel ja on neid läbiva ringjoone keskpunkt
H: ortokese, kus lõikuvad kolm kõrgust; neljast keskpunktist ainus, millel pole päris oma ringjoont
I: siseringjoone keskpunkt, mis asub kõigist kolmest küljest samal kaugusel ja paikneb ainsana alati kolmnurga sees

Ei kehti, kui: Võrdkülgse kolmnurga korral – see on ainus erand, mille kohta pole sellel lehel midagi öelda. Kõik neli keskpunkti koonduvad samasse punkti, iga seda läbiv sirge sisaldab neid kõiki ja Euleri sirgeks ei ole ükski konkreetne joon. Leht trükib seal lihtsalt välja "sirge puudub", mitte ei hakka ühtegi sirget valima.

Kolm erinevat konstruktsiooni ja üks sirge 🖖

Raskuskese on kolme mediaani lõikepunkt. Ümberringjoone keskpunkt on kolme keskristsirge lõikepunkt. Ortokese on kolme kõrguse lõikepunkt. Need on kolm täiesti erinevat sirgete peret ning ükski neist kolmest definitsioonist ei viita teistele.

Lohista tippu kuhu soovid. Need kolm punkti liiguvad, aga jäävad alati ühele ja samale sirgele.

Raskuskese asub alati teise kahe vahel ning alati kindlas kohas: HG on täpselt kaks korda pikem kui GO. Rida HG : GO näitab alati 2,000, sõltumata lohistamisest. Euler arvutas selle välja 1763. aastal ja teadustöö ilmus 1767. aastal; sirge on sellest ajast saati tema nime kandnud.

Siseringjoone keskpunkt on kutsutud vaid siis, kui kaks külge on võrdsed 🖖

Neljas keskpunkt on nurgapoolitajate lõikepunkt. See on ainus, mis paikneb alati kolmnurga sees, mistõttu saab sinna kujundada siseringjoone, ja see on ainus, mida Euleri sirge ei läbi.

Enamasti vähemalt mitte. Alumisel graafikul on kujutatud siseringjoone keskpunkti kaugus sirgest, kui valitud tipp liigub külgsuunas. Sellel kolmnurgal, millega leht avaneb, puudutab kõver nulli viis korda. Iga selline puude tähistab kahe võrdse küljega kolmnurka: üks tekib siis, kui C asub täpselt AB keskpunkti kohal, kaks siis, kui CA kasvab sama pikaks kui AB, ja kaks siis, kui CB pikkus võrdsustub.

See ongi ainus tingimus. Võrdhaarsel kolmnurgal on sümmeetriatelg, kõik keskpunktid peavad asuma sellel ning Euleri sirge ongi see telg.

Täpselt 90° juures satub üks keskpunkt küljele ja teine tippu 🖖

Teravnurkses kolmnurgas püsivad kõik neli keskpunkti selle sees. Lükates ühe nurga üle 90°, lahkuvad kaks neist korraga – ümberringjoone keskpunkt ja ortokese – ning nad teevad seda vastaskülgedel.

Vahepealsel hetkel tasub peatuda. Vajuta nupule Täisnurkne. Rida Ümberringjoone keskpunkt O näitab koordinaate (2,000; 1,500), mis tähistab punktist (4; 0) punktini (0; 3) ulatuva hüpotenuusi keskpunkti. Rida Ortokese H näitab koordinaate (0,000; 0,000), mis on täisnurkne tipp ise. Üks asub küljel ja teine tipus, mõlemad samal hetkel kolmnurga piirdel.

Siseringjoone keskpunkt ei lahku aga kunagi. Kolmnurka mahtuva ringjoone keskpunkt ei saagi asuda kuskil mujal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Sirge, mida keegi ei joonistanud 6 sammu
Kolmnurga tipud on A = (0; 0), B = (6; 0) ja C = (2; 5). Leia nende definitsioonide põhjal raskuskese, ümberringjoone keskpunkt ja ortokese, näita, et need kolm asuvad samal sirgel, ning leia suhe, milles raskuskese jaotab teise kahe vahelist lõiku.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõigepealt raskuskese, sest see ei nõua geomeetriat. Mediaanid lõikuvad tippude aritmeetilises keskmises, seega G = ((0 + 6 + 2)/3; (0 + 0 + 5)/3) = (8/3; 5/3). Rida Raskuskese G näitab väärtust (2,667; 1,667).
  
  $G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 5}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$
2. Ümberringjoone keskpunkt asub kõigist kolmest tipust samal kaugusel. Kaugus tippudest A ja B paigutab selle horisontaalse lõigu keskristsirgele x = 3. Võrdne kaugus tippudest A ja C annab võrrandi 3² + y² = (3 − 2)² + (y − 5)² ning y² taandub mõlemalt poolelt välja: 9 = 1 + 25 − 10y, mis annab 10y = 17 ja y = 1,7. O = (3; 1,7) ja rida Ümberringjoone keskpunkt O kinnitab seda.
  
  $3^{2} + y^{2} = (3 - 2)^{2} + (y - 5)^{2} \Rightarrow 9 = 26 - 10 y \Rightarrow y = 1.7, O = (3, 1.7)$
3. Ortokese leidmiseks on vaja kaht kõrgust ja eelmise sammu tulemusi ei lähe tarvis. Tipust A tõmmatud kõrgus on risti küljega BC, mille suund on C − B = (−4; 5), seega rahuldab iga sellel asuv punkt võrrandit −4x + 5y = 0. Tipust B tõmmatud kõrgus on risti küljega AC suunaga (2; 5) ja läbib punkti (6; 0), seega 2(x − 6) + 5y = 0. Asendades y = 4x/5 teise võrrandisse, saame 2x − 12 + 4x = 0, kust x = 2 ja y = 1,6. H = (2; 1,6).
  
  $- 4 x + 5 y = 0, 2 (x - 6) + 5 y = 0 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow H = (2, 1.6)$
4. Nüüd aga väide. Punktist O punkti G kulgev vektor on (8/3 − 3; 5/3 − 17/10) = (−1/3; −1/30) ja punkti H kulgev vektor on (2 − 3; 1,6 − 1,7) = (−1; −1/10). Kaks vektorit on paralleelsed, kui nende vektorkorrutis annab nulli: (−1/3)(−1/10) − (−1/30)(−1) = 1/30 − 1/30 = 0. Tulemuseks on täpselt null ja seda murdude kujul, ilma igasuguse ümardamiseta.
  
  $(G - O) = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{30}), (H - O) = (- 1, - \frac{1}{10}), (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{10}) - (- \frac{1}{30}) (- 1) = 0$
5. Teine vektor on esimesest kolm korda pikem, seega on H punktist O kolm korda kaugemal kui G ning G asub nende vahel. See tähendab, et HG moodustab kaks osa ja GO ühe osa. Pikkuste kaudu avaldades GO = √(1/9 + 1/900) = √101/30 = 0,334996 ja HG = √(4/9 + 1/225) = √101/15 = 0,669992. Rida HG : GO näitab 2,000 ja √101 taandub välja, vältides ümardamist.
  
  $GO = \frac{101}{30}, H G = \frac{101}{15}, \frac{H G}{GO} = 2$
6. Neljas keskpunkt siin ei osale. Kui a = |BC| = √41, b = |CA| = √29 ja c = |AB| = 6, siis siseringjoone keskpunkt on (aA + bB + cC)/(a + b + c) = (2,491; 1,687). Rida I kaugus sirgest näitab 0,0372 – see on väike, aga mitte null. Lohistades tipu C sirgele x = 3, muutub hälve väärtuseks 0,0000, sest kolmnurk on siis võrdhaarne.
  
  $I = \frac{a A + b B + c C}{a + b + c}, a = 41, b = 29, c = 6 \Rightarrow I = (2.491, 1.687)$
Vastus

Täpselt 2, ja seda iga joonistatava kolmnurga puhul. Raskuskese ei asu lihtsalt kuskil ortokeset ja ümberringjoone keskpunkti ühendaval lõigul, vaid paikneb sellel alati täpselt kahe kolmandiku peal. Seda, miks see nii on, tööriist näidata ei saa, sest tipu lohistamine annab üksnes kinnituse, mitte tõestuse. Lühim tõestus võtab koordinaatide alguspunktiks ümberringjoone keskpunkti, nii et |A| = |B| = |C| = R, ja vaatleb ühtainsat punkti P = A + B + C. Siis P − A = B + C ning (B + C)·(C − B) = |C|² − |B|² = 0, mis tähendab, et P asub tipust A tõmmatud kõrgusel. Sama loogika alusel asub see ka teisel kahel kõrgusel, mis teeb punktist P ortokese. Raskuskese on aga P/3 ehk asub ühe kolmandiku kaugusel alguspunktist punkti P suunas, ja alguspunktiks oligi just ümberringjoone keskpunkt.

$H - O = 3 (G - O) ⟹ \frac{H G}{GO} = 2$

Allikad (3)

The paper the line is named after, in which Euler works out all four centres in coordinates and then notices that three of them are collinear: L. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum." Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11 (for 1765), printed 1767, pp. 103–123. Euler Archive E325; reprinted in Opera Omnia I.26, pp. 139–157.
The nine-point circle, the fifth point this page draws and the one with the longest list of claimants: K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks. Wiessner, Nürnberg, 1822.
A modern textbook treatment of the four centres and the line, at the level this page is pitched: H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited. Mathematical Association of America, New Mathematical Library 19, 1967, chapter 1.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.