Sirkli ja joonlauaga konstrueerimine

Vaid kaks tööriista ja ei midagi muud: joonlaud, millega saab tõmmata sirge läbi kahe punkti, ning sirkel, mis joonestab ringjoone ümber ühe punkti läbi teise. Uuri klassikalisi konstruktsioone samm-sammult, proovi järele, millised korrapärased hulknurgad ja trisektsioonid on võimalikud, või konstrueeri midagi ise. Joonise all olev tabel arvutab välja pikkused ja esitab algebralise tausta.

Näidisarvutus — Sirkli ja joonlauaga konstrueerimine

Sirkli tehteid	2
Joonlaua tehteid	1
Tehteid kokku	3
Mõlema ringjoone raadius	1,0000
Pikkus MA	0,5000
Pikkus MB	0,5000
Sirgetevaheline nurk	90,0000°
Suurim hälve täpsest	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sirkli ja joonlauaga konstrueerimine

Konstrueerimine tugineb kahele tehtele: sirge tõmbamisele läbi kahe juba leitud punkti ja ringjoone joonestamisele ümber leitud punkti läbi teise. Uued punktid tekivad sirgete ja ringjoonte lõikumiskohtades. Pikkus on konstrueeritav, kui teatud lõplik jada neist sammudest selle pikkuseni viib. Ühikpikkusest alustades on konstrueeritavad pikkused täpselt need, mis saadakse nelja aritmeetilise tehte ja ruutjuurte abil. Seega pole võimalik konstrueerida ühtegi pikkust, mis nõuab kuupjuurt või midagi keerulisemat.

Mida iga sümbol tähendab

n: korrapärase hulknurga külgede arv
φ(n): Euleri funktsioon, mis näitab, kui palju on arvude 1 ja n vahel täisarve, millel puudub n-iga ühine tegur peale 1
F_k: Fermat' algarv kujul 2^(2^k) + 1. Teada on vaid 3, 5, 17, 257 ja 65537
cos θ: pikkus, mis annab nurga θ. Nurga konstrueerimine ja selle arvu konstrueerimine on matemaatiliselt üks ja seesama probleem
deg: suuruse cos(360°/n) aste ratsionaalarvude üle, φ(n) ÷ 2. N-nurk on konstrueeritav parajasti siis, kui see on kahe aste

Gauss konstrueeris 17-nurga 18-aastaselt, 7-nurka ei suuda aga luua keegi 🖖

Klõpsa 17-nurk ja jälgi selle konstrueerimist: selles lahenduses on 41 ringjoont ja 30 sirget ning seitseteist tippu asetuvad üksteisest täpselt samale kaugusele viieteistkümne komakoha täpsusega. Carl Friedrich Gauss avastas 1796. aastal 18-aastasena, et see on võimalik, ja olevat legendi kohaselt soovinud seda ka oma hauakivile. Ta tõestas, et korrapärast n-nurka saab konstrueerida siis, kui n on kahe aste korrutatud erinevate Fermat' algarvudega (teadaolevad on 3, 5, 17, 257 ja 65537). Pierre Wantzel tõestas 1837. aastal, et ükski teine n ei sobi. Klõpsa Miks mitte 7-nurk. Seitse on küll algarv, kuid mitte Fermat' algarv, ja kokkuvolditud tabel loetleb kõik arvud n alates 3-st kuni 100-ni: neist vaid 24 on konstrueeritavad. Ka 9-nurka pole võimalik konstrueerida, kuna 3 esineb tegurina kaks korda.

90° nurga saab kolmeks jaotada viie käiguga, 60° nurka aga mitte kunagi 🖖

Klõpsa Jaota 90° kolmeks: 30° on võrdkülgse kolmnurga nurk ja viis tehet jagavad täisnurga kolmeks. Klõpsa nüüd Jaota 60° kolmeks. Kolmandik sellest on 20° ja cos 20° on kuupvõrrandi 8c³ − 6c − 1 = 0 lahend. Sirkli ja joonlauaga on võimalik luua vaid selliseid pikkusi, mis on saadavad nelja aritmeetilise tehte ja ruutjuurte abil. Ratsionaalsete kordajatega kuupvõrrandil, millel pole ratsionaalarvulisi lahendeid, puudub ka lahend, milleni saaks jõuda ruutjuurtega. Tabel kontrollib kõiki kaheksat ratsionaalarvulist kandidaati ja ükski neist ei toimi. Wantzel avaldas selle tõestuse samas 1837. aasta artiklis, lahendades probleemi, mille kreeklased olid kaheks tuhandeks aastaks lahtiseks jätnud. Siinsel lehel toodud nurkade seas, mis on 3° täisarvkordsed, saab nurka kolmeks jaotada parajasti siis, kui see on 9° kordne.

Sirkel, mis oma laiuse unustab, ei kaota midagi 🖖

Eukleidese kolmas postulaat lubab joonestada ringjoone ainult ümber ühe punkti läbi teise. See on sirkel, mis, nagu tänapäeval öeldakse, tõstmisel kohe kokku vajub, nii et sellega ei saa pikkust ühest kohast teise kanda. See tundub halvava piiranguna, kuid tema teine lause näitab vastupidist: igat pikkust saab sellegipoolest kopeerida, lisades vaid mõned ringjooned ja sirged. Ava Nurga kopeerimine ja vaheta jäiga ning kokkuvajuva sirkli vahel. Selles salvestises kulub jäigal sirklil täpselt sama tulemuseni jõudmiseks 3 ringjoont ja 1 sirge, kokkuvajuval aga 11 ringjoont ja 5 sirget. Kõike, mida saab konstrueerida ühe sirkliga, saab teha ka teisega. Unustav sirkel muudab iga konstruktsiooni lihtsalt pikemaks.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kuidas tekib viisnurga konstrueerimisel cos 72° 5 sammu
Sellel lehel kirjeldatud meetodiga on raadiusega 1 ringjoone sisse joonestatud korrapärane viisnurk: võta raadiuse OH₂ keskpunkt M, joonesta ringjoon ümber M-i läbi A, mis on algse ringjoone ülemine punkt, ja märgi selle lõikepunkt diameetriga kui N. Leia pikkus ON, cos 72° ja viisnurga külg. Klõpsa Korrapärane viisnurk, et vastust kontrollida.

Ava see ülesanne tööriistas
1. M on raadiuse keskpunkt, seega:
  
  $O M = \frac{1}{2}$
2. A on ringjoone kõrgeimas punktis, H₂ suhtes täisnurga all, nii et Pythagorase teoreem annab lõigu MA pikkuseks:
  
  $M A = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2} = 1.1180$
3. N asub ümber M-i joonestatud ringjoonel, mis läbib A-d, seega MN = MA ning N asub O suhtes kaugemal küljel:
  
  $O N = M N - O M = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 0.6180$
4. ON on korrapärase kümmenurga külg ja pool sellest on viisnurga kesknurga koosinus:
  
  $cos 7 2^{\circ} = \frac{O N}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090$
5. Viisnurga külg AN on täisnurkse kolmnurga OAN hüpotenuus:
  
  $A N = 1^{2} + O N^{2} = 1 + 0.3820 = 1.1756 = 2 sin 3 6^{\circ}$
Vastus

ON = 0,6180, cos 72° = 0,3090 = (√5 − 1) ÷ 4 ning viisnurga külg on 1,1756, mis on 2 sin 36°. Igal sammul kasutati vaid ringjoont, sirget ja ruutjuurt. See ongi peamine põhjus, miks viisnurka saab konstrueerida: selle koosinus nõuab vaid arvu √5 ja ei midagi keerulisemat.

$cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090, A N = 1.1756$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.