Kaared, trossid ja survejoon

Kaks tarindit, mis kannavad koormust samamoodi, üks puhtas tõmbes ja teine puhtas surves. Riputa tross ja vali, mida see kannab, või ehita kivikaar ning otsi survejoont, mis püsib selle sees. Joonise all olev tabel arvutab iga väärtuse välja.

Näidisarvutus — Kaared, trossid ja survejoon

Teki koormus	128,00 MN
Kaabli kaal	52,86 MN
Tõmbe paraboolne hinnang	200,50 MN
Horisontaaltõmme H	201,44 MN
Vertikaalreaktsioon toel	90,43 MN
Tõmme tugedel	220,80 MN
Kaabli pikkus	1321,48 m
Teki osa koormusest	70,8%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kaared, trossid ja survejoon

Survejoon on teekond, mida mööda survejõud läbi võlvi kulgeb: igas kividevahelises vuugis on see punkt, kus kõige kõrgemal asuva koormuse resultantjõud vuuki läbib. Tõmmet mittetaluvatest plokkidest koosnev võlv püsib püsti siis, kui mingi survejoon asub igal pool müüritise sees. See on Jacques Heymani ohutusteoreem ning iga punkt, kus survejoon puudutab välispinda, on potentsiaalne liigend. Kaabel on täpselt sama asi tõmbel. Selle kuju on koormuse köiskõver: parabool, kui koormus on jaotatud ühtlaselt piki sillet, ning aheljoon, kui koormus on jaotatud ühtlaselt piki kaablit ennast.

Mida iga sümbol tähendab

H: horisontaalne survejõud, võlvi puhul kN laiuse meetri kohta ja kaabli puhul kN. See on igas lõikes sama, sest miski ei suru küljelt
t: võlvi paksus. Leht leiab vähima paksuse, mis suudab veel survejoont mahutada
R: ringikujulise telgjoone raadius. Poolringi puhul on t ÷ R see arv, mida tuleb võrrelda Milankovići väärtusega 0,1075
w_d: koormus silde meetri kohta, näiteks sõidutekk. Üksi mõjudes riputab see kaabli paraboolikujuliseks
w_c: koormus kaabli meetri kohta, näiteks kaabli enda kaal. Üksi mõjudes riputab see kaabli aheljoonekujuliseks

Eeldab: Kivid ei talu vuugis tõmmet, on piisavalt suure survetugevusega, et mitte kunagi puruneda, ega saa üksteise suhtes libiseda. Need on Heymani kolm eeldust ja eelnev teine arutluskäik paneb neist keskmise proovile. Samuti käsitleb leht iga kivi absoluutselt jäigana ja laseb võlvil kanda vaid omaenda raskust. Kaablil puudub paindejäikus ja selle toed on samal kõrgusel.

Trossi rippumiskõvera määrab tekk, mitte tross ise 🖖

Vali Golden Gate'i mõõtu kaabel. Selle hälve paraboolist on 164,7 mm ja aheljoonest 407,7 mm, kusjuures ripp on 143 m. Vali Kaabel ilma tekita ja näed, et sama kaabel langeb kokku aheljoonega. Ainult omaenda raskust kandva keti koormus jaotub piki ketti ennast. Seetõttu on kett silde meetri kohta raskem seal, kus see on järsum, moodustades nii aheljoone. Kaabli külge riputatud teki koormus jaotub piki sillet ühtlaselt, tekitades parabooli. Galileo joonistas rippuva keti abil paraboole, ent kett annab vaid parabooli lähenduse; sellest loost räägib leht Hüperboolsed funktsioonid. Rippsilla puhul on parabool aga täpsem mudel. Need kaks kõverat on antud rippe korral teineteisest vaid 572,4 mm kaugusel ehk moodustavad 0,40% rippest. Seetõttu paistab ülemisel paneelil vaid üks joon, samas kui alumine peab erinevusi kuvama millimeetrites. Kui määrad kaabli rippeks poole sildest, on kõverate vahe 5%.

Õhuke kaar variseb ka siis, kui kivi on vaevalt koormatud 🖖

Vali Poolring, t/R 0,12. Survejoon püsib kivi sees ning kumbki võlvikand suunab oma poolvõlvi 94,25 kN laiuse meetri kohta otse alla 0,6 m kivile. See teeb keskmiselt 0,16 MPa, mis on vaid kaduvväike osa sellest, mida ükski ehituskivi suudab survel taluda. Vali Poolring, t/R 0,09 ja ükski survejoon ei sobitu enam: võlv avab liigendid laes, kannamikus ja kandades ning variseb kokku, ilma et ükski kivi puruneks. Võlv püsib või langeb puhtalt oma geomeetria tõttu. Vaikimisi 40 võlvikivi juures seab see leht poolringi piiriks t/R = 0,1075. Selle väärtuse tuletas Milutin Milanković oma survejoont käsitlevates töödes, mis ilmusid aastatel 1904 kuni 1910, ammu enne tema nime kandva jääaegade orbitaalteooria sündi. Survetugevus ei mängi siin rolli: kümme korda tugevam kivi variseb sama paksuse juures täpselt samamoodi.

Pööra rippuv kett tagurpidi ja kaar ei vaja peaaegu üldse paksust 🖖

Vali Õhuke aheljoonvõlv: 10 m silde juures on 0,1 m kivi ja see püsib. Seejärel vali Õhuke paraboolvõlv, millel on sama sille, tõus ja paksus, ning ükski survejoon ei sobitu enam. Aheljoon toimib seetõttu, et oma raskuse all rippuv kett on kogu pikkuses puhtalt tõmbel ja selle ümberpööramine muudab iga jõu piki sedasama joont surveks. Ümberpööratud aheljoone survejoon kulgeb otse kivi keskelt, mistõttu ei vaja see survejoone mahutamiseks paksust. Robert Hooke märkas seda 1675. aastal ja peitis teadmise anagrammi: nii nagu ripub painduv kett, seisab ümberpööratult ka jäik võlv. Gaudí projekteeris Colònia Güelli kiriku (millest ehitati valmis vaid krüpt) laua küljes rippuvate nööride ja väikeste haavlikottide abil ning keeras tehtud fotod lihtsalt tagurpidi. Võrdlustabel esitab kõik neli kuju. Kui tõus on pool sildest, osutub teravkaar poolringiks; parabool vajab paksust 0,1444 m ja poolring 0,5373 m.

Ülesanne täielikult lahendatud

Tõmbejõud rippsilla peakaablis 5 sammu
Peakaabli sille tornide vahel on 1 280 m ja ripp 143 m. See kannab tekki koormusega 100 kN silde meetri kohta ja kaabli enda kaal on 40 kN pikkuse meetri kohta. Hinda tõmbejõudu tornide juures ilma kõverat arvutamata. Seejärel vali Golden Gate'i mõõtu kaabel ja vaata, kui täpne see hinnang oli.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Käsitle kogu koormust nii, nagu oleks see jaotunud piki sillet ühtlaselt. See eeldab, et kaabel on 1 280 m pikk, kuigi päriselt see nii ei ole:
  
  $w \approx w_{d} + w_{c} = 100 + 40 = 140 kN/m, w L = 140 \cdot 1280 = 179.20 MN$
2. Piki sillet ühtlaselt jaotuv koormus riputab kaabli paraboolina, ja parabooli puhul tuleneb horisontaalne tõmbejõud poole kaabli ühest momendist torni suhtes:
  
  $H = \frac{w L ^{2}}{8 f} = \frac{140 \cdot 128 0 ^{2}}{8 \cdot 143} = 200.50 MN$
3. Kumbki torn kannab poolt kogukoormusest otse üles:
  
  $V = \frac{w L}{2} = 89.60 MN$
4. Torni juures tõmbab kaabel omaenese suunas ja see tõmbejõud liidab need kaks komponenti:
  
  $T = H^{2} + V^{2} = 200.5 0^{2} + 89.6 0^{2} = 219.61 MN$
5. Leht arvutab kõvera välja täpselt. Kaabel on 1 321,48 m pikk, seega on selle omakaal 51,20 asemel 52,86 MN ning tegelikud väärtused on veidi suuremad:
  
  $H = 201.44, V = 90.43, T = 220.80 MN$
Vastus

Parabooli järgi on see umbes 219,6 MN kummagi torni juures, täpse kõvera 220,80 MN vastu, olles seega 0,54% väiksem. Parabool annab hälbe seetõttu, et kaabel on sildest 3,2% pikem ja kaabli kaal moodustab koormusest 29%. Kaabli esmaseks dimensioneerimiseks sobib see sama hästi kui täpne vastus, nõudes vaid üht momenti ja üht ruutjuurt.

$\frac{220 . 80 - 219 . 61}{220 . 80} = 0 . 54%$

Õpitee

Kuhu koormus kandub

Allikad (5)

The paper that put the analysis of masonry on the footing this page uses: blocks that cannot take tension, cannot slide and are never crushed, and an arch that is safe if any line of thrust fits inside it: J. Heyman, "The stone skeleton." International Journal of Solids and Structures 2(2), 1966, pp. 249-279. DOI 10.1016/0020-7683(66)90018-7
Insight 2's figure t/R = 0.1075 is Milankovitch's, for radial joints, and this paper is the modern treatment of it. Its abstract gives 0.1075 for radial cuts and 0.1095 for vertical ones, which is why this page states which joints it uses: N. Makris and H. Alexakis, "The effect of stereotomy on the shape of the thrust-line and the minimum thickness of semicircular masonry arches." Archive of Applied Mechanics 83(10), 2013, pp. 1511-1533. DOI 10.1007/s00419-013-0763-4
That the astronomer of the ice ages is the same Milankovitch, and that his thrust-line papers date from 1904 to 1910: F. Foce, "Milankovitch's Theorie der Druckkurven: Good mechanics for masonry architecture." Nexus Network Journal, 2007, pp. 185-209. DOI 10.1007/978-3-7643-8699-3_3
The catenary itself, cosh and Galileo's mistake, are derived on another tool of this site rather than here: The hanging chain y = a cosh(x/a) and the 1638 story: see /math/hyperbolic on this site.
The Golden Gate-sized preset uses the bridge's span and sag and ESTIMATED loads — see the note: No source. The 1,280 m main span and a sag of about 143 m are the bridge's published dimensions, recalled; the 40 kN/m cable weight is derived from a recalled wire count and wire diameter; the 100 kN/m deck load is an estimate.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.