Erirelatiivsusteooria uurija

Lohista kiiruse liugurit, et näha, kuidas aeg, pikkus ja mass relativistlike kiiruste juures muutuvad.

Näidisarvutus — Erirelatiivsusteooria uurija

Pikkuse kontraktsiooni suhe	60%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Erirelatiivsusteooria uurija

Erirelatiivsusteooria tuleneb kahest korraga kehtivast väitest: füüsikaseadused on ühesugused igas konstantse kiirusega liikuvas taustsüsteemis ning valguse kiirus on üks neist seadustest. Kumbki väide ei maini kellasid ega joonlaudu. Kõik sellel lehel — venitatud aeg, lühenenud pikkus, kaldus teljed — on tagajärg keeldumisest kummastki väitest loobuda.

Mida iga sümbol tähendab

β: kiirus, väljendatuna murdosana valguse kiirusest. β = 0.8 on väärtus, mida tasub meeles pidada: √(1 − 0.8²) = 0.6 tuleb täpne, 3-4-5 kolmnurk, seega on γ täpselt 5/3 ning suhterea tulemuseks on puhas 60%.
γ: Lorentzi tegur. See on puhas arv — ilma oma ühikuteta —, mistõttu saab sama väärtus 1.6667 rakenduda samas paneelis sekunditele, meetritele ja kilogrammidele ilma neid omavahel teisendamata.
t₀: omaaeg: ajavahemik, mis loetakse välja ühelt kellalt, mis viibib mõlema sündmuse juures — ränduri enda käekellalt. Alaindeks ei tähenda algset. See tähendab mõõdetud seal, kus keha on puhkeolekus, ning selle tõlgendamine "ajaks alguses" on kõige sagedasem viis, kuidas seda valemit tagurpidi rakendatakse.
L₀: omapikkus: mõõdetud taustsüsteemis, kus keha seisab paigal. Liikuva keha pikkuse mõõtmine tähendab aga selle mõlema otsa märgistamist samal hetkel — ja samaaegsus on täpselt see, mille suhtes kaks taustsüsteemi eriarvamusele jäävad, mistõttu kontraktsioon tekibki.

Kust valem tuleb

Ehita valgusest kell: kaks peeglit vahekaugusel d, valgusimpulss nende vahel edasi-tagasi põrkamas. Puhkeolekus on üks tiks edasi-tagasi teekond, t₀ = 2d/c.
Lase nüüd selsamal kellal endast kiirusega v mööda triivida. Peeglid liiguvad impulsi lennu ajal külgsuunas, seega teekond, mida sina näed, pole vahemaa d, vaid pikem diagonaal — ning impulss läbib selle ikka kiirusega c, sest teine postulaat ei tee liikuvatele taskulampidele erandeid.
Diagonaal, peeglite vahemaa ja külgsuunaline nihe moodustavad täisnurkse kolmnurga, seega (c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)². Asenda 1. sammust d = c·t₀/2.
Kogu kokku liikmed Δt²: Δt²(c² − v²) = c²t₀², seega Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀. Kella materjali kohta ei eeldatud midagi — mispärast kehtib sama tegur nii müüoni lagunemisele kui ka impulsile peeglite vahel, ning väärtusel β = 0.8 on see ülal trükitud 1.6667 s.

Kuidas nähtut lugeda

Aegruumi diagrammil on 45° all asuv oranž katkendjoon valguse teekond. Sinu teljed on sinine paar; ränduri x' ja ct' on roheline paar ning need kalduvad eri pooltelt sama nurga all selle 45° joone poole — nagu valguskoonusele sulguvad käärid, mis seda kunagi ei ületa. Jälgi, mis juhtub pikkusega: puhkepikkus L₀ on joonistatud piki ränduri enda x'-telge ning kontraheerunud L on selle vari sinu x-teljel. Midagi ei suruta kokku; lõik on projekteeritud teise nurga all olevale joonlauale. Kahvatu punane hüperbool läbi sündmuse on kalibreerimiskõver — iga punkt sellel on alguspunktist sama omaaja kaugusel, mis võimaldabki võrrelda kriipse kahe taustsüsteemi vahel, mille teljed on erinevas skaalas.

Eeldab: Vaid inertsiaalsüsteemid: üks konstantne suhteline kiirus, ilma kiirenduse ja gravitatsioonita. Siin on vaid üks β ning puudub võimalus ümber pöörata, seega ei saa kaksikute paradoksi sellel lehel tegelikult püstitada — tagasitee on see osa, mis rikub kahe vaatleja vahelise sümmeetria, ning tagasiteed siin ei ole.
Ei kehti, kui: Rida relativistlik mass on jäänuk selle teema vanemast käsitlusviisist ja tasub teada, et tegevfüüsikud on sellest loobunud. Massi käsitletakse tänapäeval invariantse suurusena; tegur γ kuulub impulsile, p = γm₀v, mitte kehale endale. Põhjus on konkreetne: lükka liikuvat keha selle liikumissuunas ja selle takistus on γ³m₀, lükka seda külgsuunas ja see on γm₀. Üks keha, kaks erinevat "massi", olenevalt sellest, mis suunas sa lükkad — nii et ülal trükitud 1.6667 kg on vaid arvestuslik abivahend, mitte raskem keha.

Kiirused ei liitu, kiirsused liituvad 🖖

Sea β = 0,5 ja Minkowski vahekaart kallutab liikuva süsteemi telgi nurga arctan β = 26,57° võrra. Rakenda sama tõuget aga kaks korda ja sa ei jõua väärtuseni β = 1: kiirused liituvad kujul (0,5 + 0,5)/(1 + 0,25) = 0,8 täpselt — seda saad kontrollida, seades β = 0,8 ja lugedes γ = 1,6667. Liitub hoopis kiirsus ψ = artanh β, suurus, millest selle diagrammi kalle on ehitatud: artanh 0,5 = 0,5493, kahekordselt 1,0986 ja tanh 1,0986 = 0,8. Kiirsus on tõuke hüperboolne nurk, nii et tõuked liituvad lihtsa liitmisega nagu pöörded — ja ükski lõplik hulk neist ei jõua kunagi valguse kiiruseni c.

Miks Lorentzi tegur γ kõike juhib 🖖

Kogu tööriist keerleb ühe arvu ümber: Lorentzi tegur γ = 1/√(1−β²), kus β = v/c. Jalutuskiirusel on γ ≈ 1, nii et relatiivsus jääb varju; kui v läheneb valguse kiirusele c, kasvab γ piiritult. Kui v = 0.87c, siis γ = 2 — liikuvad kellad tiksuvad poole aeglasemalt ja pikkused kahanevad poole võrra. Kuna c nõuaks γ = ∞, ei jõua sinnani ükski massiga keha: hinnaks oleks lõpmatu energia.

Kiire keha paistab pööratuna, mitte lapikuna 🖖

Pikkuse kontraktsioon on see, mida mõõdad, mitte see, mida näed. Kuna keha kaugemalt küljelt lähtub valgus varem kui lähemalt küljelt, jäädvustab mööda kihutava keha foto ta näiliselt pööratuna, mitte lapikuna — kera säilitab ümara piirjoone. See Terrelli–Penrose'i pööre jäi 54 aastaks märkamatuks, kuni James Terrell ja Roger Penrose selle 1959. aastal teineteisest sõltumatult avastasid.

Pikkuse kontraktsioon leiutati eetri päästmiseks 🖖

1889. aastal saatis George FitzGerald ajakirjale Science ühe lõigu pikkuse kirja, pakkudes välja, et läbi eetri liikuv keha lüheneb füüsiliselt oma liikumise suunas — täpselt selle teguri võrra, mida see leht kuvab kujul L/L₀. Lorentz jõudis samale tegurile iseseisvalt. Mõlemad päästsid eetrit Michelsoni–Morley eksperimendi nulltulemuse käest: kui aparatuur kontraheerub täpselt õigel määral, ei suuda see oma liikumist läbi keskkonna tuvastada. Einsteini 1905. aasta artikkel tuletas identse arvu kahest postulaadist ilma eetrita. Väärtusel β = 0.8 on see mõlemal juhul 0.6 — rehkendus ei muutunud kunagi, muutus vaid see, mille kohta rehkendus käib: mitte vastutuulest kokkusurutud aine, vaid kaks vaatlejat, kes lõikavad aegruumi eri nurkade all. Tegur kannab endiselt Lorentzi nime.

Kõige olulisem efekt on see, mida sa siin ei näe 🖖

Müüoni eelseadistus on see leht oma kõige veenvamal kujul: β = 0.9992 annab tulemuseks γ = 25.005, venitades müüoni 2.2 µs eluea väärtuseni 5.501 × 10⁻⁵ s ning õhendades atmosfääri 650 m paksusest 25.995 m paksuseni, mispärast osakesed, mis peaksid lagunema kõrgel üleval, jõuavad selle asemel maapinnani. Seda dilatatsiooni on mõõdetud otseselt CERN-i salvestusrõngas tiirlevatel müüonitel. Rahaga seotud juhtum on aga siin nähtamatu: laadi GPS-i eelseadistus ning paneelil kuvatakse γ = 1 ja Δt = 86400 s, sest satelliidi β väärtusega umbes 10⁻⁵ viib kogu efekti allapoole viit tüvenumbrit. Sellegipoolest on see reaalne — orbitaalkiiruse tõttu kaotab satelliidi kell umbes 7 µs päevas, gravitatsioon annab juurde umbes 45 µs ning summaarse korrektsiooni tegemata jätmine nihutaks asukohamäärangu iga päev umbes 11 km võrra paigast. Vaid esimene neist kolmest arvust on erirelatiivsusteooria.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Väärtusel β = 0.8 näitab pikkuse kontraktsiooni suhe täpselt 60%. Proovi β = 0.6, siis β = 0.28, siis β = 0.96 — ja seejärel β = 0.5, et näha, miks see käitub teisiti.

Näita vastust

0.6 annab 80%, 0.28 annab 96% ja 0.96 annab 28%: paarid vahetavad kohad. Suhe on 1/γ = √(1 − β²), seega β² + (1/γ)² = 1 — kiirus ja kontraktsioon on täisnurkse kolmnurga kaks kaatetit hüpotenuusiga 1, ja see seos ei tee vahet, kumb kaatet kumb on. Ümmargused vastused ilmuvad seetõttu täpselt seal, kus on Pythagorase kolmik: (3, 4, 5) annab paari 0.6/0.8 ja (7, 24, 25) annab 0.28/0.96. β = 0.5 ei kuulu ühessegi kolmikusse, nii et see näitab 86.603%, mis on √3/2.
Eelseade GPS-satelliit töötab väärtusel β = 0.0000133, mis on tõeline orbiidikiirus. γ näitab 1, aeglustunud aeg näitab 1 s, lühenenud pikkus näitab 1 m, suhe näitab 100% — iga relativistlik mõju on ümardatud olematuks. Kineetiline energia näitab siiski 7.949×10⁶ J. Milline näit valetab?

Näita vastust

Mitte ükski. Kineetilise energia rida on ainus, mis korrutatakse c²-ga, seega ainus, kus ülejääk ellu jääb: γ − 1 on 8.845×10⁻¹¹, üheksa osa sajast miljardist, ja rida asendabki täpselt selle, mitte ümardatud γ. Korrutatuna c² = 8.99×10¹⁶-ga annab see 7.9 megadžauli kilogrammi kohta. Kontrolli Newtoni järgi: eelseade orbiidikiirus on 3987.2 m/s ja ½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J, sama arv. Orbiidikiirustel on relatiivsus pikkustes mõõtmatu ja energiates möödapääsmatu, ning kogu vahe seisneb selles, kui suur on c².

Ülesanne täielikult lahendatud

0,8 c juures 60 cm pikkune meetripuu 5 sammu
Kiirusel 0,8c on meetrise joonlaua pikkus 60 cm. Tuleta see tulemus ning leia seejärel, kui palju alahindab sama objekti puhul Newtoni kineetiline energia.
1. Kõik tuleneb ühest tegurist. Kiirusel 0,8c on ruutjuure väärtus täpselt 0,6 — see on üks väheseid kiirusi, kus arvutus on lihtne, mistõttu kasutatakse seda õpikutes.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. Pikkus lüheneb selle teguri pöördväärtuse võrra, seega ei ole 60% ligikaudne väärtus; see on täpselt 3/5.
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. Seda tegurit tasub tabelisse kanda, sest selle kulg väljendab kogu teema olemust. Kuni poole valguskiiruseni muutub see vaevalt, seejärel aga tõuseb järsult: 2,29 kiirusel 0,9c, 7,09 kiirusel 0,99c, 22,4 kiirusel 0,999c.
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. Praktiline tagajärg avaldub just kineetilises energias. Relativistlik avaldis ei ole ½mv² koos külge poogitud parandusega; see on koguenergia ülejääk seisuenergiast.
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. Kiirusel 0,8c on see 0,667mc² võrreldes Newtoni 0,32mc²-ga.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
Vastus

Tööriist kuvab pikkuse kontraktsiooni suhteks 60%. Arv, mida paneel ei kuva, puudutab energiat: Newtoni arvutus jääb sellel kiirusel alla teguri 2,08 võrra ning see erinevus divergeerub koos teguriga. Sestap kirjeldatakse osakestekiirendeid pigem energia kui kiiruse kaudu — seade võib kahekordistada prootoni energia ning muuta selle kiiruse 0,99c-lt 0,997c-le, mis kõlab tühisena, kuid ongi kogu täiustus. Nihuta liugur väärtusele 0,999c ning jälgi, kuidas pikkuse suhe langeb väärtuseni 4,471%, samal ajal kui kiirus muutub alles kolmandas komakohas.

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

Allikad (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-14

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Müüon (0.9c) - Müüon kiirusel 0.9c: γ=2.29, aeg aeglustub
GPS-satelliit - GPS-satelliit: väike, kuid mõõdetav ajadilatatsioon
Pool c-st - Pool valguse kiirusest: γ=1.155
0.99c - 0.99c: γ=7.09, dramaatilised efektid