Talade läbipainde kalkulaator

Vali tala tüüp ja koormus, et näha läbipainde kõverat ning paindemomendi ja põikjõu diagramme.

Näidisarvutus — Talade läbipainde kalkulaator

R_A	5 kN
R_B	5 kN
M_max	12,5 kN·m
δ_max	15,631 mm

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Talade läbipainde kalkulaator

Tala jäikus ei ole tala omadus. Koorma sama lauda samamoodi ja vastus muutub ligi viiskümmend korda — sõltuvalt üksnes sellest, kuidas selle otsad kinni on. Just seepärast vajub raamaturiiul keskelt ja rõdu otsast. Rajatingimused on selle kinnihoidmise ametlik nimi, ja nende valimine ongi suurem osa sellest, mida konstruktsioonide arvutus tähendab.

Mida iga sümbol tähendab

EI: paindejäikus — materjali jäikus korda ristlõike inertsimoment. See on tala enda panus ja ainus osa vastusest, mida toed ei puuduta.
y′: läbipainde joone kalle. See, kas tugi lubab seda, ongi kogu vahe liigendi ja jäiga kinnituse vahel — ja see üksainus eristus tekitab enamiku rippmenüüst.
δ_max: suurim läbipaine kogu sildeavas — pealkirjaks olev arv, ja see, mida põranda kasutajad tegelikult jalge all tunnevad.
L/δ: sildeava jagatud suurima läbipaindega. Normid on kirjutatud selles suhtes, mitte millimeetrites, sest 10 mm vajumist on 12 m peal nähtamatu ja 1 m peal ärevust tekitav.

Kust valem tuleb

Kirjuta põhivõrrand üks kord välja, sest neid on ainult üks. Ühtlaselt jaotatud koormust w(x) kandva tala kohta kehtib EI·d⁴y/dx⁴ = w(x). Pane tähele, mida seal ei ole: mitte sõnagi liigenditest, jäikadest kinnitustest, tugedest ega konsoolidest. Neli korda integreerides saad y(x) ja neli integreerimiskonstanti. Kõik, mida toe valik teeb, on nende nelja arvu paikapanek.
Küsi siis, mida tugi üldse suudab — nimekiri on lühike. Ta võib takistada otsa liikumist, takistada pöördumist, mõlemat või mitte kumbagi. Liigend hoiab otsa paigal, kuid laseb sel vabalt pöörduda: y = 0 ja moment null. Jäik kinnitus hoiab paigal ja keelab pöördumise: y = 0 ja y′ = 0. Vaba ots ei hoia midagi tagasi — moment null ja põikjõud null. Iga kaheksast rippmenüü kirjest on paar sellest sõnavarast, ja ei midagi muud.
Nüüd hind. Ära muuda midagi muud — need 1000 N/m 5 m terase peal, millega see leht algab — ja muuda ainult otsi. Kahel liigendil vajub tala 4,885 mm. Kinnita mõlemad otsad jäigalt ja seesama tala vajub 0,977 mm: täpselt viis korda jäigem, sest 5wL⁴/384EI on saanud wL⁴/384EI-ks. Võta üks tugi hoopis ära ja konsool langeb 46,894 mm — nelikümmend kaheksa korda rohkem kui jäigalt kinnitatuna. Talale endale ei lisatud kordagi midagi.
Läbipainet märkad; moment murrab. Kahel liigendil tala kannab otstes momenti null ja keskel wL²/8 — leht trükib 3,125 kN·m. Kinnita otsad jäigalt ja nad suudavad ise momenti kanda, seega langeb tipp väärtusele wL²/12 ehk 2,083 kN·m ning kolib keskelt tugede juurde välja. Tala ei muutunud tugevamaks. Nõudlus jaotati ümber materjalile, mis seni midagi ei teinud.
Jääb ilmne küsimus: miks mitte kõik jäigalt kinnitada? Loenda tundmatud. Staatika annab kolm võrrandit, seega tala, mille toed annavad täpselt kolm reaktsiooni, on staatiliselt määratud — reaktsioonid tulenevad ainuüksi tasakaalust ja miski muu ei saa neid muuta. Neljas reaktsioon teeb ta staatiliselt määramatuks: jäigem, madalam, kergem — ja sellest hetkest on talal arvamus selle kohta, kui teda liigutatakse. Sellise tehingu teeb toestatud juhtum, ja sedasama tehingut teeb pidev sillatala iga samba kohal, mille ta ületab.

Kuidas nähtut lugeda

Kolm paneeli põhjuslikus järjekorras üksteise peal — koormatud tala koos tugedega, joonistatuna nii, nagu need tegelikult käituvad, siis põikjõud, siis moment — ja toetüübi vahetamine joonistab kõik kolm korraga ümber, mis on kiireim viis näha, et koormus ise ei muutunud kunagi. All on reaktsioonid, suurim moment, suurim läbipaine ja sildeava-läbipainde suhe. Just seda viimast rida projekteerija loeb: tavaline kasutuspiirseisundi piir on L/250, kahel liigendil juhtum ületab selle siin umbes neljakordselt, ja konsool umbes väärtusega L/107 on ainus konfiguratsioon sellel lehel, mis sellest üle läheb.

Eeldab: Euler–Bernoulli talateooria — tasapinnalised ristlõiked jäävad tasapinnaliseks, seega nihkedeformatsiooni ei arvestata; läbipainded piisavalt väikesed, et kõverust saaks kirjutada kujul y″; lineaarselt elastne materjal tublisti allpool voolavuspiiri; ja kogu sildeava ulatuses muutumatu ristlõige. Ja ennekõike, selle õppetüki jaoks: ideaalsed toed. Hõõrdevaba liigend ja lõpmatu pöördejäikusega kinnitus.
Ei kehti, kui: Just selle viimase eelduse juures lahkub mudel maailmast, ja märkavad seda staatiliselt määramatud juhtumid. Jäik kinnitus on täpselt nii jäik, kui jäik on see, mille külge ta kinnitatud on; tegelikel liidetel on lõplik pöördejäikus ja nad satuvad kuhugi 4,885 mm ja 0,977 mm vahele, mida see leht pakub eraldi valikutena. Sügavam lõhe on see, et see leht lahendab etteantud koormuse jaoks — staatiliselt määramatut tala saab aga pingestada etteantud siirdega, ilma igasuguse koormuseta. Lase jäigalt kinnitatud tala ühel toel vajuda kolm millimeetrit, või jäta mõlemad otsad poltidega kinni, samal ajal kui teras pärastlõunapäikeses soojeneb, ja tekivad moment ning pikijõud, mida tasakaal ette ei ütle ja mida siin lehel miski ei joonista. Staatiliselt määratud tala kahel liigendil kehitab lihtsalt õlgu ja liigub. Just seepärast toetub sillatee libisevatele laagritele ja kohtub maatugega hammastatud paisumisvuugi kaudu: insener ostab tagasi liikuvuse, mille jäik kinnitus ära võttis, ja maksab selle eest läbipaindega.

Tasapinnalised ristlõiked jäävad tasaseks, kuni tala läheb lühikeseks 🖖

Euler-Bernoulli tala teooria eeldab, et tasapinnalised ristlõiked jäävad ka pärast paindumist tasapinnaliseks. See kehtib hästi, kui tala pikkus ≫ kõrgus. Nihkedeformatsioon, mida teooria eirab, muutub oluliseks kõrgetel või lühikestel taladel — sel juhul kasutatakse selle asemel Timošenko tala teooriat.

Kolm diagrammi, üks põhjuse-tagajärje ahel 🖖

Tööriist kuvab kolm diagrammi üksteise all, sest need on ühe loo seotud sammud: koormus tekitab nihkejõu, nihkejõud koguneb paindemomendiks ja moment kõverdab tala tema paindejooneks. Iga diagramm on sisuliselt ülalasuva jooksev summa. Kasulik tagajärg: paindemoment on suurim just seal, kus nihkejõud läbib nulli — ja seal on tala kõige rohkem koormatud.

Galilei eksis esimese talaülesandega 🖖

Galilei püstitas konsooltala tugevuse ülesande oma 1638. aasta teoses Kaks uut teadust, mis on talateooria alustekst — kuid eeldas, et ristlõike iga kiud tõmbub ühtviisi. Ta ei märganud, et ühe poole kiud venivad ja teise poole omad surutakse kokku, pöörledes ümber neutraaltelje. Tema mudel ülehindas paindetugevust umbes kolm korda ja kulus ligi sajand, enne kui Parent ning hiljem Euler ja Bernoulli vea parandasid.

Ülesanded täielikult lahendatud

5 m vabalt toetatud terastala, mis kannab 10 kN sildeava keskel 5 sammu
5 m pikkune vabalt toetatud terastala, mille silde keskele mõjub 10 kN koormus. Leidke toereaktsioonid, paindemoment ja läbipaine — ning kontrollige seda seejärel piirangu suhtes, mis tegelikult projekteerimist määrab.
1. Staatika lahendab sümmeetria. Koormus asub silde keskel, seega kannab kumbki tugi sellest poole ja lisaks sellele tähelepanekule pole ühtegi võrrandit vaja.
  
  $\sum M = 0 ⟹ R_{A} = R_{B} = \frac{P}{2} = 5 kN$
2. Maksimaalne moment on koormuse kohal, kus kumbki toereaktsioon on mõjunud üle poole silde. Valem PL/4 tasub pähe õppida: see on vabalt toetatud tala koondkoormuse juhtum, millega kõiki teisi juhtumeid võrreldakse.
  
  $M_{m a x} = R_{A} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{4} = \frac{10 \times 5}{4} = 12.5 kN m$
3. Läbipainde jaoks on vaja tala jäikust, mitte ainult koormust. Mängu tuleb kaks omadust — materjal läbi E ja kuju läbi I — ning need tulevad mängu ainult korrutisena, mistõttu jäigem sulam ja kõrgem ristlõige on siin üksteisega asendatavad.
  
  $δ_{m a x} = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = \frac{1 0 ^{4} \times 5 ^{3}}{48 \times 200 \times 1 0 ^{9} \times 8.33 \times 1 0 ^{- 6}}$
4. Väärtuste asendamine annab tulemuseks 15,631 mm. Pange tähele, kus asub sille: kuubis. Läbipaine on pikkuse suhtes palju tundlikum kui ühegi teise avaldises oleva suuruse suhtes.
  
  $= \frac{1.25 \times 1 0 ^{6}}{7.997 \times 1 0 ^{7}} = 0.015631 m = 15.631 mm$
5. Nüüd kontroll, mis otsustab projekteerimise. Kasutuspiirseisundi piirangud esitatakse tavaliselt kujul sille jagatud 360-ga, mis 5 m puhul on 13,89 mm.
  
  $\frac{L}{360} = \frac{5000}{360} = 13.89 mm < 15.631 mm$
Vastus

Tööriist kuvab kumbagi toe jaoks 5 kN, momendiks 12,5 kN·m ja läbipaindeks 15,631 mm. See viimane näitaja ei täida L/360 kasutuspiirseisundi piirangut 13,89 mm — kuigi tala pole voolavuspiirile lähedalgi. See ongi asi, millega konstruktsioonide kursused algavad ja millele intuitsioon vastu puikleb: talad mõõdistatakse tavaliselt selle järgi, kui palju need liiguvad, mitte selle järgi, kui lähedal need on purunemisele. Silduse kuup on põhjus, miks see nii on. Võtke seesama tala pikkusega 10 m ja läbipaine ei kahekordu, vaid suureneb kaheksakordselt 125 mm-ni, ega ükski tugevusvaru siin ei aita.

$δ = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = 15.631 mm > \frac{L}{360} = 13.89 mm$
Tala läbipaine 15,631 mm võrreldes kasutuspiirseisundiga 13,89 mm 6 sammu
Paneel ütleb, et see tala vajub 15,631 mm ja kasutuspiirseisundi piir L/360 on 13,89 mm — kaheksandiku võrra üle. Ehitaja järgmine küsimus on, kui palju suuremaks peab tala minema, ja vastus on palju väiksem, kui ületus arvata laseb.
1. Võta nende kahe arvu suhe, mis niigi paneelil on. Tala on 1,1254 korda painduvam, kui piir lubab.
  
  $\frac{δ _{m a x}}{L /360} = \frac{15.631}{13.89} = 1.1254$
2. Läbipaine on pöördvõrdeline inertsimomendiga, ja ristkülikul kannab see suurus kõrgust kuubis, laius aga siseneb ainult ühekordselt. Kaks mõõdet ei ole vahetatavad.
  
  $I = \frac{b d ^{3}}{12} ⟹ δ \propto \frac{1}{I} \propto d^{- 3}$
3. Seda järeldust tasub enne kasutamist eraldi välja öelda: kahekordista kõrgus ja vajumine langeb kaheksa korda, mitte kaks.
  
  $d \to 2 d : δ \to \frac{δ}{2 ^{3}} = \frac{δ}{8}$
4. Niisiis pööra kuup ümber. Läbipainde jagamiseks 1,1254-ga tuleb kõrgus korrutada sama arvu kuupjuurega.
  
  $(\frac{d}{d ^{'}})^{3} = \frac{1}{1.1254} ⟹ \frac{d ^{'}}{d} = 1.125 4^{1/3} = 1.0402$
5. Neli protsenti. 300 mm talast saab 312 mm ja tala, mis läbi kukkus, läbib.
6. Nüüd alternatiivi hind. Laiuse kaudu lahendamine tähendab tervet 1,1254 — kolm korda rohkem lisamaterjali samade säästetud millimeetrite eest.
  
  $\frac{d ^{'}}{d} - 1 = 0.0402, \frac{b ^{'}}{b} - 1 = 0.1254$
Vastus

4 % kõrgem tala parandab 12,5 % ületuse; 12,5 % laiem teeb sama töö kolmekordse lisamaterjali eest. Just seepärast on põrandatalad kõrged, servale seatud ristkülikud, mitte ruudud ega lapiti pandud plangud: üks millimeeter kõrgust on väärt kolme millimeetrit laiust, ja kuup on põhjus, miks sama laud tundub servale pandult põrandana ja lapiti hüppelauana.

$δ \propto d^{- 3} : δ \times 1.1254 ⟺ d \times 1.0402 ⟺ b \times 1.1254$

Allikad (2)

The lesson — where the support-case coefficients (5/384, 1/384, 1/8) are tabulated: W. C. Young, R. G. Budynas and A. M. Sadegh, Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th edition, ch. 8 — beams; flexure of straight bars. McGraw-Hill, 2012. ISBN 978-0-07-174247-4.
The shear correction this tool's first block says Euler–Bernoulli leaves out: S. P. Timoshenko, "On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars." Philosophical Magazine Series 6, 41, 744–746, 1921.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-18

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Keskkoormus - Koondkoormus keskel maksab 15,631 mm läbipainet ja 12,5 kN·m momenti, kumbki tugi kannab 5 kN.
Konsoolots - Ühest otsast vaba: ots vajub 27,011 mm — suhe L/111,07.
Sild ühtlase koormusega - Ühtlaselt jaotatuna vajub seesama tala 78,156 mm, neist neljast kõige halvem.
Eikeskne koormus - Keskkohast eemal on leebem kui keskel: 13,437 mm, reaktsioonid jagunevad 6,67 kN ja 3,33 kN.