Staatiliselt määramatu sõrestik ja liigne varras

Riputa koormus kolme või kahe varda külge. Vali materjalid ja ristlõikepindalad, soojenda varrast või lase toel vajuda ning suurenda koormust, kuni vardad hakkavad voolama. Joonise all olev tabel arvutab samas järjekorras, nagu teeksid seda käsitsi.

Näidisarvutus — Staatiliselt määramatu sõrestik ja liigne varras

Määramatuse aste	1
Keskmise varda jäikus	50,000 kN/mm
Äärmise varda jäikus	35,355 kN/mm
Sõlme jäikus K_xx	35,355 kN/mm
Sõlme jäikus K_xy	0,000 kN/mm
Sõlme jäikus K_yy	85,355 kN/mm
Koormusvektor R_x	0,000 kN
Koormusvektor R_y	+150,000 kN

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Staatiliselt määramatu sõrestik ja liigne varras

Konstruktsioon on staatiliselt määratav, kui ainuüksi tasakaaluvõrrandid määravad kõik selle sisejõud, ja staatiliselt määramatu, kui tundmatuid sisejõude on rohkem kui võrrandeid. See ülejääk on määramatuse aste ning igat liigset elementi nimetatakse liigseks. Puuduolevad võrrandid saadakse siirete ühilduvusest. Elemendid on omavahel ühendatud, seega peavad nende pikenemised sobituma sõlme ühise siirdega. Elastse elemendi pikenemine on sellele mõjuv jõud jagatud jäikusega k = EA ÷ L, millele liidetakse ainuüksi temperatuurimuutusest tulenev pikenemine. Just nii kaasatakse arvutustesse materjalide omadused, mida staatika üksi ei suudaks lahendada.

Mida iga sümbol tähendab

k: varda pikijäikus, EA ÷ L, ühikutes kN ühe mm kohta. See on jõud, mis kulub varda pikendamiseks ühe millimeetri võrra
Δ: varda pikenemine selle pikkuse sihis, millimeetrites. Siirete ühilduvus käsitleb just neid suurusi
N_y: varda voolavusjõud, mille leiab ristlõikepindala korrutamisel voolavuspiiriga. Varras ei suuda kanda sellest suuremat jõudu, olenemata pikenemisest
P_y: koormus, mille juures hakkab voolama esimene varras. See sõltub jäikustest ja algpingetest
P_c: purunemiskoormus, mille saavutamisel hakkavad voolama ka seni elastsed vardad. Selle leiab ainuüksi staatika abil

Ei kehti, kui: Eeldatakse, et vardad jätkavad pikenemist ka pärast voolavuspiiri saavutamist. Pehme teras teebki seda, ületades oma voolavusdeformatsiooni mitmekordselt, mis võimaldab esimeses plokis kirjeldatud varu ära kasutada. Malmvarras või mis tahes habras varras, mis puruneb kohe esimese voolamise lähedal, ei jaga koormust ümber. Selliste materjalide puhul on purunemiskoormus võrdne esimese voolamise koormusega, täpselt nagu kahevardalises sõrestikus.

Eemalda keskmine varras ja esimene voolamine ongi purunemine 🖖

Vajuta Teras, kolm varrast ja suurenda koormust. Keskmine varras hakkab esimesena voolama koormusel 213,39 kN ning midagi ei kuku kokku. See kannab oma pikenemise ajal endiselt 125 kN. Kaks äärmist varrast võtavad vastu iga lisanduva kilonjuutoni ja sõrestik puruneb alles koormusel 301,78 kN. Nüüd vajuta Keskvarras eemaldatud. Mõlemad vardad jõuavad voolavuspiirini üheaegselt koormusel 176,78 kN ja pole enam kolmandat varrast, kellele koormust üle anda. 45° nurga all asuvate võrdsete varraste puhul on kolmevardalise sõrestiku purunemiskoormus täpselt √2 korda suurem selle esimese voolamise koormusest, mida varu rida näitab kui 1,414. Kolmevardalises sõrestikus on varda voolamine hoiatus; kahevardalises sõrestikus on see aga lõpp.

Soe pärastlõuna tekitab koormamata sõrestikus 19,88 kN sisejõu 🖖

Vajuta Soojendatud, koormuseta. Koormust ei rakendata ja keskmine varras on teistest 40 K soojem. Vabalt olles pikeneks see 0,960 mm. Äärmised vardad ei lase sõlmel nii kaugele langeda. Seetõttu surutakse keskmine varras 19,88 kN jõuga kokku ja kumbagi äärmist varrast tõmmatakse 14,06 kN jõuga veel enne, kui sõrestiku külge on midagi riputatud. Seejärel vajuta Kaks varrast, üks soe. Rakendame sama 40 K kahevardalise sõrestiku ühele vardale. Iga varras kannab nii soojalt kui ka külmalt 106,07 kN, mis kattub viimase numbrini. Kaks võrrandit määrasid need kaks jõudu ja temperatuur ei esine kummaski. Sõlm lihtsalt liigub. Just see on esimese ploki varu hind. Staatiliselt määramatu konstruktsiooni sisejõud sõltuvad selle jäikusest, temperatuurist ja tugede vajumisest. Staatiliselt määratava konstruktsiooni sisejõud sõltuvad aga ainult koormusest ja geomeetriast. Kaks rööbiti ühendatud takistit põrkuvad juba samale piirangule. Jäävusseadus ütleb, et nende voolud liituvad, ja ainult takistused määravad, kuidas vool jaguneb. Kirchhoffi lehel olev Wheatstone'i sild on vooluahel, kus ei ole jäänud ühtegi jada- ega rööpühenduse otseteed, mille taha seda varjata.

Soojus nihutab esimese voolamise hetke, kuid jätab purunemise endiseks 🖖

Hoia kolm varrast alles ja muuda temperatuuri seadistust. Jahuta keskmist varrast 100 K võrra. Selles tekib tõmbepinge juba enne koormuse rakendamist, mistõttu hakkab see esimesena voolama koormusel 128,54 kN. Soojenda seda 100 K võrra. Koormus peab enne varda pikenemist ületama survejõu. See nihutab esimese voolamise edasi väärtuseni 298,24 kN. Purunemiskoormus on mõlemal juhul 301,78 kN ja see jääb selliseks igal nupust muudetaval temperatuuril ja vajumisel, eeldusel, et midagi muud ei muudeta. Vertikaalse koormuse all on purunemisel kõik kolm varrast saavutanud oma voolavusjõu hoolimata sellest, kuidas nad sinna jõudsid. Pelgalt staatika määrab koormuse, mis neid tasakaalustab. Algsed pinged otsustavad, millal hakkab voolama esimene varras, kuid ei oma mingit mõju konstruktsiooni purunemishetkele. Seetõttu saabki plastse terasraami projekteerida purunemisele, ilma et keegi teaks pingeid, mis tekkisid paigaldamise ja tugede vajumise käigus. See eeldab aga vardaid, mis suudavad pärast voolavuspiiri saavutamist märkimisväärselt pikeneda. Haprast materjalist varras, mis katkeb kohe esimesel voolamisel, võtab varu endaga kaasa.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kolm varrast rippuva koormuse all 7 sammu
Kolme 500 mm² terasvarda küljes ripub 150 kN koormus. Üks vertikaalne varras on 2 m pikk ja kaks paiknevad 45° nurga all selle mõlemal küljel. Kõik on kinnitatud sama tala külge. Leia iga varda sisejõud, koormus, mille juures hakkab voolama esimene varras, ja koormus, mille juures kogu sõrestik puruneb. Võta väärtusteks E = 200 GPa ja voolavuspiiriks 250 MPa. Arvude kontrollimiseks vajuta Teras, kolm varrast.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõigepealt staatika. Sümmeetria tõttu on kaks äärmist jõudu võrdsed. Seega on horisontaalse tasakaalu tingimus iseenesest täidetud ja järele jääb vaid vertikaalne võrrand. Selles on kaks tundmatut:
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. Kolmas võrrand kirjeldab siirete ühilduvust. Olgu sõlme vajumine v. Keskmine varras pikeneb v võrra. Kumbki äärmine varras pikeneb selle osa võrra v-st, mis langeb varda sihile:
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. Iga varda jäikus on EA ÷ L. Äärmised vardad on √2 korda pikemad ja seega järeleandlikumad:
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. Sõlme vertikaalne jäikus liidab keskmise varda jäikuse kahe äärmise varda vertikaalsele osale, mis määrabki vajumise:
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. Korruta iga jäikus vastava varda pikenemisega. Need kaks jõudu rahuldavad vertikaalset tasakaaluvõrrandit, mis on ühtlasi arvutuse kontroll:
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. Iga jõud on võrdeline koormusega seni, kuni vardad jäävad elastseks. Keskmine varras saavutab esimesena oma voolavusjõu 500 mm² × 250 MPa = 125 kN. Seega suurenda koormust, kuni see saavutatakse:
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. Pärast seda kannab keskmine varras 125 kN. Äärmised vardad võtavad kogu ülejäänud koormuse, kuni ka nemad saavutavad 125 kN. Nüüd, kus kõik sisejõud on teada, annab vertikaalne tasakaal purunemiskoormuse:
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
Vastus

Keskmine varras kannab 87,87 kN ja kumbki äärmine varras 43,93 kN. Keskmine varras hakkab esimesena voolama koormusel 213,39 kN ja kogu sõrestik annab järele alles väärtusel 301,78 kN. Pane tähele, millistes sammudes läks vaja jäikusi. Nende abil jagati 150 kN koormust ja arvutati esimene voolamiskoormus sammudes 2 kuni 5. Purunemiskoormuse jaoks jäikusi ei vajatud. Samm 7 on sama mis sammu 1 võrrand olukorras, kus iga varras on saavutanud voolavusjõu, ning E ei esine seal kuskil.

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

Õpitee

Kuhu koormus kandub

Allikad (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.