Kirchhoffi seadused ja Wheatstone'i sild

Lisa toiteallikas, neli õlga ja detektor. See leht lahendab silla ainsal võimalikul viisil: kahe sõlmvõrrandi abil. Näitame, mida detektor loeb, kus asub tasakaalupunkt ja miks toiteallikas ega detektor seda ei mõjuta.

Näidisarvutus — Kirchhoffi seadused ja Wheatstone'i sild

Potentsiaal punktis C sealsest sõlmvõrrandist	6,6667 V
Potentsiaal punktis D sealsest sõlmvõrrandist	6,6667 V
Pinge detektoril	0,0000 mV
Voolutugevus detektoris	0 A
Kaugus tasakaalust (R₁R₄ − R₂R₃)	0,00
Vajalik takistus R₄	300,0000 Ω
Toiteallika vool	0,055556 A
Arvesse võtmata vool kahes sõlmes	5,90 × 10⁻¹⁷ A

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kirchhoffi seadused ja Wheatstone'i sild

Kaks jäävusseadust ja neist tuleneb kõik sellel lehel nähtu. Kirchhoffi vooluseadus ütleb, et sõlme sisenevate voolude summa on võrdne sealt väljuvate voolude summaga, sest laeng ei kogune kuhugi. Kirchhoffi pingeseadus ütleb, et pingelanguste summa igas suletud kontuuris on null, sest alguspunkti tagasi toodud laeng pole energiat juurde saanud. Kui rakendada neid vooluringile, millel on n tundmatut sõlmepotentsiaali, annavad need n võrrandit. Sellest piisab vooluringi kujust sõltumata. Wheatstone'i sild on väikseim vooluring, kus neid seadusi vaja läheb. Selles on neli õlga toiteallika ja keskel asuva detektori vahel ning sild on tasakaalus, kui R₁/R₂ = R₃/R₄.

Mida iga sümbol tähendab

E: toitepinge voltides. See määrab kõik vooluringi voolud, kuid tasakaalutingimuses seda ei esine
V_C: vasakpoolse keskpunkti potentsiaal voltides. Üks kahest tundmatust ja sealne sõlmvõrrand on üks kahest võrrandist
V_D: parempoolse keskpunkti potentsiaal. Teine tundmatu
I_g: detektori vool amprites. See on positiivne suunal C-st D-sse. Tasakaalu korral on vool alati null
R_g: detektori enda takistus oomides. See mõjutab voolu suurust tasakaalust väljas silla korral, kuid ei muuda tasakaalupunkti asukohta

Eeldab: Eeldame ideaalseid juhtmeid, lineaarset takistust, stabiilset alalisvoolu ja toiteallikat ilma igasuguse sisetakistuseta. Eelmine leht pühendas terve oma pikkuse just selle viimase ümberlükkamisele. Siin on see eeldus aga kahjutu täpselt sellel põhjusel, millest see leht räägibki. Sisetakistus on toiteallikaga jadamisi, muudab iga voolu vooluringis, kuid ei nihuta tasakaalupunkti vähimalgi määral. Detektorit käsitletakse tavalise takistina. Pöördpooliga galvanomeeter seda ka on, kuid kaasaegne elektrooniline mõõdik mitte.
Ei kehti, kui: Eeldused ei kehti vahelduvvoolu korral, kus õlal on lisaks aktiivtakistusele ka reaktiivtakistus ning tasakaal vajab ühe tingimuse asemel kahte: amplituudi ja faasi. Selleks on olemas impedantsisild. Samuti ei kehti eeldused mittelineaarsete elementide korral. Dioodil või lambi hõõgniidil puudub üks kindel takistus, mida suhtesse panna. Lisaks tasub täpsuse koha pealt mainida veel üht asja. Silla mõõtmistulemus on täpselt nii hea, kui head on selle kolm teadaolevat õlga, sest R₃ = R₁R₄/R₂ pärib nende kõigi kolme vead. Detektor ei panusta täpsusesse üldse. See peab suutma vaid eristada nulli nullist erinevast väärtusest. Sellist seadet on palju lihtsam ehitada kui täpset mõõteriista.

Viis takistit ja mitte ükski paar pole jadaühenduses 🖖

Kõik kolmel eelmisel lehel õpitu pannakse nüüd proovile. Vaata vooluringi. Sõlmes C on kolm juhet: R₁, R₂ ja detektor. Jadaühenduse jaoks on vaja sõlme, mida miski muu ei puuduta. Seega R₁ ja R₂ ei ole jadaühenduses. Sama kehtib sõlme D kohta. Ükski nendest viiest takistist ei jaga ka mõlemat otsa, mistõttu pole siin ka rööpühendusi. Ühendamisreeglitega pole siin midagi peale hakata. Nüüd vajuta Detektor eemaldatud. Ilma galvanomeetrita on sõlmes C kaks juhet ning tööriist teatab kohe ühendustest R₁+R₂ ja R₃+R₄. Silda ei saa lihtsustada just nimelt detektori tõttu ja täpselt seetõttu see sinna pannaksegi. Töö teevad siin ära hoopis kaks jäävusseadust (laengu jäävus sõlmes ja energia jäävus kontuuris) ning kaks võrrandit kahe tundmatuga.

Null jääb nulliks sõltumata patarei tegevusest 🖖

Vajuta Tasakaalus ja loe allolevast tabelist detektori veergu. See on null nii 1 V kui ka 100 V juures, samuti nii 5 Ω kui ka 500 Ω detektoriga. Järgmise veeru toitevool kasvab neis samas kuues reas väärtuselt 0,005556 A väärtuseni 0,555556 A. See on sajakordne erinevus, kuid nullpunkt ei liigu paigast. Just see muudabki silla mõõteriistaks, mitte pelgalt arvutuseks. Nullnäidust taanduvad välja kaks kõige raskemini määratavat suurust: kui palju toiteallikas tegelikult voolu annab ja kui palju mõõtur ise vooluringi koormab. Oommeeter peab teadma neid mõlemaid ja on täpselt nii hea, kui täpselt ta neid tunneb.

Määrav on vaid suhe, seega vali sobivad õlad 🖖

Tasakaalu tingimus on R₁/R₂ = R₃/R₄ ja see ei sõltu nelja takistuse muudest omadustest. Vajuta Tasakaalus ja seejärel Kümme korda suuremad õlad. Takistused R₁ ja R₂ kasvavad väärtustelt 100 ja 200 Ω väärtusteni 1 000 ja 2 000. Detektor näitab endiselt 0 A ning toitevool langeb 0,055556 A pealt 0,025556 A peale. Tulemuseks on sama mõõtmine, kuid vool on vähem kui pool varasemast. Selleks ongi suhteõlg vajalik. Saad valida paari, mis sobib sinu saadaoleva voolu või talutava soojenemisega, ning tundmatu suurus on ikka täpselt sama.

Ülesanne täielikult lahendatud

Takisti mõõtmine, mille väärtust ei saa lugeda 6 sammu
R₃ on tundmatu. R₁ = 100 Ω ja R₂ = 200 Ω on etalonid täpsusega 0,01% ning R₄ on takistussalv, mida reguleerid seni, kuni detektori näit on null. Tasakaal saavutatakse väärtusel R₄ = 300,0000 Ω. Leia R₃ ja hinda, kui täpselt sa seda tead.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Tasakaalu korral ei läbi detektorit vool, seega on punktide C ja D potentsiaalid võrdsed. See on ainuke tõsiasi, mida kogu meetod vajab.
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. Kui vool ei läbi takistust R_g, moodustavad R₁ ja R₂ lihtsa kahe takistiga pingejaguri, samuti teevad seda R₃ ja R₄. Kummagi keskpunkti potentsiaal saadakse, kui toitepinge korrutatakse alumise õla takistusega ning jagatakse kogu haru takistusega.
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. Võrdsusta mõlemad keskpunktid ja toitepinge taandub kohe mõlemalt poolelt.
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. Korruta risti läbi ja see taandub paaride korrutiseks: R₁R₄ = R₂R₃.
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. Seega R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300,0000 ÷ 200 = 150,0000 Ω. Vaata uuesti, mis selles reas kirjas on. Kolm takistust ja ei midagi muud. Ei mingit toitepinget, ei mingit detektori takistust ega voolu.
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. Nüüd täpsusest, millest õpikutes sageli mööda vaadatakse. Suhtelised vead liituvad korrutamisel ja jagamisel, seega kannab R₃ kõigi kolme teadaoleva õla vigu ja mitte ühtegi detektori oma.
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
Vastus

R₃ = 150,0000 Ω, täpsusega umbes 0,03%. Kolm etaloni on igaüks täpsusega 0,01% ja halvimail juhul nende suhtelised vead liituvad. Detektor ei lisa siia midagi, sest sellelt ei küsitud kordagi arvu, vaid ainult nulli ja nullist erineva väärtuse eristamist. See on kompromiss, millele kogu mõõteriist on ehitatud. Just seetõttu on sild poolteist sajandit ületanud kõiki otseseid mõõtmismeetodeid. On palju lihtsam ehitada seade, mis suudab tuvastada voolu puudumise, kui seade, mis suudab täpselt öelda, kui suur see vool on.

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

Õpitee

Mida Ohmi seadus ei arvesta

Allikad (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.