Lineaarvõrrandisüsteemid

Muuda kordajaid ja jälgi sirgete liikumist. Nende lõikepunkt ongi lahendus. Allpool olev determinant näitab juba enne arvutamist, kas neil on täpselt üks ühispunkt.

Näidisarvutus — Lineaarvõrrandisüsteemid

Lahend	2
Determinant	−3
Sirgetevaheline nurk	71,565°
Kui palju vastus muutub	1,41 iga a₁ ühiku kohta

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lineaarvõrrandisüsteemid202 sõna

Kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit kirjeldavad kahte sirget. Nende lahendamine tähendab lõikepunkti leidmist. See, kui hästi antud punkt on määratud, on selle olemasolust aga täiesti eraldiseisev küsimus ja seda mõõdetakse omaette arvuga.

Mida iga sümbol tähendab

Δ: determinant a₁b₂ − a₂b₁. Null tähendab paralleelsust, nullist erinev väärtus annab täpselt ühe lõikepunkti.
κ: tingimusarv. See mõõdab, kui palju võib vastus kordajate väikese kõikumise korral nihkuda. Erinevalt determinandist Δ ei muutu see aga siis, kui korrutate võrrandi 10-ga läbi.

Eeldab: Eeldatakse, et kordajad on täpsed. Kui need pärinevad mõõtmistest, pärib lõikepunkt nende määramatuse ja võimendab seda.
Ei kehti, kui: Determinant näitab, kas lahend on olemas. See ei ütle, kui palju seda usaldada. See ei saakski seda teha, sest ühe võrrandi korrutamine 10-ga suurendab determinanti Δ 10 korda, jättes geomeetria täiesti muutmata. Tingimusarv teeb seda, mida Δ ei suuda. Selle lehe seadistuses Peaaegu paralleelsed on tingimusarv 312. Sisuliselt annab see veale vabad käed: 0,1% suhteline viga mistahes neljast kordajast võib jõuda lõikepunkti ligikaudu 31% veana. Ühegi silla projekteerimisel ei lepiks keegi sellise ebatäpsusega. Ometi on see varjatud nii determinandis, algebras kui ka lahendis endas. Järgmises sammus kohtame sama suurust uuesti rohkemate ridadega. Seal on selle arvu otsustada, kas arvutuskäigul on üldse mingit mõtet.

Üks arv määrab, kas ainus lõikepunkt üldse leidub 🖖

Enne lahendama asumist arvuta a₁b₂ − a₂b₁. Kui väärtus erineb nullist, lõikuvad sirged täpselt ühes punktis ja lahend on ühene. Nulli korral on sirged paralleelsed ja siis otsustavad vaid vabaliikmed, kas see tähendab, et lahend puudub või sobib lahendiks iga punkt sirgel. Proovi kolme eelseadistust ja jälgi determinanti: −3, siis 0 ning uuesti 0, ent teistsuguse järeldusega. See on seesama determinant, mis juhib lehekülje edasisi maatriksitööriistu: seesama küsimus kahe suuna tegeliku erinevuse kohta, esitatuna vähimal kujul, kus seda üldse küsida saab.

Väike determinant pole väike probleem 🖖

Vajuta nupule Peaaegu paralleelsed. Determinant on −0,02, mistõttu eksisteerib üks lõikepunkt ja algebra leiab selle probleemideta: (−146, 300). Vaata nüüd tundlikkuse näitu. Kordaja a₁ muutmine 0,01 võrra nihutab lõikepunkti umbes 108 võrra, mis teeb muutumise kiiruseks 10 767 ühe ühiku kohta. Arvutuskäik on täiesti õige. Probleem on selles, et tulemus sõltub kordajatest ebamõistlikult palju. Kui algandmed pärinevad mõõtmistest, ei tähenda selline vastus peaaegu midagi. Väikese nurga all lõikuvatel sirgetel on matemaatiliselt täiesti kindel ja samas täiesti kasutu lõikepunkt. Ükski lahenduskäigu samm seda ei paljasta. Seda teeb ainult determinant.

Elimineerimine on üks lubatud tehe, mida rakendatakse kaks korda 🖖

Graafiku all toodud sammud ei tee kunagi midagi uut. Võrrandi korrutamine arvuga säilitab kõik lahendid, sest saad selle alati tagasi jagada. Ühe võrrandi lahutamine teisest säilitab samuti lahendid. Iga arvupaar, mis rahuldab mõlemat, rahuldab ka nende vahet. Selles kogu meetod seisnebki. Tehnikaks teeb selle aga korrutajate valimine nii, et üks tundmatu koonduks. See valik põhineb puhtalt aritmeetikal, mitte intuitsioonil: korrutades esimese rea b₂-ga ja teise b₁-ga, muutuvad y liikmed oma ehituselt identseteks. Samad kaks sammu kolme tundmatu korral on Gaussi elimineerimismeetod. Iga lineaarvõrrandite lahendaja maailmas teeb n tundmatuga siiani täpselt sedasama.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks kohvi ja kook, mis maksavad 8, kui kohv maksab 1 võrra rohkem 7 sammu
Kaks kohvi ja kook maksavad kokku 8. Üks kohv miinus üks kook on 1 (kohv on koogist 1 võrra kallim). Kui palju kumbki maksab? Kui usaldusväärne oleks see vastus, kui hinnad loeti häguselt kviitungilt?
1. Pane mõlemad faktid kirja sama kahe tundmatuga. Nende kahe võrrandi õigesti koostamine ongi mudeldamine. Kõik edasine on puhas mehaanika.
  
  $2 x + y = 8, x - y = 1$
2. Enne lahendamist kontrolli determinanti. See ei ole null. Järelikult leidub täpselt üks lahendus ja seda tasub otsida.
  
  $D = (2) (- 1) - (1) (1) = - 3 \neq = 0$
3. Elimineeri y. Korruta teine võrrand arvuga 1 ja liida need kokku. Sama tulemuse annab esimese võrrandi korrutamine arvuga −1 ja seejärel lahutamine. Liikmed y-ga on algusest peale seatud taanduma.
  
  $(2 x + y) + (x - y) = 8 + 1 \Rightarrow 3 x = 9$
4. Kohvi eest kolm. Koogi hinna saamiseks asenda see kumba tahes võrrandisse. Kontrollimiseks kasuta aga TEIST võrrandit. Äsja kasutatud võrrandisse asendamine ei tõesta midagi.
  
  $x = 3 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow 2 (3) + 2 = 8 ✓$
5. Tuleme tagasi kviitungi juurde. Oletame, et teise võrrandi sisestamisel tehti viga ja koogi kordaja on −1 asemel 0,49. Determinant langeb väärtuselt −3 väärtusele −0,02.
  
  $D = (2) (0.49) - (1) (1) = - 0.02$
6. Lahendus on endiselt ühene ja asub nüüd punktis (−146, 300). Kohv maksab seega −146. Algebra ei kurtnud kordagi. Tal puudub selleks võimalus.
  
  $(x, y) = (- 146, 300)$
7. Siin lõpebki puhas algebra. Negatiivne hind on aritmeetika viis öelda, et vale on mudel, mitte kohv. Programm annab selle vastuse rõõmsalt ette. Determinant hoiatab sind esimesena vaikselt. Lahendusmeetod ise ei tea, et hinnad ei saa olla negatiivsed.
  
  $x < 0 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Vastus

Kohv 3, kook 2. Determinant on −3, seega on üks lõikepunkt ja mõlemad algsed võrrandid peavad paika. Nihuta üht kordajat paralleelsuse suunas ja sama meetod tagastab ilma nurinata vastuse −146. Just seetõttu tasub determinanti lugeda enne vastust, mitte pärast seda.
Kaks paralleelset sirget ja kui lähedale nad lahenduvusele jõuavad 6 sammu
2x + y = 8 ja 4x + 2y = 10. Determinant on 0, mis ei ütle, kumb kahest nulldeterminandi otsusest kehtib. Leia, kumb see on, ja otsusta seejärel, kui lähedale see süsteem lahenduvusele jõuab.
1. Determinant on null, seega üht lõikepunkti ei ole. Rohkem ta öelda ei saa: nii paralleelsed ja erinevad sirged kui ka kaks korda kirjutatud sama sirge annavad nulli.
  
  $D = (2) (2) - (4) (1) = 0$
2. Elimineeri ikkagi ja vastus tuleb. Skaleeri esimene võrrand teisega sobitamiseks 2-ga, lahuta, ja järelejäänus ei ole ühtki tundmatut. Diagrammi all olevad sammud trükivad selle kujul 0x + 0y = 6, ja 0 ei ole 6.
  
  $4 x + 2 y = 16, 4 x + 2 y = 10 ⟹ 0 x + 0 y = 6$
3. Suhtarvud ütlevad sama ilma igasuguse arvutamiseta. Kaks vasakut poolt on suhtes 1 : 2 ja kaks vabaliiget ei ole, seega on sirgetel ühine suund ja erinev asukoht.
  
  $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{2} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{8}{10}$
4. Kui kaugel nad on? Jaga teine võrrand 2-ga ja mõlemad sirged kannavad identset vasakut poolt, seega on vahe vabaliikmete vahe jagatuna kordajapaari pikkusega.
  
  $2 x + y = 8, 2 x + y = 5 : d = \frac{∣8 - 5∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$
5. See tõstab üles küsimuse, mille ees tööriist peatub. Kui ükski punkt ei rahulda mõlemat, siis milline punkt jõuab kõige lähemale? Minimeeri kaks jäägiruutu koos. Kirjutades u avaldise 2x + y jaoks, on teine jääk igal u väärtusel esimesest kaks korda suurem, seega loeb ta neli korda raskemalt, ja miinimum maandub kohal u = 5,6, mitte poole peal 6,5.
  
  $u = 2 x + y : u min (u - 8)^{2} + 4 (u - 5)^{2} ⟹ 10 u = 56 ⟹ u = 5.6$
6. See on hoiatus vähimruutude, mitte nende kahe sirge kohta. Vastus liikus sellepärast, et teine võrrand oli kirjutatud suuremate arvudega, mitte sellepärast, et ta oleks parem tõend. Skaleeri kumbki võrrand nii, et selle kordajapaari pikkus on 1, ja lähim punkt asub täpselt poole peal, 0,671 kummastki sirgest.
  
  $\frac{2 x + y}{5} = \frac{8}{5}, \frac{5}{5} ⟹ u = 6.5, \frac{1}{2} (1.342) = 0.671$
Vastus

Lahendit ei ole, ja kaks sirget on 1,342 kaugusel. Determinant ütleb, et lõikepunkt on kadunud; vabaliikmed ütlevad, kummale poole ta läks. Punkt, mis jõuab mõlemale kõige lähemale, sõltub sellest, kuidas võrrandid juhtumisi kirjutatud on: antud kujul maandub vähimruutude lahend sirgele 2x + y = 5,6, ja alles pärast mõlema normeerimist jääb ta poole peale 6,5 juurde.

$d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$

Õpitee

Tundmatu x leidmine miinusmärgist alates

Viib edasi Kolm või enam korraga liitmisvõtte ja determinandi.

Allikad (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-26

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Üks lõikepunkt - Sirged 2x + y = 8 ja x − y = 1 lõikuvad punktis (3, 2). Determinant on −3, seega nullist piisavalt kaugel. Kordaja muutmine 0,01 võrra nihutab lõikepunkti ühe ühiku kohta umbes 1,4.
Paralleelsed, lahendita - Teine võrrand on esimese kahekordne, ainult vabaliige erineb. Determinant on 0 ja sirged ei kohtu kunagi. Ükski algebra reegel ei leia punkti, mida pole olemas.
Kaks korda sama sirge - Nüüd on ka vabaliige kahekordistatud. Teine võrrand ei anna seega mingit uut teavet. Sama determinant ja samad paralleelsed sirged, kuid vastupidine järeldus. Lahendiks sobib sirge iga punkt.
Peaaegu paralleelsed - Determinant on 0 asemel −0,02. Sirgetel on endiselt täpselt üks lõikepunkt asukohaga (−146, 300). Kordaja a₁ muutmine 0,01 võrra nihutab seda punkti umbes 108 ühikut, mis teeb kiiruseks 10 767 ühe ühiku kohta. Vastus on korrektselt leitud, aga sisuliselt väärtusetu.