Valemite teisendamine

Tee vastandtehteid ükshaaval, kuni soovitud täht jääb üksi. Vabaneda saab vaid kõige välimisest tehtest: jagades a-ga enne u lahutamist, jagaksid läbi ka u.

Näidisarvutus — Valemite teisendamine

Vajalikud sammud	2
Arvud klapivad	4 vs 4 ✓

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Valemite teisendamine310 sõna

Tähe avaldamine tähendab sellise samaväärse valemi koostamist, kus antud täht seisab ühel poolel täiesti üksi. Selle võimalikkus taandub kahele pealtnäha sarnasele küsimusele. Kas eesmärgini viib see konkreetne meetod? Või suudab seda saavutada üldse miski?

Mida iga sümbol tähendab

subject: täht, mida soovid eraldada. Valitud täht muudab ülesande raskusastet täielikult. Valemist ei sõltu siin midagi, küll aga algebrast.
±: paarisarvulise juurijaga juure tagastatav tulemus. Kaks võimalikku lahendit. Ainuüksi algebra abil pole nende vahel võimalik valida.

Eeldab: Eeldab, et iga tehet sinu ja otsitava vahel saab väljast sissepoole liikudes ükshaaval tagasi võtta. See kehtib täpselt siis, kui otsitav täht esineb valemis üheainsa korra.
Ei kehti, kui: See põhimõte murdub kahes täiesti erinevas kohas. Nende kahe olukorra eristamine ongi kõige tähtsam. Meetod ammendab end kohe, kui täht esineb valemis mitu korda. Kuju s = ut + ½at² nurjab astmelise lahtiharutamise ning seda kinnitab ka antud lehekülg. Ometi on see valem muutuja t suhtes ruutvõrrand. Hoopis teine meetod lahendab selle täpselt. Kui u = 3, a = 2 ja s = 20, on vastuseks t = 3.216991. Tagasiasetamisel saame tulemuseks täpselt 20,000000. Siin pole midagi lahendamatut. Lahtiharutamine on lihtsalt vale lähenemine. Kepleri valemis M = E − e sin E aga hakkab võrrand ise vastu. Tundmatu E seisab seal nii omaette kui ka siinuse sees. Seega ei suuda ükski lõplik algebraliste tehete jada suurustega M ja e seda kunagi eraldada. Olukord pole siiski tupikus. Lagrange ja Bessel esitavad lahendusena rea ning kordajate jaoks leiutatigi Besseli funktsioonid. Real on aga selle asemel piir. See koondub ainult ekstsentrilisuse väärtustel, mis jäävad alla Laplace'i piiri 0.662743419349. Halley komeet oma näitajaga e = 0.967 jääb sellest kaugele välja. Seega on aus vastus valemi ümberkujundamise võimalikkuse kohta kolmetasandiline. Antud meetod ei aita, kuid teine lahendab olukorra. Ükski valemi pööramine ei aita, ent rida suudab. Ning real on alati oma kindel ulatus.

Valem on viisakamate tähtedega võrrand 🖖

Tähe t avaldamine valemist v = u + at käib nii: lahuta u mõlemalt poolelt, jaga mõlemad pooled a-ga. Võrrandi 3x + 4 = 10 lahendamine on: lahuta 4 mõlemalt poolelt, jaga mõlemad pooled 3-ga. Samad kaks sammu, samas järjekorras ja samal põhjusel. Sa pöörad avaldise koostamise tehteid tagurpidi, alustades kõige välimisest tehtest. See ongi ainus, mida peab teadma. Just seepärast pole valemite teisendamiseks eraldi reeglite nimekirja. Tähed loovad teistsuguse tunde, sest tee peal ei taandu miski üheks arvuks. Nii jääbki vastus avaldiseks, mitte kindlaks väärtuseks.

Ruudust vabanemine annab kaks vastust, jättes valiku lahtiseks 🖖

Vajuta A = πr² ja avalda r. Tööriist väljastab ±√(A / π) ja mõtleb seda tõsiselt. Mõlemad väärtused annavad ruutu tõstetuna sama pindala. Algebra on teinud kõik võimaliku ja jätnud sulle kaks kandidaati. Negatiivsest juurest loobumine on tõdemus ringide kohta: raadiused ei ole negatiivsed. See ei ole lahenduskäigu samm. Füüsikaülesannetes hoitakse sarnases olukorras tihti alles mõlemad juured. Visatud keha asub antud kõrgusel kahel ajahetkel. Varasem neist pole enamasti otsitud vastus, kuid on sellegipoolest reaalne. Algebra ei suuda neid olukordi eristada. Sina suudad.

Kui täht esineb kaks korda, siis meetod ammendub 🖖

Vajuta s = ut + ½at² ja püüa avaldada t. Tööriist keeldub. Valemi lahtiharutamine käib nii, et tehteid pööratakse väljastpoolt ükshaaval ümber. Tähe saab sel viisil eraldada vaid siis, kui seda on valemis täpselt üks. Kaks esinemiskorda ja harutamisel puudub siht. See konkreetne valem on ruutvõrrand t suhtes ja lahendub ruutvõrrandi lahendivalemiga. See on aga hoopis teine tehnika. Ka vastuse kuju on erinev: ühe avaldise asemel on kaks juurt. Väga paljusid valemeid ei saagi kinnisel kujul ümber järjestada. Aus tööriist ütleb otse, millise juhuga on tegemist, mitte ei paku midagi enesekindlat ja valet.

Ülesanded täielikult lahendatud

Raadius, kui ringi pindala on 78,54 cm² 7 sammu
Ringi pindala on 78,54 cm². Leia raadius. Ütle täpselt, kus lõppeb algebra ja algab sinu mõttetöö.
1. Alusta etteantud valemist. A on avaldatud ja r peidab end ruudu sees.
  
  $A = π r^{2}$
2. Liigu väljastpoolt sissepoole. Muutujale r viimasena rakendatud tehe on korrutamine π-ga. Seega jaga esmalt mõlemad pooled π-ga.
  
  $\frac{A}{π} = r^{2}$
3. Nüüd on jäänud ruut. Sellest vabanemisel ei anna üks sisend enam üht kindlat väljundit. Just seetõttu näeme real sümbolit ±, mitte lihtsalt juuremärki.
  
  $r = \pm \frac{A}{π}$
4. Märgil ± on siin kandev roll: nii +5 kui ka −5 ruut on 25, seega on mõlemad võrrandi r² = 25 õiged lahendid. Võrrand ju ei tea, mida r tähistab.
  
  $(+ 5)^{2} = 25 = (- 5)^{2}$
5. Asendades arvu valemisse saame r = ±5 cm. Õige vastus on 5, sest raadius tähistab pikkust. See viimane lause ei kuulu enam algebra valdkonda. Tegu on ainsa sammuga kogu ülesandes, mis eeldas tähtede tähenduse mõistmist.
  
  $r = \pm \frac{78.54}{π} = \pm 5$
6. Kontrollimiseks liigu tehetega edasisuunas. See on ainus kontroll, millel on päriselt mõtet. Pane arv 5 tagasi esialgsesse valemisse ja vaata, kas saad õige pindala.
  
  $π (5)^{2} = 78.54 ✓$
7. Pane tähele, mis muutuks teistsuguse sisuga ülesandes. Seesama võrrand h² = 25 nullnivoost üles ja alla jääva kõrguse korral säilitab mõlemad vastused. Aega tähistava võrrandi t² = 25 puhul sobib −5 vaid siis, kui ajaarvestus algas varem. Algebra on kõigis kolmes olukorras identne. Vastuste kõrvaleheitmine aga mitte.
  
  $h^{2} = 25 \Rightarrow h = \pm 5 (both)$
Vastus

r = 5 cm. Algebra annab tulemuseks ±5 ja jääb täiesti õigustatult sinna paika. Arvu 5 valimine tugineb teadmistele raadiuse kohta. See on ülesande ainus osa, mida valem ei saanud sinu eest lahendada.
Fahrenheit avaldatuna ja näit, milles mõlemad skaalad kokku lepivad 6 sammu
Avalda F valemist C = 5(F − 32)/9 ja kontrolli seda keeva vee peal. Otsusta seejärel, kas termomeeter saab kunagi näidata mõlemal skaalal sama arvu.
1. F on maetud kolme kihi alla: sulgude sisse, 5-ga korrutamise sisse, 9-ga jagamise sisse. Koori väljastpoolt, seega tuleb 9 esimesena maha.
  
  $C = \frac{5 ( F - 32 )}{9}$
2. Korruta mõlemad pooled 9-ga, seejärel jaga 5-ga. Kaks käiku kolmest, ja kumbki ei ole sulgusid puutunud.
  
  $9 C = 5 (F - 32) ⟹ \frac{9 C}{5} = F - 32$
3. Liida 32 ja F seisab üksi. Kolm käiku, mida paneel loebki, ning kontrollkaart paneb 100 °C läbi ümber tõstetud valemi ja saab 212.
  
  $F = \frac{9 C}{5} + 32; C = 100 : \frac{900}{5} + 32 = 180 + 32 = 212$
4. Nüüd küsimus, millest see meetod keeldub. Küsida, kus mõlemad skaalad näitavad sama, tähendab seada F = C, mis paneb tähe mõlemale poole. Just selle koha peal tööriist peatub, sest koorimiseks ei ole enam midagi.
  
  $F = C : C = \frac{9 C}{5} + 32$
5. Siin on mõlemad esinemised lineaarsed, seega kogunevad nad üheks ja koorimine algab uuesti. Vastus on −40, ja see peab paika: 9(−40)/5 + 32 on −72 + 32.
  
  $C - \frac{9 C}{5} = 32 ⟹ - \frac{4 C}{5} = 32 ⟹ C = - 40$
6. Sama kogumine vastab ka üldisele variandile. Fahrenheit on Celsiuse kahekordne 160 °C juures, mis on 320 °F. Väärtusel k = 1,8 kaob nimetaja ja vastust ei ole, sest kaks sirget on paralleelsed ja Fahrenheit jookseb 1,8 × Celsiusest 32 võrra ees igavesti.
  
  $F = k C : C = \frac{32}{k - 1.8}; k = 2 ⟹ C = 160, F = 320$
Vastus

F = 9C/5 + 32, ja mõlemad skaalad langevad kokku −40 juures. Kolm käiku pööravad valemi ümber ja paneel kinnitab seda, saates 100 °C tagasi 212 °F peale. Püsipunkt vajab neljandat käiku, mida tööriist ei paku: kogu kaks C-d kokku. See toimib ainult seetõttu, et mõlemad on lineaarsed, ja just selles seisab kogu vahe selle ja teepikkuse valemi vahel, millest tööriist keeldub.

$F = k C ⟹ C = \frac{32}{k - 1.8} : k = 1 \to - 40, k = 2 \to 160$

Õpitee

Tundmatu x leidmine miinusmärgist alates

Viib edasi Kaks võrrandit korraga samad lahendusvõtted, kuid arvude asemel tähtedega.

Allikad (1)

The series that solves what peeling cannot, and the eccentricity at which it stops: P. Colwell, "Bessel Functions and Kepler's Equation." The American Mathematical Monthly 99:1 (1992), 45–48.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-26

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

v = u + at - Muutuja t avaldamine nõuab kaht sammu: lahuta u ja jaga a-ga. Need on täpselt samad kaks tehet, mida teeksid võrrandiga 3x + 4 = 10, lihtsalt teiste tähtedega.
A = πr² - Muutuja r avaldamiseks tuleb ruutu tõstmine tagasi pöörata ning sellel tehtel on kaks lahendit. Tööriist näitab ± märkide paari ja vaid teadmine, et r on raadius, välistab negatiivse. Selline otsus tuleneb ringide omadustest, mitte algebrast.
s = d / t - Siin asub t murrujoone all. Nimetajat ei saa jagamise abil eraldada, mistõttu vahetavad need kaks hoopis kohad: valemist d / t = s saab t = d / s.
Fahrenheit Celsiuseks - Pööramiseks kulub kolm sammu ja tulemuseks on valem, mis kõigile pooleldi meenub. Ühe korra lahendamine on kasulikum kui kahe variandi päheõppimine.
s = ut + ½at² - Proovi t avaldada ja tööriist jääb seisma. Muutuja t asub kahes kohas, mistõttu ei suuda ükski pöördtehete jada seda eraldada. See ülesanne vajab ruutvõrrandi lahendivalemit ja on oma olemuselt hoopis teistsugune probleem.
T = 2π√(l/g) - Pikkus asub ruutjuure all. Selle vabastamiseks tuleb mõlemat poolt ruutu tõsta ja see on siin ainus tehe, mis pole lahutamine ega jagamine. Proovi hoopis g avaldada ja näed, et see tuleb lisaks nimetajast välja tuua.
E = ½mv² - Kuna v on ruudus, toob selle avaldamine kaasa ± märgi. Ainult see tõsiasi, et kiirus ei saa olla negatiivne, välistab ühe lahenditest. See teadmine tuleneb aga reaalsest maailmast, mitte algebrast.
V = IR - Vaja läheb ühtainust sammu, kuigi kõik teised siinsed näited nõuavad kolme. Seda tasub siiski korra teha. Täpselt sellised näeksid välja ka ülejäänud valemid, kui otsitavat tähte ei ümbritseks lisatehted.
d = m / V - Muutuja V asub murrujoone all ja nimetajat ei saa jagamisega lahti haakida. Need kaks suurust vahetavad hoopis kohad: valemist d = m / V saab V = m / d.
c = √(a² + b²) - Kaateti avaldamiseks peab ruutu tõstmise tagasi pöörama. Algebra pakub seetõttu kaks lahendit, millest üks on negatiivse pikkusega. See on täpselt sama ± märk mis kineetilise energia näites, kuid lahenduskäigu asemel välistab selle kujund ise.
A = bh / 2 - See on pandud kirja nii, nagu koolis tavaks: A = bh / 2, mitte ½bh. Kujust ½bh avaldades saaksime h = A / (½b). See on küll õige, aga ükski inimene seda nii ei kirjutaks. Mõlemal juhul kulub kaks sammu ning tulemuseks on just see valem, mida võisidki eeldada.