Negatiivsed arvud

Vali kaks arvu ja tehe. Seejärel jälgi liikumisi arvteljel. Siin pole ühtegi reeglit, mida peaksid lihtsalt uskuma.

Näidisarvutus — Negatiivsed arvud

Peegeldusi nulli suhtes	0
Nendevaheline kaugus	8
Järjestus, seejärel vastandarv	5 > −3 → −5 < 3
on sama liikumine mis	5 + 3

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Negatiivsed arvud313 sõna

Negatiivne arv on positiivse arvu vastandarv: −a on see ainulaadne arv, mille liitmisel arvuga a saame vastuseks 0. Kõik muu negatiivsete arvude kohta tulenebki ainult sellest ühest lausest ja tavalistest aritmeetikareeglitest ning see alapeatükk näitab järgmist.

Mida iga sümbol tähendab

a: mistahes arv, olgu see positiivne või negatiivne. Definitsiooni jaoks pole see oluline ja seepärast ei vaja −(−3) = 3 mingit eraldi reeglit.
−a: arvu a vastandarv – mitte lihtsalt „ette joonistatud miinusega a”, vaid vastus küsimusele „mida pean arvule a liitma, et tulemuseks poleks midagi?”
0: liitmise neutraalne element ja kogu arutluse tugipunkt. See on ainus arv, mis jätab liitmisel iga teise arvu muutmata.

Kust valem tuleb

Eeldame, et jaotuvusseadus a(b + c) = ab + ac kehtib nii negatiivsete kui ka positiivsete arvude korral. See ongi kogu meie eeldus ja see on teadlik valik: me nõuame, et arvtelje laiendamine ei tohi rikkuda reegleid, millele positiivsed arvud juba alluvad.
Rakendame seda avaldisele (−1)(1 + (−1)). Sulgude väärtus on 0 ning mistahes arvu korrutis 0-ga on samuti 0, seega on kogu avaldis 0.
Nüüd avame samas avaldises sulud teisiti: (−1)(1) + (−1)(−1), mis annab −1 + (−1)(−1).
Mõlemad arvutuskäigud peavad andma sama vastuse, seega −1 + (−1)(−1) = 0. Leidub täpselt üks arv, mis annab arvuga −1 liites vastuseks 0, ja see on +1. Keegi ei otsustanud seda lihtsalt niisama; tegemist on ainsa väärtusega, mille korral jaotuvusseadus püsima jääb.

Eeldab: Eeldus on see, et negatiivsete arvude aritmeetika peab alluma samale jaotuvusseadusele mis positiivsete arvude oma. Kui me sellest loobume, võime täiesti vabalt defineerida (−1)(−1) = −1 – aga sel juhul saame (−3)((−3) + 1) väärtuseks (−3)(−2) = −6, samas kui (−3)(−3) + (−3)(1) on −9 + (−3) = −12, ning ühe avaldise kaks erinevat lugemisviisi ei anna enam sama tulemust. See ongi sellise valiku hind ja just seetõttu ei ole märgireegel lihtsalt inimeste kokkulepe.

Lahutamine pole kunagi olnud iseseisev tehe 🖖

Vajuta 5 − (−3). Enne igasugust liikumist kirjutab programm selle kujule 5 + (3). Täpselt seda lahutamine ongi: a − b tähendab a + (−b), iga a ja iga b korral. Negatiivsed arvud ei tee siin mingit erandit. Kui b on negatiivne, muutub ainult see, kuhupoole nool näitab, kuid nool ise on seesama. Seega reegel "kaks miinust teevad plussi" tulebki nähtavale siis, kui kirjutad lahutamistehte lahti ja märkad, et arvu −3 vastandarv on 3. Vali teiseks arvuks mis tahes väärtus, positiivne või negatiivne. Arvtelje kohale kirjutatud seos jääb alatiseks tõeks.

Negatiivse arvuga korrutamine peegeldab telge 🖖

Vajuta (−3) × (−4) ja jälgi kolme eraldi liigutust: venitus väärtuseni 12, peegeldus nulli suhtes arvuni −12 ja teine peegeldus tagasi arvuni 12. Iga negatiivne tegur lisab täpselt ühe peegelduse ja näidik loeb need sinu eest kokku. Kaks peegeldust toovad arvtelje iga punkti tagasi selle algsesse asukohta. Seepärast ongi vastus positiivne. Lisaks ütleb see meile, mis negatiivne arv üldse on — see on suund. Arvuga −1 korrutamine ei muuda midagi väiksemaks. See pöörab arvtelje ümber. Vajuta nüüd samade arvude vahel märki ÷. Peegelduste arv ei muutu. Arvuga −4 jagamine on sama mis arvuga −¼ korrutamine ja ka see murdarv kannab endas ühtainsat miinusmärki. Kaks korda õpetatud märgireegel on tegelikult üks ja seesama.

Vastandarvude võtmine pöörab järjestuse ümber ja see ongi kogu tõde pöörduva võrratuse kohta 🖖

Loe järjestust: −5 < −3, ja võta mõlemast vastandarv, et saada 5 > 3. Seos pöördus ümber. Nii peabki minema, sest vastandarvu võtmine on seesama eespool nähtud peegeldus ning telje ümberpööramine vahetab vasaku ja parema poole. Nii käitub iga erisuguste arvude paar — proovi ükskõik millise kahe arvuga. Just see tõsiasi sunnib võrratust suunda muutma, kui selle mõlemat poolt korrutatakse negatiivse arvuga. Enamik inimesi kohtab seda alles aastaid hiljem kui mingit seletamatut erandit. Ometi on tegemist täpselt sama peegeldusega, mida punkti asemel on rakendatud võrdlusele.

Ülesanded täielikult lahendatud

Sügavkülmiku temperatuuri tõus soojenemisel −18 °C-lt −4 °C-ni 7 sammu
Sügavkülmikus on −18 °C. See soojeneb temperatuurini −4 °C. Mitu kraadi temperatuur tõusis ja millised on kaks viisi sellega eksida?
1. Enamik inimesi saab vastuseks 14 ja neil on õigus, seega on huvitavam küsimus, millised näevad välja valed lahenduskäigud. Kirjuta muutus tavalise lahutustehtena: uus väärtus miinus vana.
  
  $(- 4) - (- 18)$
2. Arvu −18 lahutamine tähendab selle vastandarvu liitmist, seega on vastus −4 + 18.
  
  $(- 4) + 18 = 14$
3. Neliteist kraadi. Levinud vale vastus on 22, mis tekib absoluutväärtuste liitmisel. Nii juhtub, kui käsitleda mõlemat nullist mõõdetud kaugusena: 18 + 4. Arvtelg teeb sellise vea tegemise raskeks. Sealt on hästi näha, et −18 ja −4 asuvad nullist samal poolel.
  
  $18 + 4 = 22$
4. Teine levinud vale vastus on −22, mis tuleb mõlema märgi tõlgendamisest kui käsust liikuda vasakule. See tähendab arvu märgi segiajamist tehtega. Neid on mõistlik teineteisest selgelt eristada.
  
  $- (18 + 4) = - 22$
5. Nüüd sama küsimus teises suunas. Jahtumine −4 juurest tagasi −18 peale on muutus −14. Kaugus on ikka 14. Kaugus ja muutus on erinevad suurused ning ainult ühel neist on märk.
  
  $(- 18) - (- 4) = - 14, ∣ - 18 - (- 4) ∣ = 14$
6. See muutub oluliseks kohe, kui arve korrutatakse. Temperatuurimuutuse −14 kahekordistamisel saame −28, mis tähendab üht peegeldust, ja näit langeb edasi. Selle poolitamisel saame −7. Seegi on üks peegeldus: miinusmärk asub muutuses, mitte korrutajas.
  
  $2 \times (- 14) = - 28$
7. Siin jääb aga tööriistast väheks. Kaks korda −18 °C ei ole füüsikalises mõttes −36 °C, sest Celsiuse skaala nullpunkt on kokkulepe, mitte soojuse puudumine. Temperatuuri korrutamine arvuga on sisutu. Temperatuurimuutuse korrutamine arvuga sobib aga hästi. Aritmeetika ei oska öelda, kummaga neist kahest sa parajasti töötad.
  
  $2 \times (- 18^{\circ} C) \neq = - 36^{\circ} C$
Vastus

14 °C tõus. Välja kirjutatult: −4 − (−18) = −4 + 18 = 14 ja iga samm vastab täpselt samale liikumisele, mida tööriist joonistab. Kaks tavalist vale vastust, 22 ja −22, tulenevad mõlemad arvu märgi ja tehte suuna segiajamisest.
−3-st 5-ni ja kaks arvu, mis on 8 kaugusel 6 sammu
Sukelduja on 3 m allpool veepinda, kajakas 5 m ülalpool. Arvuta nendevaheline kaugus ja otsusta seejärel, kas see kaugus üksi laseks sul kajaka tagasi panna.
1. Esimene tung, millest lahti saada, on suuruste lahutamine. Viis ja kolm, seega kaks.
  
  $∣5∣ - ∣ - 3∣ = 5 - 3 = 2$
2. Nüüd lahutamine ise. Muutus on −8, mis ongi tulemuse kaart, ja kaugus on selle suurus, 8.
  
  $(- 3) - 5 = (- 3) + (- 5) = - 8, (- 3) - 5 = 8$
3. Kaheksa sellepärast, et kõnd ületab nulli, seega kaks sügavust liituvad, mitte ei taandu. Alati kui arvud asuvad nullist eri pool, on kaugus nende suuruste summa.
  
  $x < 0 < y ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3 + 5 = 8$
4. Samal pool nad lahutuvad. Sügavkülmik, mis soojeneb −18 pealt −4 peale, liigub 14, mis on 18 − 4. Üks reegel kahe näoga, ja selle, kumma näo sa saad, otsustab see, kas null jääb arvude vahele.
  
  $x, y < 0 ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ - ∣ y ∣ : - 18 - (- 4) = 18 - 4 = 14$
5. Loe nüüd kauguse kaarti tagurpidi. Ta ütleb 8, ja 8 on kõik, mida ta ütleb. Arvust −3 asub 8 kaugusel kaks arvu, ja neid leidval võrrandil on kaks lahendit, sest suuruse võtmine viskas märgi minema.
  
  $x - (- 3) = 8 ⟹ x + 3 = \pm 8 ⟹ x = 5, - 11$
6. Kaks vastust jäävad alati sellest punktist kahele poole, millest neid mõõdeti: nende keskmine ongi täpselt see punkt. Igal arvupaaril on üks kaugus, ja iga kauguse taga on kaks arvu.
  
  $\frac{5 + ( - 11 )}{2} = - 3$
Vastus

8 m. Sukelduja ja kajakas on nullist eri pool, seega nende sügavused liituvad, mitte ei taandu. Loe sama 8 tagurpidi ja ta ei nimeta kajakat: −11 asub arvust −3 täpselt sama kaugel kui 5, ja kauguse kaart ei suuda neid eristada, sest märk läks sellest välja siis, kui võeti suurus.

$∣ x - a ∣ = d ⟹ x = a \pm d (d > 0)$

Õpitee

Tundmatu x leidmine miinusmärgist alates

Viib edasi Lineaarvõrrandid teadmise, et lahutamine on vastandarvu liitmine.

Allikad (1)

A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-25

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

5 − (−3) - Arvu −3 lahutamine viib 3 ühikut paremale ja lõppeb arvuga 8. See pole eraldi reegel. Mistahes arvu lahutamine on sama mis selle vastandarvu liitmine ja arvu −3 vastandarv on 3.
(−3) × (−4) - Kaks negatiivset arvu, kaks peegeldust. Venitus arvuni 12, peegeldus arvuni −12 ning seejärel peegeldus tagasi arvuni 12. Kaks korda peegeldamine viib iga arvu tagasi alguspunkti. Just see ongi reegli "kaks miinust annavad plussi" sisu.
Nulli ületamine - Arvude −3 ja 5 vaheline kaugus on 8, mitte 2. Absoluutväärtuste lahutamine on märgiga arvude puhul kõige levinum viga. Arvtelg teeb selle vea tegemise aga raskeks.
Järjestus muutub - −5 on väiksem kui −3, aga 5 on suurem kui 3. Vastandarvu võtmine pöörab järjestuse ümber. See selgitabki, miks võrratuse märk muutub vastupidiseks, kui korrutada mõlemat poolt negatiivse arvuga.