Lineaarvõrrandid

Ühe takso alustustasu on 4 ja iga miil maksab 3. Teise alustustasu on 10 ja miil maksab 1. Millise vahemaa korral on sõidu hind sama, ja mida teeb algebra, kui püstitad küsimuse pisut valesti?

1. Pane mõlemad hinnad kirja avaldistena, kasutades sama tundmatut. See tundmatu peab tähistama mõlemas täpselt üht asja, ja just siin minnakse tekstülesannetes sageli rappa. Ammu enne igasugust algebrat.

   $$4+3x10+1x$$

2. Nende avaldiste võrdsustamine moodustabki kogu matemaatilise mudeli. Edasine on puhas mehaanika.

   $$4+3x=10+x$$

3. Koonda x-iga liikmed. Võrrandi mõlemalt poolelt x-i lahutamine on täiesti seaduslik ja tagasipööratav tehe. Lahendid seega ei muutu.

   $$4+2x=10$$

4. Koonda konstandid. Nüüd jaga sellega, mis jäi x-i ette. Tulemuseks on kolm miili ja mõlema takso arve on sel juhul 13.

   $$2x=6\Rightarrow x=3\Rightarrow 4+9=13=10+3$$

5. Teeme nüüd meelega ühe vea. Oletame, et ka teine firma küsib miili eest 3. Siin koonduvad x-iga liikmed välja ning järele jääb 4 = 10. See on väär. Järelikult pole olemas vahemaad, kus hinnad kattuksid. Üks sõit on lihtsalt alati 6 võrra kallim.

   $$4+3x=10+3x\Rightarrow 4=10\Rightarrow \varnothing$$

6. Kui aga teine firma küsiks miili eest 3 ja alustustasu oleks samuti 4, jätab sarnane koondamine meile võrduse 4 = 4. See kehtib absoluutselt iga vahemaa korral. Nii saame kaks korda kirja pandud ühe ja sama hinna.

   $$4+3x=4+3x\Rightarrow 4=4\Rightarrow x\in \mathbb{R}$$

7. Siin lõpeb algebra ja algab sisuline tõlgendamine. Kõik kolm tulemust on korrektsed vastused hästi sõnastatud küsimusele. Programm esitab need täpselt. Mida ta sulle aga öelda ei oska, on see, et negatiivne lahend tähendab hindade võrdsustumist juba enne sõidu algamist. Või et murdosa miili eest ei pruugi olla võimalik taksos maksta. Võrrand ei tea, mis asi see x on.

   $$x=-2\Rightarrow x\notin [0,\infty )$$

Lahenda 5x − 2 = 3x + 8. Kuna x on mõlemal poolel, ei saa midagi välja lugeda enne, kui need on kokku viidud.

1. Kõigepealt vii x-iga liikmed kokku. Kui lahutada paremalt 3x, tuleb 3x lahutada ka vasakult, ja võrrand väidab x-i kohta ikka sedasama.

   $$5x-2=3x+8|-3x$$

2. Nüüd on vasakul poolel 2x − 2. Liida mõlemale poolele 2, et arv x-i juurest ära viia.

   $$2x-2=8|+2$$

3. Kaks x-i on kokku 10, seega üks x on 5.

   $$2x=10|÷2⟹x=5$$

4. Kontrolli seda algses võrrandis, mitte selles, milleni lõpuks jõudsid. Mõlema poole väärtuseks tuleb 23, seega x = 5 rahuldab algset võrrandit.

   $$5(5)-2=23,3(5)+8=23$$

5. Liikmeid ei pea tingimata vasakule koondama. Lahuta hoopis mõlemalt poolelt 5x ja saad −2 = −2x + 8. See näeb teistsugune välja, aga annab ikkagi vastuseks x = 5. Kumba poole sa koondamiseks valid, on vaba; vastus aga mitte.

   $$5x-2=3x+8|-5x⟹-2=-2x+8⟹2x=10$$

Lahenda 4x + 9 = x − 6. Siin pole midagi ebaharilikku kuni viimase reani, kus vastus tuleb nullist väiksem.

1. Lahuta mõlemalt poolelt x, et koondada x-iga liikmed vasakule.

   $$4x+9=x-6|-x$$

2. Lahuta mõlemalt poolelt 9, et arvust vabaneda.

   $$3x+9=-6|-9$$

3. Kolm x-i on kokku −15, seega üks x on −5. Miinusmärk vastuses ei tähenda, et midagi on valesti läinud.

   $$3x=-15|÷3⟹x=-5$$

4. Kontrolli algse võrrandi põhjal. Vasak pool on −20 + 9 = −11 ja parem pool on −5 − 6 = −11. Need klapivad, nii et −5 on tõesti õige lahend.

   $$4(-5)+9=-20+9=-11,(-5)-6=-11$$

5. See, kas −5 on ka mõistlik vastus, sõltub sellest, mis see x algselt oli. Temperatuurina on see täiesti tavaline teisipäev. Piletite arvuna ei tähenda see aga midagi. Võrrand ei tee neil vahet ega oska sind hoiatada.

   $$x=-5\Rightarrow \text{5 tickets short of none}$$

Lahenda 6x + 1 = 2x + 4. Siin tuleb teha samad kolm sammu mis enne, kuid seekord ei jõua me täisarvuni.

1. Lahuta mõlemalt poolelt 2x.

   $$6x+1=2x+4|-2x$$

2. Lahuta mõlemalt poolelt 1.

   $$4x+1=4|-1$$

3. Neli x-i on kokku 3, seega üks x on 3 jagatud 4-ga, mis on täpselt 0,75.

   $$4x=3|÷4⟹x=\frac{3}{4}=0.75$$

4. Kontrolli algse võrrandi põhjal: 6 × 0,75 + 1 = 5,5 ja 2 × 0,75 + 4 = 5,5.

   $$6(0.75)+1=5.5,2(0.75)+4=5.5$$

5. Kolm neljandikku saab kümnendmurruna kirja panna täpselt. Kahe kolmandikuga see nii pole. Lahenda 3x + 1 = 3 ja vastuseks on 2⁄3, mida ükski kümnendmurd ei suuda lõpuni kirjutada. Harilik murd ongi siin täpne vastus, 0,6667 on vaid selle ümardus.

   $$3x+1=3⟹x=\frac{2}{3}=0.6667\dots$$

Lahenda 3(x + 4) = 24. Siin on kaks lubatud teed, ja need ei nõua sugugi ühepalju vaeva.

1. Sulgudes olev avaldis ütleb, et meil on kolm korda (x + 4). Jaga kõigepealt mõlemad pooled 3-ga ja sulud lihtsalt kaovad: x + 4 = 8, seega x = 4.

   $$3(x+4)=24|÷3⟹x+4=8⟹x=4$$

2. Või siis ava esmalt sulud. Kolm korda (x + 4) annab 3x + 12. Seejärel lahuta mõlemalt poolelt 12 ja jaga 3-ga. Tulemuseks on seesama x = 4.

   $$3(x+4)=3x+12=24|-12⟹3x=12⟹x=4$$

3. Kontrolli algse võrrandi põhjal: 3 × 4 + 12 = 24. Tööriist tunnistab võrrandeid kujul ax + b = cx + d, seega on sinna vaja sisestada lahtikirjutatud rida.

   $$3(4)+12=24$$

4. Esmalt jagamise meetod oli lühem vaid seetõttu, et 24 jagub 3-ga täpselt. Kui muudame arvu 24 aga 25-ks, viib sama teekond meid valemini x + 4 = 25⁄3. See on endiselt õige, kuid nüüd on see kahest valikust ebamugavam.

   $$3(x+4)=25⟹x+4=\frac{25}{3}⟹x=\frac{13}{3}$$

Pakett A maksab £8 kuus ja lisaks £2 iga gigabaidi eest. Pakett B maksab £12 kuus ja lisaks £2 iga gigabaidi eest. Mitme gigabaidi juures on nende hind sama?

1. Pane mõlemad kulud kirja nii, et x tähistab kasutatud gigabaite, ja seejärel võrdsusta need, sest just seda "sama hind" tähendabki.

   $$A:2x+8B:2x+12$$

2. Mõlemal poolel on 2x, seega lahuta 2x mõlemalt.

   $$2x+8=2x+12|-2x$$

3. Muutuja x on kadunud ja järele jääb 8 = 12, mis on väär. Ükski x-i väärtus ei saa seda tõeseks muuta, seega ei maksa need kaks paketti kunagi ühepalju.

   $$8=12\text{— false, for every }x$$

4. Kõige kasulikum on tegelikult see vastus, mille peale võrrand komistas: B on iga x-i korral £4 kallim kui A. Pakettide hinnad ei ristu, sest need kasvavad samas tempos ning jäävadki üksteisest £4 kaugusele.

   $$(2x+12)-(2x+8)=4\text{at every }x$$

Üks pood küsib hinna valemi 2(x + 3) järgi. Teine küsib 2x + 6 järgi. Kumb on odavam ja mitme raamatu puhul?

1. Ava esimeses avaldises sulud. Kaks korda (x + 3) on 2x + 6, mis on täpselt see, mille pani kirja teine pood.

   $$2(x+3)=2x+6$$

2. Kui need võrdsustada ja mõlemalt poolelt 2x lahutada, jääb järele 6 = 6. See on tõene ning peab paika sõltumata sellest, mida me x-i kohta teame.

   $$2x+6=2x+6|-2x⟹6=6$$

3. Seega sobib iga arv. Proovi arve 0, 1, 7, −100: mõlemad pooled on iga kord võrdsed.

   $$x=0,1,7,-100\text{all true}$$

4. See on väärt eraldi väljatoomist: kahe hinna vahe pole lihtsalt väike, vaid on iga x-i korral täpselt null. Kaks poodi panid ühe ja sama hinna kirja kaks korda.

   $$2(x+3)-(2x+6)=0\text{identically}$$

Ben on Miast kolm korda vanem. Kaheksa aasta pärast on ta Miast kaks korda vanem. Kui vanad on nad praegu?

1. Tähistame Mia praeguse vanuse x-iga. Beni vanus on sel juhul 3x. Kaheksa aasta pärast on Mia x + 8 ja Ben 3x + 8 aastat vana.

   $$\text{Mia }=x,\text{Ben }=3x$$

2. "Kaks korda vanem" tähendab kaks korda vanem siis, mitte kaks korda vanem praegu. See ainus tõlgendus ongi asja kõige raskem osa: 3x + 8 = 2(x + 8), mis pärast sulgude avamist on 3x + 8 = 2x + 16.

   $$3x+8=2(x+8)=2x+16$$

3. Lahuta mõlemalt poolelt 2x ja seejärel 8 ning saad x = 8. Mia on 8 ja Ben on 24.

   $$3x+8=2x+16|-2x⟹x+8=16⟹x=8$$

4. Kontrolli ka loo sisu, mitte ainult algebrat: kaheksa aasta pärast on Mia 16 ja Ben 32 ning 32 on tõepoolest kaks korda 16.

   $$\text{Mia }8\to 16,\text{Ben }24\to 32,32=2\times 16$$

5. Kui lugeda lauset teistmoodi – kaks korda tema praegusest vanusest –, saame 3x + 8 = 2x, millest järeldub x = −8. Algebra on siin sama kuulekas ja vastuseks on tüdruk, kes sünnib alles kaheksa aasta pärast.

   $$3x+8=2x⟹x=-8$$