Sõrestiku analüüs ja sõlmede meetod

Vali võresüsteem, sille, kõrgus ja koormuse asukoht. Rakendus leiab sõlmede meetodil kõik sisejõud, märgib ära koormamata vardad ja näitab, mis juhtuks sama sillaga siis, kui diagonaalid paikneksid vastupidi.

Näidisarvutus — Sõrestiku analüüs ja sõlmede meetod

Toereaktsioon rulltoel	60,00 kN
Toereaktsioon liigtoel	60,00 kN
Esimene tundmatu sõlmes L0: L0–U0	−69,97 kN
Teine tundmatu samas sõlmes: L0–L1	+36,00 kN
Suurim tõmme, vardas L2–L3, L3–L4	+180,00 kN
Suurim surve, vardas U2–U3	−216,00 kN
Koormamata varraste arv	0
Vardad + reaktsioonid − 2 × sõlmed	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sõrestiku analüüs ja sõlmede meetod

Sõrestik on otstest ühendatud sirgete varraste süsteem, mis kannab koormust ainult neis samades sõlmedes. Kujuta sõlmi ette hõõrdevabade liigenditena ning iga varras saab kanda ainult jõudu piki oma telge: tõmmet, kui seda rebitakse, ja survet, kui kokku surutakse. Kuskil ei esine mingisugust painet. Just see muudab kogu konstruktsiooni aritmeetikaga lahendatavaks, sest igas sõlmes peab jõudude summa kahes suunas olema null. See annab 2j võrrandit m vardajõu ja r toereaktsiooni jaoks. Kui m + r = 2j, siis on sõrestik staatiliselt määratav ja iga jõu määrab ainuüksi tasakaalutingimus, ilma et materjal, jäikus või ristlõige kuskil mängu tuleks. Sõlmede meetod on nende samade võrrandite lahendamine ühe sõlme kaupa, alustades sealt, kus kohtuvad vaid kaks tundmatut.

Mida iga sümbol tähendab

m: varraste arv. Igaüks kannab ühtainsat tundmatut jõudu piki oma telge
j: sõlmede arv. Iga sõlm annab kaks võrrandit, ühe kummagi suuna jaoks, seega võrrandite koguarv on 2j
r: toereaktsioonide komponentide arv. Siin on neid kolm: kaks liigtoel ja üks rulltoel
F: varda sisejõud kilonjuutonites. Kogu lehe ulatuses märgib positiivne suurus tõmmet, mistõttu moodustab märk poole vastusest
θ: nurk, mille diagonaal moodustab alavööga. See on meetodi ainus trigonomeetriline osa

Eeldab: Liigendsõlmed, sirged vardad ja ainult sõlmedes mõjuvad koormused. Kõik kolm on idealiseeringud, mida päris sild rikub. Sõlmeplaadid on polditud või keevitatud ja kannavad seega ka paindemomenti. Varrastel on omakaal, mis ei mõju otse sõlmes, ning tekiehitus jaotab oma koormuse piki vööd, mitte ei langeta seda punktina sõlmele. Õigesti proportsioneeritud sõrestiku puhul on need kõrvalekalded väikesed, ja just seetõttu on see idealiseering üle elanud poolteist sajandit püstipüsivate sildade ehitamist. Analüüs eeldab ka seda, et sõrestik ei deformeeru, sest iga siinne jõud lähtub vaid tasakaalu nõuetest. Miski sellel lehel ei ütle, kas silla läbipaine oleks ka tegelikkuses vastuvõetav.
Ei kehti, kui: Kohe, kui m + r ei võrdu enam 2j. Lisa veel üks varras ja tasakaalust enam ei piisa, sest siis sõltuvad sisejõud juba iga varda jäikusest. See aga viib arvutused materjali ja ristlõike juurde ning kogu siinse lehe meetod lakkab töötamast. See on sama sein, mille vastu põrkavad Kirchhoffi seadused, kui sildlülitust pole võimalik lihtsustada. Lahendus on samuti identne, nõudes lisavõrrandeid kust iganes mujalt kui tasakaalust. Meetod murdub ka teistpidi. Võta üks varras ära ja konstruktsioonist saab mehhanism, mis kukub kokku, jättes staatilise määratavuse rea negatiivseks. Liigendsõlme idealiseering ise kaotab kehtivuse seal, kus vardad on lühikesed ja jässakad. Selline sõlm on piisavalt jäik, et suruda varrastesse reaalset paindemomenti.

Kolm neist varrastest on koormamata ja sa suudad need ise esimesena leida 🖖

Vajuta Sama sille, Pratt. Kolme varda sisejõud on täpselt null: L1–U1, L3–U3 ja L5–U5. Sa ei vajanud nende leidmiseks programmi. Vaata sõlme U3: kaks ülavööd ühel sirgel ja üks vertikaalne post. Miski muu sellele sõlmele ei mõju, mis tähendab, et miski ei saa tasakaalustada posti sihilist jõudu. Järelikult seda jõudu pole, ja see peab paika sõltumata koormusest või selle asukohast. Ülejäänud kahe varda puhul kehtib nende alasõlmedes täpselt sama mõttekäik. Programm leiab need kahel täiesti erineval moel, esmalt arvutatud sisejõudude kaudu ja teiseks ainult joonise põhjal ilma igasuguse aritmeetikata. Need kaks vastust langesid kokku 23 814 erineva sõrestiku ja koormuse korral. Sellised vardad pole lihtsalt üleliigsed varuosad. Varras, mis täna koormust ei kanna, hoiab sirgena teist varrast, mis seda parasjagu kannab, ning just see ongi järgmise tunni peateema.

Peegelda diagonaale ja pikad vardad muudavad märki 🖖

Vajuta Sama sille, Pratt ja seejärel Peegeldatud diagonaalid. Identsed sõlmed, sama varraste arv ja täpselt sama koormus. Pratti süsteemis on neli sisemist diagonaali pikkusega 7,81 m tõmmatud jõuga +93,72 kN, samal ajal kui lühikesed 5 m pikkused postid võtavad vastu surve või jäävad täiesti koormamata. Peegelda neid ja samad neli diagonaali on surutud jõuga −93,72 kN, ent iga post on tõmmatud. Mõlemad otsadiagonaalid on igal juhul surutud, sest need viivad toereaktsiooni otse üles sõrestikku ja seda ei muuda miski. Jõu suurus ei muutunud kordagi, muutus ainult märk. See on oluline, sest pikk surutud varras nõtkub koormuse all, millel pole vähimatki pistmist terase tugevusega, samas kui pikal tõmmatud vardal on oma pikkusest täiesti ükskõik. Just seetõttu on terasest raudteesõrestik peaaegu alati Pratt ja puidust sõrestik, mille liited eelistavad survet, tihti Howe.

Sama muudatus liigutab 72 kN ühelt vöölt teisele 🖖

Ka vööd muutuvad ja selle põhjusesse tasub süüvida. Pratti sõrestikus kannab alavöö +144,00 kN ja ülavöö −216,00 kN, kuid Howe'i puhul on need arvud vastupidi: +216,00 ja −144,00. Lõika sõrestik läbi kolmanda ja neljanda sõlme vahelt ning lõige läbib kolme varrast: vöö, teine vöö ja diagonaal. Võta momentide summa ümber punkti, kus teised kaks kohtuvad, ning üks vööjõud selgub iseenesest. Pratti süsteemis kulgeb diagonaal sõlmest U2 alla sõlme L3, kohtudes ülavööga sõlmes U2, toelt mõõdetuna kaheteistkümne meetri kaugusel. Peegelda diagonaali ja see kulgeb sõlmest L2 üles sõlme U3, kohtudes ülavööga sõlmes U3, kaheksateistkümne meetri kaugusel. Sama toereaktsioon ja sama kõrgus, kuid 12 m pikkune õlg 18 m pikkuse õla vastu: 60 × 12 ÷ 5 = 144 ja vastavalt 60 × 18 ÷ 5 = 216.

Ülesanne täielikult lahendatud

Esimese sõlme lahendamine käsitsi ning seejärel viie vahelejätmine 6 sammu
36 m pikkune ja 5 m kõrgune Pratti sõrestik, kuus paneeli, 120 kN koormus sille keskel. Leia sisejõud kahes vasakpoolsel toel kohtuvas vardas ning seejärel määra alavöö sisejõud sille keskel nii, et jätad nende vahele jäävad neli sõlme lahendamata. Kaasategemiseks vajuta Sama sille, Pratt.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Koormus asub sille keskel, mistõttu toereaktsioonid jagavad selle võrdselt pooleks. Võresüsteem selles sammus rolli ei mängi.
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. Alusta sõlmest L0, sest see on sõrestiku ainus sõlm, kus on vaid kaks tundmatut varrast. Kõikjal mujal on neid kolm ja meetodil puudub pidepunkt. Diagonaal tõuseb 6 m pikkusel horisontaalil 5 m üles, seega sin θ = 0,6402 ja cos θ = 0,7682.
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. Vertikaalsesse tasakaalu kuuluvad sõlmes L0 ainult toereaktsioon ja diagonaal. Alavöö on horisontaalne ega saa siin aidata.
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. Märk ongi vastus. Negatiivne väärtus tähendab, et varras surub sõlmele vastu, seega on L0–U1 surutud jõuga 93,72 kN.
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. Järgmisena koosta horisontaalne tasakaal samas sõlmes, kaasates sinna juba teadaoleva diagonaali jõu. Alavöö väärtus tuleb positiivne, mis tähendab tõmmet.
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. Seda võiks veel üksteist korda korrata. Selle asemel lõika sõrestik läbi kolmanda ja neljanda sõlme vahelt ning võta momentide summa ümber punkti U2, kus mõlemad mittevajalikud vardad kohtuvad. Alavöö jõud leitakse ühest ainsast võrrandist ja vahepealset nelja sõlme ei pidanud kordagi lahendama.
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
Vastus

L0–U1 on −93,72 kN ja L0–L1 on +72,00 kN ning sille keskel on alavöö jõuks +144,00 kN, mis leiti ühestainsast momendivõrrandist. Need kaks meetodit pole omavahel konkurendid. Sõlmede meetod on süstemaatiline ja annab sulle kõik, lõigete meetod aga annab ühe varda jõu ja teeb seda lühidalt. Silda dimensioneeriv insener vajab sageli vaid üht, kõige raskemalt koormatud varrast, ja valib selleks lõike. Viimane samm näitab ka selgelt, kust see 144 pärineb: 60 kN suurune toereaktsioon kaheteistkümnemeetrise õlaga jagatakse viiemeetrise kõrgusega. Vähenda kõrgust poole võrra ja sisejõud kahekordistub. Seda ilmestab siinsel lehel olev lamedam valik ja just sel põhjusel ehitatakse pikad sillad kõrgetena.

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

Õpitee

Kuhu koormus kandub

Allikad (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.