Vektorikalkulaator

Arvuta ja visualiseeri vektoritehteid: skalaarkorrutis, vektorkorrutis, projektsioon ja nurk.

Näidisarvutus — Vektorikalkulaator

\|A\|	2.2361
\|B\|	2.2361
Spanned Line Eq.	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Vektorikalkulaator

Kahe vektori skalaarkorrutist saab kirja panna kahel viisil, mis ei meenuta teineteist sugugi: korrutada vastavad komponendid ja liita need, või korrutada mõlema vektori pikkused nendevahelise nurga koosinusega. Need annavad alati sama tulemuse ning just see kooskõla teeb skalaarkorrutise kasulikuks — see muudab geomeetria aritmeetikaks.

Mida iga sümbol tähendab

A · B: skalaarkorrutis: üks arv, mitte vektor. Vaikeväärtuste korral 2·−1 + 1·2 = 0.
|A|: vektori pikkus (moodul) Pythagorase teoreemist: √(2² + 1²) = 2.2361.
θ: kahe vektori vaheline nurk, mille leht esitab korraga nii radiaanides kui ka kraadides — vaikeväärtuste korral 1.5708 rad = 90°.
comp: skalaarprojektsioon — kui palju ühest vektorist jääb teise sihti. See on skalaarkorrutis jagatuna selle vektori pikkusega, millele projitseeritakse.

Kust valem tuleb

Võta kolmnurk, mille moodustavad A, B ja nende tippusid ühendav vektor A − B. Koosinusteoreem seob selle küljed: |A − B|² = |A|² + |B|² − 2|A||B|cos θ.
Nüüd ava sama |A − B|² hoopis komponenthaaval. Iga ruutliige koondub tagasi avaldisteks |A|² ja |B|² ning üle jääb −2(A_xB_x + A_yB_y).
Sea need kaks avaldist võrdseks; liikmed |A|² ja |B|² taanduvad välja, jättes järele A_xB_x + A_yB_y = |A||B|cos θ. Ümberkorraldatult on see täpselt lehel olev nurga valem: θ = arccos(A·B / (|A||B|)).

Kuidas nähtut lugeda

Iga rida näitab väärtuste asendust, mitte ainult vastust: skalaarkorrutis kujul A·B = A_xB_x + A_yB_y = 2·−1 + 1·2 = 0, mõlemad pikkused Pythagorase teoreemist ning seejärel nurk kujul arccos(0) = 1.5708 rad = 90°. Jäta mõlemad z-kastid 0 peale ning vektorid kuvatakse kahe komponendiga veergudena; sisesta kummalegi z-väärtus ja kuva muutub kolmemõõtmeliseks.

Eeldab: Ristkoordinaadid risti olevate telgedega ja sama ühikuga igal teljel. Ülaltoodud valemid kehtivad just sel juhul; kaardiprojektsioonil või mistahes koordinaatsüsteemis, mille teljed ei ole täisnurga all, ei anna komponenthaaval arvutamine enam skalaarkorrutist.
Ei kehti, kui: Täpselt 0 võrduv skalaarkorrutis tähendab risti olekut — kuid see kehtib mistahes risti olevate vektorite paari korral, olgu need kui tahes pikad, seega ei ütle see midagi suurusjärgu ega pikkuse kohta. Ning selle abil leitav nurk on alati märgita nurk vahemikus 0 kuni 180°: A ja B vahetamine annab täpselt sama vastuse, seega ei saa skalaarkorrutis üksinda kunagi öelda, kummale poole sa pöörasid.

Mõlemad korrutised vastavad nulliga, ja null tähendab vastupidist 🖖

Kaks esimest eelseadet on sama avastus kahelt poolt. perp2d puhul näitab skalaarkorrutis täpselt 0 ja vektorkorrutis 1; parallel puhul näitab vektorkorrutis täpselt 0 ja skalaarkorrutis 26. Kaduv skalaarkorrutis tähendab seega, et vektorid on täisnurga all, kaduv vektorkorrutis aga, et nad on ühel sirgel — need kaks testi ei ole vahetatavad, vaid teineteist täiendavad. Pindala rida teeb teise käegakatsutavaks: paralleelsed vektorid ei piira midagi, area 3-korda-4 paar aga täpselt 12.

Kaks korrutist, kaks väga erinevat vastust 🖖

See tööriist arvutab kaks viisi, kuidas vektoreid korrutada. Skalaarkorrutis annab ühe arvu, mis näitab, kui palju kaks vektorit osutavad samas suunas — null tähendab, et need on risti. Vektorkorrutis (3D) annab hoopis uue vektori, mis on mõlemaga risti ja mille pikkus võrdub nende poolt moodustatud rööpküliku pindalaga. Nurga leiad skalaarkorrutist teisendades: cos θ = (a·b)/(|a| |b|).

Vektorkorrutis eksisteerib ainult 3D-s ja 7D-s 🖖

Skalaarkorrutise saab defineerida ükskõik mitmes mõõtmes, kuid tõeline vektorkorrutis — kaks vektorit sisse, üks mõlemaga risti olev vektor välja — eksisteerib ainult kolmes ja seitsmes mõõtmes. See veidrus on otseselt seotud kvaternioonide ja oktoonionide algebraga, mis on ainsad normeeritud jagamisalgebrad peale reaal- ja kompleksarvude. Nii et tuttav 3D vektorkorrutis pole kaugeltki nii universaalne, kui paistab.

Ülesanded täielikult lahendatud

Vektorite A = (2, 1) ja B = (−1, 2) määratud pindala 6 sammu
A = (2, 1) ja B = (−1, 2). Skalaarkorrutis on null ja moodustatud pindala on 5. Näita, et mõlemad faktid on üks ja seesama fakt.
1. Kaks vektorit ning skalaarkorrutis on vastavate koordinaatide korrutiste summa. Tulemuseks tuleb null, mis juba vastab geomeetriale.
  
  $A = (21), B = (- 1 2); A \cdot B = 2 (- 1) + 1 (2) = 0$
2. Mõlemad pikkused on võrdsed ja need on võrdsed põhjusel, mis tuleb ilmsiks 5. sammus.
  
  $∣ A ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5 = 2.2361 = ∣ B ∣$
3. Nurga koosinus on skalaarkorrutise ja pikkuste korrutise suhe. Null jagatud millega tahes on null ning nulli arkuskoosinus on täisnurk.
  
  $cos θ = \frac{0}{5 5} = 0 ⟹ θ = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 9 0^{\circ}$
4. Moodustatud pindala on determinant, mis risti olevate vektorite puhul on lihtsalt pikkuste korrutis — √5 × √5.
  
  $area = ∣ A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} ∣ = ∣2 (2) - 1 (- 1) ∣ = 5 = ∣ A ∣∣ B ∣ sin θ = 5 \cdot 5 \cdot 1$
5. Siin on põhjus, miks pikkused kattusid. Veerandpööre vahetab koordinaadid ja muudab ühe märgi vastupidiseks ning selle rakendamine vektorile A annab täpselt vektori B.
  
  $R_{9 0^{\circ}} (x y) = (- y x) : (21) \mapsto (- 1 2) = B$
6. Projektsioon kinnitab seda teisest küljest: miski vektorist A ei asu vektori B sihis, seega projektsiooni lahutamine jätab vektori A puutumata.
  
  $proj_{B} A = \frac{0}{5} B = 0 ⟹ A is entirely its own perpendicular component$
Vastus

Sest B on veerandpöörde võrra pööratud A. Pööre (x, y) → (−y, x) viib punkti (2, 1) täpselt punktiks (−1, 2), mis sunnib nurgaks olema 90° ja seega skalaarkorrutiseks nulli. Samuti säilitab see pikkuse, seega on mõlema vektori pikkus √5 ning nende moodustatud rööpkülik on ruut küljega √5 — pindalaga 5, mida paneel kuvabki. Skalaar- ja vektorkorrutis on ühe korrutise kaks poolt: |A||B| cos θ ja |A||B| sin θ. 90° puhul on esimene tühi ja teine võtab kogu väärtuse, ning A projektsioon B-le on nullvektor, mis tähendab, et A-l puudub B suunaline komponent täielikult. Pööra kumbagi vektorit mõne kraadi võrra ja mõlemad arvud muutuvad, kusjuures nende ruutude summa on alati |A|²|B|² = 25.

$A \cdot B = 0, θ = 9 0^{\circ}, area = 5; B = R_{9 0^{\circ}} A$
Skalaarkorrutis 32 ja vektorkorrutise pikkus 7,3485 6 sammu
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6). Paneel kuvab skalaarkorrutiseks 32 ja vektorkorrutise mooduliks 7,3485. Näita, et need kaks arvu ei ole üksteisest sõltumatud. See on olek 3D-nurk.
1. Skalaarkorrutis ja mõlemad pikkused tulevad otse definitsioonidest. Kumbki ruutjuur ei ole ilus, mis on kolmes mõõtmes tavapärane asjade seis.
  
  $A \cdot B = 1 (4) + 2 (5) + 3 (6) = 32; ∣ A ∣ = 14 = 3.7417, ∣ B ∣ = 77 = 8.775$
2. Nurk tuleneb sellest. Nurga 12,9° juures on need kaks vektorit peaaegu paralleelsed, mida tasub enne järgmist sammu tähele panna: vektorkorrutis tuleb väike.
  
  $cos θ = \frac{32}{14 77} = \frac{32}{1078} = 0.9746 ⟹ θ = 0.2257 rad = 12.933 2^{\circ}$
3. Vektorkorrutis on sellise 3×3 maatriksi determinant, mille ülemises reas on ühikvektorid. Selle moodul on rööpküliku pindala.
  
  $A \times B = 2 (6) - 3 (5) 3 (4) - 1 (6) 1 (5) - 2 (4) = - 3 6 - 3, ∣ A \times B ∣ = 54 = 7.3485$
4. Nüüd pane mõlemad korrutised kokku. Võta kumbki ruutu, liida need ning võrdle pikkuste ruutude korrutisega.
  
  $∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 14 \times 77 = 1078; (A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = 1024 + 54 = 1078$
5. Jaga samasus läbi avaldisega |A|²|B|² ning ilmub trigonomeetria — see sama samasus algsete koordinaatide kujul.
  
  $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1 re-derived : \frac{1024}{1078} + \frac{54}{1078} = 1$
6. Veel üks rida kinnitab, et vektorkorrutis teeb seda, mida väidab: see on risti vektoriga A ning sümmeetria tõttu ka vektoriga B.
  
  $A \cdot (A \times B) = 1 (- 3) + 2 (6) + 3 (- 3) = 0 ⟹ the cross product leaves the plane$
Vastus

32² + 7,3485² = 1078 = 14 × 77 = |A|²|B|². See on Lagrange'i samasus ja see on varjatud Pythagorase samasus: jagades läbi avaldisega |A|²|B|², saab sellest cos²θ + sin²θ = 1. Nii et skalaar- ja vektorkorrutis ei ole kahe eri asja kaks eraldiseisvat mõõtmist — need on sama täisnurkse kolmnurga lähis- ja vastaskaatet ning ühe korrutise ja mõlema pikkuse teadmine määrab teise kuni märgini. Praktiline järeldus on see, et nurka ei tohiks kunagi arvutada pelgalt skalaarkorrutise põhjal, kui see on 0° või 180° lähedal: koosinus on seal lame ning parema arvutusliku täpsuse tagab vektorkorrutis, mille siinus on järsk.

$(A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 1078$

Õpitee

Sirve sobitamine andmetesse

Viib edasi Vähimruutude geomeetria skalaarkorrutise ja koos sellega projektsiooni mõiste — kui suur osa ühest vektorist kulgeb piki teist.

Allikad (1)

The dot product from both directions, and why the two definitions agree: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. ISBN 978-0-9802327-7-6.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-28

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Ristuvad - Ristsihilised
Paralleelsed - (2, 3) ja (4, 6), teine on esimese kahekordne. Vektorkorrutis on täpselt 0 ja skalaarkorrutis on 26. See olukord on täpne vastand ristuvatele vektoritele.
3D nurk - (1, 2, 3) ja (4, 5, 6): skalaarkorrutis 32 jagatud pikkustega √14 ja √77, seega cos θ = 0,9746 ning nurk on 12,93°. Vektorid on peaaegu samasuunalised. Skalaarkorrutisest näeb seda juba enne nurga arvutamist.
Pindala - Vektor pikkusega 3 x-teljel ja vektor pikkusega 4 y-teljel. Nende vektorkorrutise pikkus on täpselt 12, mis vastab neile ehitatud ristkülikule. Vektorkorrutise pikkus ongi pindala.