2D omavektorite uurija

maatriksi mõju baasvektoritele ja teisendatud ühikringile

Näidisarvutus — 2D omavektorite uurija

Omavektori reegel	0lahendame selle λ suhtes
Pindala skaala \|det\|	3

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

jälg ja determinant määravad üheskoos omaväärtused 🖖

Kaks neljast sisestatavast arvust määravad omaväärtused. Karakteristlik võrrand on λ² − (jälg)λ + det = 0, seega määravad jälg ja determinant üheskoos mõlemad juured. Avaldise tr² − 4det märk näitab, millisesse kolmest juhust kujutus kuulub: omavektoritel on kaks reaalsihti, üks reaalsiht või pole neid üldse. Paneel kuvab kõik kolm arvu. Peegeldusel ja telgede vahetamisel on sama jälg 0 ja determinant −1, seega ka samad omaväärtused 1 ja −1 — ometi on need eri kujutused, sest ülejäänud erinevus peitub omavektorites.

nooled, mis keelduvad pöördumast 🖖

Enamik vektoreid pöördub maatriksi rakendamisel täiesti uude suunda. Omavektorid on erilised: nad jäävad oma sirgele. Teisendus üksnes venitab või kahandab neid mingi arvu ehk omaväärtuse võrra ning võib pöörata nende suuna 180°. Aseta vektor rohelisele omavektori sirgele ja see maatriks jätab ta samale sirgele ka korduva rakendamise järel. Need sirged moodustavad kujutuse püsiva karkassi.

Google ehitati hiiglaslikule omavektorile 🖖

Samal ideel põhines Google’i algne PageRank. Kogu veebi võib käsitada ühe hiiglasliku linkide maatriksina. Kõigi lehekülgede järjestusnumbrite vektor on selle domineeriv omavektor — ainus muutumatu suund, mis jääb püsima lõputul juhuslikul klõpsamisel. Siin 2D-s muudetav on mänguline väikeversioon arvutusest, mida kunagi tehti miljardite lehekülgede põhjal.

OMAVEKTORID — MILLISED SUUNAD JÄÄVAD TEISENDUSE JÄREL ALLES?

Millise omavektori juhtumiga on tegemist?

Omavektor on suund, mida maatriks keeldub pöörama: ta ainult venitab seda omaväärtuse λ võrra. Kas selliseid suundi üldse on, otsustab üksainus arv, diskriminant Δ = jälg(A)² − 4·det(A). Positiivne annab neid kaks, null ühe, negatiivne reaaltasandil mitte ühtegi. Ristseis, peegeldus ja pöörlemine tulenevad kõik sellest, kuhu teie maatriks selles liigituses satub.

Δ > 0 — kaks reaalset suunda, ja sümmeetria seab need risti Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Negatiivne omaväärtus — suund jääb alles, aga osutab vastupidi det < 0 ⇒ λ = ±1

Δ = 0 — üks omaväärtus kaks korda ja ainult üks suund selle kohta Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Δ < 0 — pöörlemine ja mitte ühtegi reaalset omavektorit Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Δ > 0 — kaks reaalset suunda, ja sümmeetria seab need risti

Mida te teate: Diskriminant on positiivne, seega on kaks erinevat reaalset omaväärtust ja kaks sõltumatut omasuunda. Kui maatriks on sümmeetriline, see tähendab a₁₂ = a₂₁, on need suunad alati täisnurga all.

Test: Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Näidisarvutus: A = [[2, 1], [1, 2]]: jälg = 4, det = 3, Δ = 16 − 12 = 4 → λ = 3 suunas (1, 1) ja λ = 1 suunas (1, −1)

Ava see juhtum: sümmeetriline venitus

Δ > 0 — kaks reaalset suunda, ja sümmeetria seab need risti. Alles jääb kaks ristuvat suunda, kõik muu tõmmatakse tugevama poole. Diskriminant on positiivne, seega on kaks erinevat reaalset omaväärtust ja kaks sõltumatut omasuunda. Kui maatriks on sümmeetriline, see tähendab a₁₂ = a₂₁, on need suunad alati täisnurga all. — Alles jääb kaks ristuvat suunda, kõik muu tõmmatakse tugevama poole.

Negatiivne omaväärtus — suund jääb alles, aga osutab vastupidi

Mida te teate: Jälle kaks reaalset omaväärtust, aga üks neist on negatiivne, seega det < 0. Selle suuna vektorid tulevad tagasi ümberpööratuna ja kogu tasand peegeldub.

Test: det < 0 ⇒ λ = ±1

Näidisarvutus: A = [[1, 0], [0, −1]]: jälg = 0, det = −1, Δ = 4 → λ = 1 suunas (1, 0) ja λ = −1 suunas (0, 1)

Ava see juhtum: peegeldus

Negatiivne omaväärtus — suund jääb alles, aga osutab vastupidi. Üks telg jääb puutumata, teine saadetakse iseendasse tagasi: peegel. Jälle kaks reaalset omaväärtust, aga üks neist on negatiivne, seega det < 0. Selle suuna vektorid tulevad tagasi ümberpööratuna ja kogu tasand peegeldub. — Üks telg jääb puutumata, teine saadetakse iseendasse tagasi: peegel.

Δ = 0 — üks omaväärtus kaks korda ja ainult üks suund selle kohta

Mida te teate: Diskriminant on täpselt null, seega langevad kaks omaväärtust kokku. Korduv omaväärtus ei luba kahte suunda: siin on ainult üks ja maatriksit ei saa diagonaliseerida.

Test: Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Näidisarvutus: A = [[1, 1], [0, 1]]: jälg = 2, det = 1, Δ = 4 − 4 = 0 → λ = 1 kaks korda, ainsa omasuunaga (1, 0)

Ava see juhtum: ainult nihe

Δ = 0 — üks omaväärtus kaks korda ja ainult üks suund selle kohta. Horisontaaltelg jääb paigale, iga teine suund kaldub — teist omavektorit lihtsalt ei ole. Diskriminant on täpselt null, seega langevad kaks omaväärtust kokku. Korduv omaväärtus ei luba kahte suunda: siin on ainult üks ja maatriksit ei saa diagonaliseerida. — Horisontaaltelg jääb paigale, iga teine suund kaldub — teist omavektorit lihtsalt ei ole.

Δ < 0 — pöörlemine ja mitte ühtegi reaalset omavektorit

Mida te teate: Negatiivne diskriminant tähendab, et omaväärtused on kaaskompleksne paar. Geomeetriliselt pöörab maatriks tasandit ja pööre ei jäta ühtegi suunda sinna, kust see alustas.

Test: Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Näidisarvutus: A = [[0, −1], [1, 0]]: jälg = 0, det = 1, Δ = −4 → λ = ±i, veerandpööre ilma reaalse omavektorita

Ava see juhtum: pööre

Δ < 0 — pöörlemine ja mitte ühtegi reaalset omavektorit. Iga nool väljub oma sirgelt, nii et reaalsel omavektoril ei ole enam midagi olla. Negatiivne diskriminant tähendab, et omaväärtused on kaaskompleksne paar. Geomeetriliselt pöörab maatriks tasandit ja pööre ei jäta ühtegi suunda sinna, kust see alustas. — Iga nool väljub oma sirgelt, nii et reaalsel omavektoril ei ole enam midagi olla.

Allikad (1)

Insight block 3 — the dominant eigenvector Google was built on: S. Brin and L. Page, "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine." Computer Networks and ISDN Systems 30(1–7), 107–117, 1998.

Ülesanne täielikult lahendatud

Teisenduse rakendamine kümme korda, kasutades tuletatud omavektoreid 7 sammu
Paneel tuletab omaväärtused sinu eest: jälg, determinant, diskriminant — ja välja tulevad 3 ja 1. Jäta see tee täiesti vahele. Leia kõigepealt omavektorid, vaadates maatriksit, ja kasuta neid siis millekski, mida tööriist üldse ei suuda: rakenda teisendust kümme korda.
1. Maatriks on sümmeetriline, ja sümmeetria ütleb, kust otsida. Proovi diagonaali: A saadab (1, 1) punkti (3, 3) — sama nool, kolm korda pikem. Seega on (1, 1) omasuund ja 3 selle omaväärtus. Üks korrutamine, mitte ühtki karakteristlikku polünoomi.
  
  $A (11) = (2 + 1 1 + 2) = (33) = 3 (11)$
2. Proovi teist diagonaali. A jätab (1, −1) täpselt sinna, kus see oli, nii et see on teine omasuund omaväärtusega 1. Kaks sõltumatut suunda on kõik, mis 2×2 maatriksil on, seega on otsing läbi — ja paar langeb kokku sellega, mida paneel trükib.
  
  $A (1 - 1) = (2 - 1 1 - 2) = (1 - 1) = 1 \cdot (1 - 1)$
3. Nad on risti, ja mitte juhuslikult: sümmeetrilisel maatriksil on alati ortogonaalsed omasuunad. Just seda fakti järgmine samm kulutab, sest see lubab baasivahetuse tagasi võtta transponeerimisega, mitte pöördmaatriksiga.
  
  $(11) \cdot (1 - 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$
4. Skaleeri mõlemad ühikpikkuseks ja pane need Q veergudeks. Ortonormaalsed veerud teevad Qᵀ-st Q pöördmaatriksi, nii et A laguneb pöördeks, telgede sihis venituseks ja tagasipöördeks.
  
  $Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1), Λ = (3001), A = Q Λ Q^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
5. Nüüd tulu. Korruta see lahutus iseendaga: iga sisemine QᵀQ taandub ühikmaatriksiks ja alles jäävad Q, diagonaalmaatriksi n-es aste ja Qᵀ. Diagonaalmaatriksi astendamine tähendab iga elemendi astendamist — ja just sellepärast üldse diagonaliseeritakse.
  
  $A^{n} = (Q Λ Q^{T})^{n} = Q Λ^{n} Q^{T} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$
6. Võta n = 10. Tööd teeb ainult 3¹⁰; teine omaväärtus on 1, ja 1 mis tahes astmes on ikka 1, nii et see panustab täpselt sama palju kui alguses.
  
  $n = 10 : 3^{10} = 59049 ⟹ A^{10} = \frac{1}{2} (59050590485904859050) = (29525295242952429525)$
7. Sama lahutus ütleb ka seda, mis juhtub suvalise noolega, mitte ainult maatriksiga. Jaota see kahe omasuuna vahel: iga rakendus korrutab ühe osa kolmega ja jätab teise puutumata, nii et nende suhe muutub iga kord kolm korda.
  
  $v = c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) ⟹ \frac{c _{2} \cdot 1 ^{n}}{c _{1} \cdot 3 ^{n}} = \frac{c _{2}}{c _{1}} 3^{- n}, 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$
Vastus

A¹⁰ kannab diagonaalil 29 525 ja sellest väljas 29 524 — vahe on 1 osa 29 525-st. See peaaegu-võrdsus ongi ülalolev pilt, ettepoole jutustatuna. Iga alguse noole (1, −1) komponent jagatakse igal rakendusel kolmega, nii et kümne järel on see 1/59 049 algsest, ja kõik jääb lõpuks (1, 1) sihile. Tööriist näitab üht rakendust. Omaväärtused teevad sellest kõik — ja ütlevad, kui kiiresti.

$A^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1); A^{10} = (29525295242952429525), 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$

Õpitee

Ruumi teisendavad maatriksid

Viib edasi Singulaarväärtuste lahutus suunad, mida teisendus ei pööra, ning kordaja, mille võrra see neist igaüht venitab.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

sümmeetriline venitus - Omaväärtused on 3 ja 1 ning neile vastavad omavektorid (1, 1) ja (1, -1). Sümmeetrilise maatriksi omavektorite sihid on alati risti. Allpool lahendatud ülesandes tõstetakse see maatriks kümnendasse astmesse.
ainult nihe - Diskriminant on 0, seega on mõlemad omaväärtused 1 ja omavektoritel on ainult üks siht: x-telg. Nihketeisendust ei saa diagonaliseerida.
pööre - Veerandpööre: tr² - 4det = -4, omaväärtused on ±i ja ükski reaalne nool ei osuta pärast teisendust algsesse suunda.
peegeldus - Jälg on 0, determinant -1 ning telgede sihilised omaväärtused 1 ja -1. Negatiivne determinant reedab peegelduse: pindala säilib, orientatsioon pöördub.
anisotroopne venitus - Omaväärtused on 3 ja 0,5: x-telje sihis venitatakse kuus korda rohkem kui y-telje sihis. Determinant on 1,5, seega suureneb iga pindala poole võrra.
vaheta teljed - Jälg 0 ja determinant -1 on samad mis peegeldusel, seega on ka omaväärtused samad: 1 ja -1. Telgede vahetamine on samuti peegeldus, seekord sirge y = x suhtes.

YouTube

3Blue1Brown·Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra