Maatrikstransformatsiooni visualiseerija

Sisesta 2×2 maatriks ja vaata, kuidas see teisendab koordinaattasandit.

Näidisarvutus — Maatrikstransformatsiooni visualiseerija

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
Omaväärtused	1.000, 1.000
Pindala skaala	1.0000

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Nulliga võrduv determinant hävitab infot 🖖

Determinant ei ole ainult pindala skaalategur — selle väärtus ütleb ka, kas teisendust saab üldse tagasi pöörata. Negatiivne tähendab, et tasand keerati ümber: päripäeva joonistatud kujund tuleb välja vastupäeva. Null tähendab, et kogu tasand on kokku surutud ühele ainsale sirgele, ja see on saatuslik: lugematud erinevad alguspunktid asuvad nüüd samas sihtkohas, nii et ükski reegel ei saaks neid sinna tagasi saata, kust nad tulid. Just seepärast ei ole maatriksil, mille determinant on 0, pöördmaatriksit. Kokkusurumine on ainus asi, mida lineaarteisendus teha saab ja mida tagasi pöörata ei õnnestu.

Veerud ütlevad kõik 🖖

2×2 maatriks on tegelikult vaid juhis kahele noolele. Esimene veerg näitab, kuhu satub nool (1, 0), ja teine veerg, kuhu satub (0, 1). Kuna sirged jäävad sirgeteks ja ruudustik ühtlaseks, määravad need kaks sihtpunkti ära, kuhu läheb iga teine punkt. Teisenduse ennustamiseks piisab veergude lugemisest.

Pööretel pole lemmiksuunda 🖖

Venitused ja nihked jätavad vähemalt ühe sirge algsesse suunda — omavektori. Puhas pööre aga kallutab iga suunda ega oma ühtki reaalset omavektorit; selle omaväärtused on kompleksne paar cos θ ± i·sin θ. See on täpselt seesama e^iθ, millega korrutatakse kompleksarve — tasandi pööramine ja ühikmooduliga kompleksarvuga korrutamine on üks ja sama tehe.

LINEAARTEISENDUSED — LOE 2×2 MAATRIKSIT ENNE KORRUTAMIST

Mida see maatriks tasandiga teeb?

Iga 2×2 maatriks liigutab kogu tasandit korraga ja tema veerud ütlevad, kuidas: esimene veerg on koht, kuhu satub (1, 0), teine veerg koht, kuhu satub (0, 1). Determinant näitab, mis juhtus pindala ja orientatsiooniga, ning omavektorid nimetavad suunad, mis tulevad välja samamoodi suunatuna. Viis mustrit katavad peaaegu kõik, mida sulle ette antakse.

Pööre — iga suund pöördub, miski ei veni [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Skaleerimine — iga telg venib oma teguriga [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Nihe — üks sirge püsib paigal, ülejäänu libiseb [1 k; 0 1], det = 1

Peegeldus — tasand keeratakse üle peegeltelje det = −1

Singulaarne — tasand surutakse sirgeks det = 0

Pööre — iga suund pöördub, miski ei veni

Mida sa tead: Veerud on risti asetsevad ühikvektorid ja teine on esimene, pööratuna veerand pööret vastupäeva. det = +1, seega pindala ja orientatsioon jäävad puutumata.

Maatriks: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Näidisarvutus: θ = 45° → [0,707 −0,707; 0,707 0,707] → (1, 0) satub punkti (0,707, 0,707) ja kõik pikkused jäävad samaks

Ava see juhtum: Pööra 45°

Pööre — iga suund pöördub, miski ei veni. Ühikruut säilitab suuruse ja kuju ning saabub 45° kaldu. Veerud on risti asetsevad ühikvektorid ja teine on esimene, pööratuna veerand pööret vastupäeva. det = +1, seega pindala ja orientatsioon jäävad puutumata. — Ühikruut säilitab suuruse ja kuju ning saabub 45° kaldu.

Skaleerimine — iga telg venib oma teguriga

Mida sa tead: Maatriks on diagonaalne: mõlemad kõrvaldiagonaali liikmed on nullid. Iga telg korrutatakse oma arvuga ja det = k₁·k₂ on pindalategur.

Maatriks: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Näidisarvutus: [2 0; 0 0,5] → x kahekordistub ja y väheneb poole võrra → det = 2 × 0,5 = 1, seega pindala ei muutu, kuju aga küll

Ava see juhtum: Skaleeri

Skaleerimine — iga telg venib oma teguriga. Ruudust saab ristkülik: kaks korda laiem, poole madalam, sama pindala. Maatriks on diagonaalne: mõlemad kõrvaldiagonaali liikmed on nullid. Iga telg korrutatakse oma arvuga ja det = k₁·k₂ on pindalategur. — Ruudust saab ristkülik: kaks korda laiem, poole madalam, sama pindala.

Nihe — üks sirge püsib paigal, ülejäänu libiseb

Mida sa tead: Mõlemad diagonaali liikmed on 1 ja täpselt üks kõrvaldiagonaali liige on nullist erinev. det = 1, seega pindala säilib, kuid jäika liikumist siin ei ole.

Maatriks: [1 k; 0 1], det = 1

Näidisarvutus: [1 1; 0 1] → (1, 0) jääb paigale ja (0, 1) libiseb punkti (1, 1) → ruut kaldub sama pindalaga rööpkülikuks

Ava see juhtum: Nihe

Nihe — üks sirge püsib paigal, ülejäänu libiseb. Alus paigal, ülaserv nihkes: sama alus, sama kõrgus, seega sama pindala. Mõlemad diagonaali liikmed on 1 ja täpselt üks kõrvaldiagonaali liige on nullist erinev. det = 1, seega pindala säilib, kuid jäika liikumist siin ei ole. — Alus paigal, ülaserv nihkes: sama alus, sama kõrgus, seega sama pindala.

Peegeldus — tasand keeratakse üle peegeltelje

Mida sa tead: det = −1. Suurus 1 ütleb, et pindala säilib; miinusmärk ütleb, et orientatsioon pöördub ümber.

Maatriks: det = −1

Näidisarvutus: [−1 0; 0 1] → (1, 0) muutub (−1, 0)-ks ja (0, 1) jääb → iga punkt peegeldub üle y-telje

Ava see juhtum: Peegelda

Peegeldus — tasand keeratakse üle peegeltelje. Ruut maandub peegli teisel poolel, tipud vastupidises järjekorras. det = −1. Suurus 1 ütleb, et pindala säilib; miinusmärk ütleb, et orientatsioon pöördub ümber. — Ruut maandub peegli teisel poolel, tipud vastupidises järjekorras.

Singulaarne — tasand surutakse sirgeks

Mida sa tead: det = 0: veerud on teineteise kordsed ja osutavad seega ühe ja sama sirge suunas. Maatriksil pöördmaatriksit ei ole.

Maatriks: det = 0

Näidisarvutus: [1 2; 0,5 1] → det = 1·1 − 2·0,5 = 0 → kogu tasand maandub sirgel y = x/2 ja suund (2, −1) surutakse alguspunkti

Ava see juhtum: Singulaarne

Singulaarne — tasand surutakse sirgeks. Ruudul pole enam pindala: iga punkt asub ühel alguspunkti läbival sirgel. det = 0: veerud on teineteise kordsed ja osutavad seega ühe ja sama sirge suunas. Maatriksil pöördmaatriksit ei ole. — Ruudul pole enam pindala: iga punkt asub ühel alguspunkti läbival sirgel.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ühikmaatriks ja nihe identsete omaväärtustega 5 sammu
Ühikmaatriksil ja nihkemaatriksil on sama determinant, sama jälg ja sama omaväärtuste paar. Kõik neli ülaltoodud rida on mõlema puhul identsed. Tõesta, et maatriksid on siiski erinevad — kasutades sama omaväärtuste aparaati, mis just ei suutnud neid eristada.
1. Mõlema determinant on 1 ja jälg 2. Ühikmaatriksi puhul on see ilmne. Nihkemaatriksi puhul väljendab see midagi sisulist: tasandi nihutamine külgsuunas võrdproportsionaalselt kõrgusega säilitab iga kujundi pindala, mistõttu joonisel olev rööpkülik muudab kuju ilma suurust muutmata.
  
  $I = (1001), S = (1011) : det = 1, tr = 2$
2. Karakteristlik polünoom moodustatakse täpselt neist kahest arvust, seega ei suuda ka see neid eristada. Mõlemad annavad (λ − 1)², kordse juure kohal 1. Kaks erinevat maatriksit, üks spekter.
  
  $λ^{2} - (tr A) λ + det A = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} ⟹ λ = 1, 1$
3. Omaväärtused on koht, kus enamik kursusi peatub. Omavektorid on need, kus need kaks lahknevad. Ühikmaatriksi puhul on A − λI nullmaatriks, seega on võrrand rahuldatud iga tasandi vektoriga.
  
  $(I - λ I) v = 0 : 0 v = 0 for every v ⟹ ker = R^{2}$
4. Nihkemaatriksi puhul jääb maatriksisse A − λI vaid üks mittenulline element ning see nõuab, et y = 0. Vaid horisontaaltelg on fikseeritud — sirge, mitte tasand.
  
  $(S - λ I) v = (0010) (x y) = (y 0) = 0 ⟹ y = 0$
5. Sellel erinevusel on nimi ja tagajärg. Nihkemaatriksi omaväärtuse algebrailine kordsus on 2, kuid geomeetriline kordsus 1, mis teeb maatriksi defektseks: puudub omavektoritest koosnev baas, seega ei saa seda diagonaliseerida. Selle astmed kasvavad lineaarselt, samal ajal kui ühikmaatriksi omad püsivad paigal.
  
  $dim ker (I - λ I) = 2 \neq = dim ker (S - λ I) = 1, S^{n} = (10 n 1)$
Vastus

Iga tööriista kuvatav arv — det = 1,0000, tr = 2,0000, λ = 1,000, 1,000 — on mõlemal maatriksil sama. Sea b väärtuseks 1 ja vaata, kuidas näit ei liigu paigast, samal ajal kui võrestik silmnähtavalt nihkub. Invariandid ei ole puudulikud juhuslikult: determinant ja jälg on kaks arvu ning 2×2 maatriksil on neli elementi, seega peab kaks vabadusastet kuskil kaduma. See, mida need ei näita, on omaruumi dimensioon, 2 võrreldes 1-ga — ja täpselt see määrabki, kas Aⁿ püsib paigal või kasvab piiramatult. Just seepärast ei ole "leia omaväärtused" kunagi terve juhtnöör.

$det, tr, λ all agree; dim ker (A - λ I) = 2 vs 1 does not$

Õpitee

Ruumi teisendavad maatriksid

Viib edasi Omavektorid

Allikad (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Pööra 45° - det(A) = 0.9997, mitte 1 — pööre peaks pindala täpselt säilitama, ja kõrvalekalle 3 osa 10000-st tuleb sisestatud väärtusest 0.707, mitte geomeetriast
Nihe - det(A) = 1.0000 omaväärtustega 1.000, 1.000 — pindala puutumata, ja kordne omaväärtus jätab alles ainult ühe muutumatu suuna
Skaleeri - Venita 2 korda ja suru 0.5 korda kokku ning det(A) = 1.0000: skaleerimine, mis muudab iga pikkust ja mitte ühtki pindala
Peegelda - det(A) = −1.0000 — sama pindala, läbitud vastupidises suunas; omaväärtused 1.000 ja −1.000 on peegeltelg ja selle normaal
Singulaarne - det(A) = 0.0000 ja leht teatab SINGULAR: omaväärtus 0.000 on suund, mida mööda tasand kokku surutakse