Kardaanlukk ja kvaternioonid

Määra kolm nurka. Kardaan pöördub, rõngad liiguvad ning paneel näitab, kui palju kolmeteljelisest vabadusest on alles. Seejärel viiakse lengerdus ja rullumine kokku ja lahku. Nii näed, kumb neist kahest liigutusest ei anna enam tulemust.

Näidisarvutus — Kardaanlukk ja kvaternioonid

Sama pööre kvaternioonina	0,8463, 0,0178, 0,5145, 0,1369
Sellele vastav ühekordne pööre	64,4°
ja telg, mille ümber see toimub	0,033, 0,966, 0,257
Allesjäänud vabadus	50,0%
Muuda kurssi ja kallet +10°	5,2°
Muuda kurssi +10°, kallet −10°	19,3°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kardaanlukk ja kvaternioonid

Kardaan koosneb kolmest teineteise sees asuvast rõngast, mis saavad vabalt ümber oma telje pöörelda. Kolm rõngast ja kolm nurka lubavad luua mistahes orientatsiooni. See kehtib seni, kuni kaks rõngast satuvad kohakuti. Kardaani lukustumine ongi see hetk. Välimine ja sisemine rõngas jagavad sama tasapinda, nende nurgad täidavad sama eesmärki ja üks terve pöördesuund muutub täielikult kättesaamatuks. See juhtub hoolimata rõngaste varasemast seadistusest. Kvaternioon on alternatiivne viis pöörde esitamiseks. See kasutab kolme arvu asemel nelja ja sellel ei ole kohakuti sattuvaid rõngaid.

Mida iga sümbol tähendab

ψ, θ, φ: lengerdus, tangaaž ja rullumine: kolm rõnga nurka, mida rakendatakse samas järjekorras ümber z-telje, uue y-telje ja uue x-telje
q: kvaternioon (w, x, y, z): w = cos(α/2) tähistab üht α suurust pööret ja ülejäänud osad vastavad teljele, mille ümber pööratakse, korrutatuna väärtusega sin(α/2)
|cos θ|: allesjäänud vabadus: rõngaste kiirustest keha pöördeni viiva teisenduse determinandi suurus, mis on 1 risti asetsevate rõngaste korral ja 0 kahe paralleelse rõnga puhul

Kuidas nähtut lugeda

Leht avaneb algväärtustega, kus kurss on 30°, tangaaž 60° ja kalle 20°. Kvaterniooni rida näitab väärtusi 0,8463; 0,0178; 0,5145 ja 0,1369. Selle all asuv rida näitab, mis see tegelikult on: ühekordne 64,4° pööre y-telje lähedase telje ümber. Vabaduse näit on 50,0%, mis vastab täpselt väärtusele cos 60°. Kaks proovirida näitavad 5,2° ja 19,3°. Mõlemad veel reageerivad, kuid enam mitte võrdselt. Vii tangaaž väärtuseni 90° ja esimene neist langeb väärtuseni 0,0°.

Eeldab: Eeldame, et kolm pööret tehakse just selles järjekorras ja ümber nende telgede. Kui muuta süsteem z-y-z järjestusele, nihkub kokkulangemine 90° pealt keskmise nurga 0° juurde. See probleem ei kao aga kuhugi. Igal kolme nurga süsteemil leidub kuskil lukustunud olek. See tuleneb ruumilise pöörlemise teoreemist, mitte ühe konkreetse kokkuleppe puudulikkusest.
Ei kehti, kui: Süsteem ei purune, vaid see ongi asja matemaatiline tuum. Apollo juhtplatvormil oli nelja kardaani asemel kolm, seega pidi meeskond teatud asendite piirkonnast mööda, mitte otse läbi tüürima. Alternatiiviks oleks olnud raskem neljas rõngas. Puruneb hoopis ettekujutus, et suurem täpsus aitab. Tangaaži 90° juures pole kolmas vabadusaste lihtsalt väike, vaid see on täielikult kadunud. Ükski komakohtade arv kursis või kaldes ei too seda tagasi.

Kardaanlukk on nõlv, kuid kõik räägivad sellest kui järsakust 🖖

Tõsta tangaaž horisontaaltasemelt ülespoole ja jälgi vabaduse rida. See on |cos θ|: 30° juures 86,6%, 60° juures 50,0%, 80° juures 17,4% ja 89° juures 1,7%. Selle arvuga ei juhtu 90° juures midagi äkilist. Viimane kraad ei maksa peaaegu midagi, sest kaotada oli jäänud väga vähe. Platvorm, mis jälgib 80° tangaaži juures, teeb rõngaste sama liigutamise peale kuuendiku pöördest, mis horisontaalasendis. Just seda tõsiasja sõna „lukustumine” varjabki. See näitaja väljendab rõngaste kiirustest keha tegelikku pöördumisse viiva teisenduse determinandi suurust ehk pöörde mahtu rõnga liikumisühiku kohta. Järelikult on see väga väike juba ammu enne rõngaste muutumist paralleelseks.

Tee täispööre ja kvaternioon ütleb, et sa pole seda teinud 🖖

Kvaternioon sisaldab α suuruse pöörde korral väärtust cos(α/2) ning loendab seega poolpöördeid. Pööra 360° ümber z-telje ja see näitab −1, 0, 0, 0, mitte 1, 0, 0, 0, millest see alustas. Alles 720° järel jõuab väärtus tagasi algusesse. Mõlemad olukorrad kirjeldavad sama orientatsiooni, sest q ja −q viitavad samale kehale. Seega hoiab kvaternioon tallel midagi, mille objekt ise on unustanud. Tegemist ei ole puuduliku tähistussüsteemiga. Interpoleerimine peab sellega arvestama. Lühima kaare reegel muudab märki, kui kaks kvaterniooni asuvad vastassuundades. Ilma selle reeglita valiks poole sekundi pikkune pööre pikema tee.

Pikem tee on täiesti sujuv 🖖

Animatsiooni värinas süüdistatakse tavaliselt Euleri nurkade interpoleerimist, ehkki enamasti ei vasta see tõele. Kui liikuda lengerduselt 79,9°, tangaažilt 85,5° ja rullumiselt 153,5° asendisse lengerdus 155,5°, tangaaž 75,0° ning rullumine −139,8°, on kahe orientatsiooni vahe 16,7°. Kolme nurka mööda lineaarselt liikudes on teekonna pikkus aga 368,1°. See on kakskümmend kaks korda pikem tee, mille läbimise kiirus muutub algusest lõpuni vaid poole protsendi võrra. Protsessi käigus ei tundu selles midagi veidrat. Enam kui 4000 juhusliku paari põhjal ei olnud Euleri trajektoor kordagi otsepöördest lühem ning ületas seda pikkuselt keskmiselt 1,7 korda.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida saab juhtida 90° tangaaži juures 6 sammu
Määra tangaažiks 90°, kursiks 20° ja kaldeks 0°. Näita, et lisades 10° nii kursile kui ka kaldele, jääb keha täpselt samasse asendisse. Selgita, millest orientatsioon endiselt sõltub.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Pööre koosneb kolmest järjestikusest sammust. Esmalt muutub kurss z-telje ümber, seejärel tangaaž uue y-telje ning lõpuks kalle uue x-telje ümber. Kogu pööret kirjeldab valem R = R_z(ψ)·R_y(θ)·R_x(φ).
  
  $R = R_{z} (ψ) R_{y} (θ) R_{x} (φ), ψ = 2 0^{\circ}, θ = 9 0^{\circ}, φ = 0^{\circ}$
2. Olgu θ = 90°. Keskmine pööre viib x-telje −z-teljele ja z-telje x-teljele. Esimene ja viimane pööre toimuvad nüüd ruumis sama sirge ümber. Mida iganes ψ teeb, suudab φ tagasi võtta.
  
  $R_{y} (9 0^{\circ}) : \overset{x}{^} \mapsto - \overset{z}{^}, \overset{z}{^} \mapsto \overset{x}{^}$
3. Seega taandub korrutis ühele pöördele, mis sõltub ainult suurusest φ − ψ ega millestki muust. Kaks erinevat paari, millel on sama vahe, annavad täpselt sama orientatsiooni, mitte lihtsalt sarnase.
  
  $⟹ R = R_{y} (9 0^{\circ}) R_{x} (φ - ψ) — one angle, not two$
4. Kontrolli järele. Kontrolli järele. Alustades näiteks väärtustest ψ = 20° ja φ = 0°, on nende vahe −20°. Liikudes väärtusteni ψ = 30° ja φ = 10°, on vahe endiselt −20°.
  
  $φ - ψ = 0 - 20 = - 2 0^{\circ}; ψ = 30, φ = 10 \Rightarrow 10 - 30 = - 2 0^{\circ}$
5. Need kaks nurkade komplekti ei asu seega lihtsalt lähestikku. Need kirjeldavad sama orientatsiooni ja nende vahe on null. Nurgarida püsib täiesti paigal.
  
  $∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, 10}) = 0.000 0^{\circ}$
6. Harutame nüüd hoopis vahe lahti. ψ = 30°, φ = −10° annab −40° ning keha pöördub terve 20,0000° võrra.
  
  $ψ = 30, φ = - 10 \Rightarrow - 4 0^{\circ}, ∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, - 10}) = 20.000 0^{\circ}$
Vastus

Mõlemale 10° lisamine jätab keha täpselt samasse asendisse. Kahe orientatsiooni erinevus on 0,0000° ja mõlemad kujutavad endast sama 91,728° pööret ümber telje (−0,1711; 0,9703; 0,1711). Ühele lisamine ja teisest lahutamine liigutab keha täies ulatuses 20,0000°. Punktis θ = +90° jääb alles φ − ψ. Kahe arvu asemel on nüüd üks. Punktis θ = −90° on selleks aga φ + ψ. Kolmas vabadusaste on lakanud eksisteerimast, mitte muutunud raskesti ligipääsetavaks. Seda ei taasta mingisugune ψ või φ väärtuste täpsustamine.

$φ - ψ = - 2 0^{\circ} ⟹ 91.72 8^{\circ} about (- 0.1711, 0.9703, 0.1711)$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.