Peegeldused ja tasandi jäigad liikumised

Asetage paigale kuni kolm peegelsirget ja peegeldage F-tähte kordamööda neist igaühest. Leht teeb ainuüksi kombineeritud teisenduse põhjal kindlaks, millega on tegu: kas see on peegeldus, pööre, rööplüke, liugpeegeldus või ei midagi neist. Protsessi saab läbi teha ka vastupidi, andes ette pöörde, rööplükke või liugpeegelduse, misjärel leht leiab need peeglid, mis sellise liikumise tekitavad. Joonise all asuv tabel näitab maatriksarvutusi.

Näidisarvutus — Peegeldused ja tasandi jäigad liikumised

Peegli nihe d1	0,00
Peegli nihe d2	0,00
Determinant	1,00
Orientatsioon	säilitab orientatsiooni
Pöördenurk	90,00°
Pöördekeskpunkt	(0,00; 0,00)
Püsipunktid	üks punkt
Tüüp	Pööre

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Peegeldused ja tasandi jäigad liikumised

Tasandi isomeetria on teisendus, mis säilitab kõik vahemaad. Peegeldus sirgest viib iga punkti selle peegelpilti teisel pool sirget ning pöörab orientatsiooni. Päripäeva tähistatud kujund muutub vastupäeva tähistatuks. Kahe peegelduse liitmine annab orientatsiooni säilitava isomeetria. See on kas pööre nurga võrra, mis on kaks korda suurem lõikuvate sirgete vahelisest nurgast, või rööplüke, mis on paralleelsete sirgete kahekordne vahekaugus. Kolm peegeldust tekitavad peegelduse või liugpeegelduse. Iga tasandi isomeetria on seega ülimalt kolme peegelduse kompositsioon.

Mida iga sümbol tähendab

α: nurk esimesest peeglist teiseni. Pööre on 2α
d: vahekaugus kahe paralleelse peegli vahel. Rööplüke on nendega risti asuv 2d
det: lineaarse osa determinant: +1, kui liikumine säilitab orientatsiooni, ja −1, kui see pöörab orientatsiooni vastupidiseks
g: liugpeegelduse libisemine piki selle telge
M: kombineeritud teisendus maatriksina, peegelduste korrutis rakendamisele vastupidises järjekorras

Kaks peeglit annavad pöörde nende vahelise kahekordse nurga võrra 🖖

Vajutage Kaks lõikuvat peeglit. Need peeglid lõikuvad 45° all. F-tähe peegeldamine ühest ja siis teisest pöörab kujundit 90° võrra ümber nende lõikepunkti. See on täpselt kaks korda suurem peeglite vahelisest nurgast. Iga peegeldus pöörab F-tähe ümber, seega kaks pööramist jätavad selle õigetpidi. Isomeetria, mis säilitab orientatsiooni ja millel on püsipunkt, on pööre ümber selle punkti. Nüüd vajutage Kaks paralleelset peeglit. Kaks peeglit, mille vahekaugus on 2, libistavad F-tähte nendega risti pikkuse 4 võrra, mis on kahekordne vahe. Rööplüke käitub kui pööre, mille keskpunkt on liikunud lõpmatusse. Samuti on paralleelsed peeglid nagu lõikuvad peeglid, mille kohtumispunkt on kadunud lõpmatusse.

Kahe peegli järjekord määrab suuna 🖖

Vajutage Kaks lõikuvat peeglit ja seejärel Samad peeglid ümber. Peeglid asuvad samadel sirgetel, muutunud on vaid nende järjekord, ning pööre muutub nurgalt +90° nurgale −90°. Teine kompositsioon tühistab esimese, kuna iga peegeldus tühistab iseennast. Kolme üht punkti läbiva peegli puhul kaotab järjekord tähtsuse. Vajutage Kolm läbi ühe punkti ja pöörake nende järjestus ümber – tulemuseks on täpselt sama üksik peegeldus, mitte uus liikumine. Kahe peegli puhul on järjekord oluline alati, välja arvatud siis, kui need langevad kokku või on risti. Kolme peegli puhul loeb järjekord siis, kui nad kõik ei lõiku ühes punktis või pole kõik paralleelsed.

Kolm peeglit suudavad luua selle ühe liikumise, mida kaks ei suuda 🖖

Iga tasandi jäik liikumine on üks viiest liigist: samasus, peegeldus, pööre, rööplüke või liugpeegeldus. Viimane kujutab endast peegeldust sirgest ja sellele järgnevat libisemist piki sedasama sirget. Selle igapäevane näide on jalajäljed liival. Vajutage Kolm kolmnurgas. Kolm sirget, mis ei lõiku ühes punktis ja pole ka kõik paralleelsed, loovad liugpeegelduse piki sirget nurga all 60° libisemisega pikkuses 6. Üks peegel ei suuda libiseda ja kaks ei suuda kujundit ümber pöörata. Seega ei anna väiksem peegelduste arv kunagi soovitud tulemust. Vajutage Loo liugpeegeldus või Loo pööre ning leht töötab vastupidises suunas, leides otsitud liikumise tekitavad peeglid. Üle kolme peegli pole kunagi vaja.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mida teevad kujundiga kaks lõikuvat peeglit 5 sammu
Kaks peeglit läbivad nullpunkti. Esimene asub x-telje suhtes 10° ja teine 55° nurga all. Peegeldage esimesest ja seejärel teisest ning leidke, millise üksiku liikumisega see paar samaväärne on. Kontrollimiseks vajutage Kaks lõikuvat peeglit.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Peegeldusel läbi nullpunkti nurga a all asuvast sirgest on maatriks:
  
  $R_{a} = (cos 2 a sin 2 a sin 2 a - cos 2 a)$
2. Rakendades esimest ja seejärel teist, korrutatakse need vastavas järjekorras paremalt:
  
  $M = R_{5 5^{\circ}} R_{1 0^{\circ}}$
3. Välja korrutades on tulemuseks pöördemaatriks:
  
  $M = (cos 9 0^{\circ} sin 9 0^{\circ} - sin 9 0^{\circ} cos 9 0^{\circ}) = (01 - 1 0)$
4. Selle nurk on kaks korda suurem esimese ja teise peegli vahelisest nurgast:
  
  $θ = 2 (5 5^{\circ} - 1 0^{\circ}) = 9 0^{\circ}$
5. Mõlemad sirged läbivad nullpunkti, mida kumbki peegeldus ei liiguta, seega on nullpunkt keskpunktiks:
  
  $M (00) = (00)$
Vastus

See paar on pööre 90° võrra ümber nullpunkti, mis on kaks korda suurem kui 45° peeglite vahel. Selle determinant on +1, mistõttu on F-täht õigetpidi. Vahetage järjekorda ja nurk muutub nurgaks −90°: samad kaks sirget annavad vastupidise pöörde.

$θ = 2 α = 9 0^{\circ}, det M = + 1$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.