Gaussi theorema egregium

Vali pind ja kaugus r. Sipelgas kõnnib ühest punktist mööda igat sirget kaugusele r. Leht võrdleb lõpp-punktide ringjoont pikkusega 2πr, mis oleks saadud paberil, ning arvutab erinevuse põhjal pinna kõveruse.

Näidisarvutus — Gaussi theorema egregium

Pikkus tasasel paberil, 2πr	6,2832
Sama ringjoon valemi järgi	6,2832
C / 2πr	1,00000
Puudujääk, 2πr − C	0,0000
Sama ümbermõõduga tasapinnalise ringi raadius	1,0000
Ainult ringjoone põhjal leitud kõverus	0,000 / R²
Kaks peakõverust keskpunktis	1/R ja 0
Gaussi kõverus K keskpunktis	0 / R²

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Gaussi theorema egregium

Pinna Gaussi kõverus K antud punktis on selle punkti kahe peakõveruse korrutis. See on suurim ja vähim pinna paindumine mis tahes suunas läbi antud punkti, kusjuures märk näitab paindumise suunda. Gaussi theorema egregium (1827) väidab, et K sõltub ainult pinnal mõõdetud pikkustest ja seetõttu jätab pinna painutamine ilma seda venitamata K muutumatuks. Üks mõõtmisviis selle seestpoolt leidmiseks: punktist r kaugusel asuvate punktide ringjoone pikkus on C = 2πr − (π/3)K r³ + …, seega on K piirväärtus avaldisest 3(2πr − C)/(πr³) r-i kahanemisel.

Mida iga sümbol tähendab

K: Gaussi kõverus keskpunktis, kahe peakõveruse korrutis κ₁κ₂; R raadiusega sfääril 1/R²
C: keskpunktist r kaugusel asuvate punktide ringjoone pikkus, mõõdetuna mööda pinda
r: keskpunktist mööda pinda läbitud kaugus

Silinder on sama tasane kui see lehekülg ja sipelgas suudab seda tõestada 🖖

Vajuta Silinder, r = R ja seejärel Sfäär, r = R. Mõlemad pinnad kaarduvad tipus 1/R võrra ja on väljastpoolt ilmselgelt ümarad. Keskpunktist igas suunas kaugusele 1 kõndides mõõdab sipelgas silindril ringjoone pikkuseks 6,2832. See on täpselt sama tulemus kui paberilehel. Sfääril on aga ringjoone pikkus 5,2871. Pikkupidi ei paindu silinder üldse. Selle kaks peakõverust on 1/R ja 0 ning Gaussi kõverus K on nende korrutis ehk 0. Gauss tõestas 1827. aastal, et K on leitav pinnal mõõdetud pikkuste kaudu, seega ei muuda pinna painutamine ilma venitamiseta K väärtust. Seda tulemust tuntakse alates sellest ajast kui theorema egregium ehk märkimisväärne teoreem. Paberi rulli keeramine ei venita pinda. Toru korral kehtib K = 0 ja ükski seda mõõtev sipelgas ei suuda tuvastada, et see kunagi rulli keerati. Samal põhjusel ei vaju ka äärest kokkumurtud pitsalõik enam alla. Ühes suunas kõverana peab see pikisuunas sirge püsima.

Ükski tasapinnaline maakaart ei säilita kaugusi ja ringjoon näitab eksimuse ulatust 🖖

Vajuta Maa, 1000 km. Oranži ringjoone iga punkt asub mööda maad mõõtes keskpunktist 1000 km kaugusel ja ringjoone ümbermõõt on 6257,42 km. Tasapinnalisel 1000 km raadiusega ringil on ümbermõõt 6283,19 km. Seega peab kaart, mis säilitab kõik kaugused keskpunktist, joonistama serva 25,77 km liiga pikaks. Kaart, mis hoiab aga serva õiges suuruses ja ümarana, peab raadiuseks joonistama 995,90 km ehk 4,10 km liiga lühikeseks. Igal tasapinnalisel kaardil on kas üks või teine kaugus vale ja teoreem selgitab, miks ükski nutikam projektsioon sellest ei pääse. Ringjoont lühendavat kõverust ei saa eemaldada ilma pinda venitamata. Vajuta Maa, 2000 km. Kaks korda suurema raadiuse korral jääb servast puudu 205,4 km, mis on 7,97 korda rohkem. Puudujääk kasvab võrdeliselt raadiuse kuubiga. Seetõttu saab linnaplaan Maa kõverust eirata, mandrikaart aga mitte. Map Projection Distortion Lab näitab, millest erinevad projektsioonid kompromissina loobuvad.

Sadulpinnal tuleb ringjoon liiga pikk 🖖

Vajuta Sadulpind, r = R/2. Sipelgas kõnnib igas suunas 0,5 ja ringjoone pikkus on 3,2573, olles seega pikem kui tasapinnalise ringi 3,1416. Sfäär lühendab ringjoont ja sadulpind pikendab seda. Sadulpinna sirged hajuvad üksteisest kiiremini kui paberil, sfääri sirged aga aeglasemalt, kuni need kohtuvad uuesti kaugemal poolusel. Avaldise 2πr − C märk on ühtlasi K märk, mis võimaldab sipelgal teada saada oma maailma kõverdumise suuna ilma ühtegi painutust nägemata. Gaussi K on piirväärtus avaldisest 3(2πr − C)/(πr³) ringjoone kahanemisel. See on Bertrandi ja Puiseux' poolt 1848. aastal avaldatud ringjoone pikkuse rittaarendus lahendatuna K suhtes. Allolev tabel näitab sellele piirväärtusele lähenemist. Sfääril, mille kõverus on igal pool 1/R², on hinnang 0,9876 kohas r = R/2 ning 0,9995 kohas R/10. Sadulpinnal on vastavad arvud −0,8838 ja −0,9945. Raadiusega R/2 ringjoon ulatub juba alale, kus see sadulpind on oma keskpunktiga võrreldes vähem kõverdunud.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui suure ringi puhul tunnetab mõõdulint Maa kõverust? 4 sammu
Maamõõtja lindi täpsus on üks osa miljonist ehk üks millimeeter kilomeetri kohta. Kui suur ring tuleb Maal maha märkida, et selle serv jääks mõõdetavalt lühemaks kui 2πr? Vajuta esmalt Maa, 1000 km: leht annab sellises suuruses ketta suhte C/2πr.

Ava see ülesanne tööriistas
1. 1000 km juures jääb serval 2πr-ist puudu osa 1 − 0,99590. Sfääril on C = 2πR sin(r/R) ja sin x / x = 1 − x²/6 + …, seega on see suhtarv pealiikme järgi (r/R)²/6:
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. Seame selle suhtarvu võrdseks ühega miljonist ja avaldame suhte r/R:
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. ja raadius Maal on saadud arv korrutatud R-iga:
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. Kontrollime järele. Tasapinnalise ringi ümbermõõt on 2π × 15,606 km ning miljondik sellest on
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
Vastus

Umbes 15,6 km raadiusega ehk 31 km läbimõõduga ring. Selle 98 km pikkune serv on 9,8 cm lühem kui 2πr. Selles punktis hakkab mõõdulint erinevust märkama. Puudujääk kasvab võrdeliselt raadiuse kuubiga, seega on kümme korda väiksema ringi puudujääk tuhat korda väiksem ehk üks kümnendik millimeetrit. Linna mõõdistamisel võib maapinda käsitleda tasapinnalisena.

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

Õpitee

Geomeetria kõverpinnal

Allikad (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.