Kaardiprojektsiooni moonutuse labor

Liiguta sama maapinda pooluste poole ja vaata, millest iga tasapinnaline kaart loobub.

Näidisarvutus — Kaardiprojektsiooni moonutuse labor

Mercatori pindalaskaala	14,00×
Mercatori pikkusskaala	3,74×
Õigepindne pindalaskaala	1,00×
Õigepindse kuju venitus	14,00:1
Valitud laiuskraad	74,5°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Moonutus on hind, mitte viga 🖖

Gloobust ei saa moonutuseta tasaseks teha. Mercator säilitab võrdse ida-lääne ja põhja-lõuna venitusega kohalikud nurgad, kuid pindala kasvab kui sec²(laiuskraad). Õigepindne kaart surub põhja-lõuna sama palju kokku kui ida-lääne välja venib. Ükski tasapinnaline maailmakaart ei säilita kõikjal korraga pindala, nurki, kaugust ja suunda; projektsiooni valik määrab olulise lubaduse.

Miks meresõitjad suurenemisega leppisid 🖖

Mercatori projektsioonil kujutatakse püsiva kompassikursiga kulgevat loksodroomi sirgjoonena. Nii sai kurssi joonlaua ja sirkliga hõlpsalt kaardile kanda, ehkki see sirge ei näita maakeral enamasti lühimat teed. Suurringjoont mööda kulgev marsruut pole kunagi pikem, kuid väljaspool ekvaatorit ja meridiaane on see Mercatori kaardil kõver. Projektsioon loodi navigatsiooniülesande lahendamiseks, mitte riikide suuruse võrdlemiseks.

Väikesed ringid, mis iga kaarti kontrollivad 🖖

Võrgu ellipsid on Tissot' indikatrissid: Maale asetatud kujuteldavad tillukesed ringid pärast projektsiooni. Ümaraks jääv ring näitab nurkade säilimist; võrdsed ellipsipindalad näitavad pindala säilimist. Nende suurus ja lapikus teevad moonutuse nähtavaks.

Ülesanded täielikult lahendatud

Gröönimaa 74,5° põhjalaiusel ja see üks arv, mille iga projektsioon peab kuskil ära kulutama 6 sammu
Gröönimaa pindala on 2,166 miljonit km² ja see asub 74,5° N lähedal. Arvuta, millisena näitab seda Mercator. Seejärel võrdle kõiki kolme projektsiooni sellel laiuskraadil ja leia, mis on neil ühist.
1. Mercatori projektsioon säilitab nurgad ja sellest tulenevad kõik muud omadused. Üks pikkuskraad vastab piki paralleeli maapinnal vahemaale, mis on vähenenud teguriga cos φ. Kohaliku kuju säilitamiseks tuleb kaarti ida-lääne suunas venitada teguriga 1/cos φ = sec φ.
  
  $sec φ = \frac{1}{cos 74. 5 ^{\circ}} = \frac{1}{0.2672} = 3.742$
2. Laiuskraadil 74,5° on cos φ = 0,26724 ja seega sec φ = 3,742. Kõik sealsed ida-läänesuunalised vahemaad joonistatakse 3,742 korda liiga pikana.
3. Nurgad säilivad ainult siis, kui põhja-lõuna suunda venitatakse sama teguriga. Seetõttu korrutatakse pindala teguriga sec φ kaks korda: sec² φ = 14,002, mille paneel ümardab väärtuseks 14,00.
  
  $A_{Mercator} = sec^{2} φ = 3.74 2^{2} = 14.00$
4. Rakendame seda. 2,166 × 14,002 = 30,33 miljonit km², seega kujutab Mercatori projektsioon Gröönimaa keskmisel laiuskraadil asuvat ala neliteist korda tegelikust suuremana. Kujutegur jääb väärtusele 1, mistõttu ei paista üheski üksikus punktis midagi valesti. Riik kõverdub siiski üle oma 24 laiuskraadi, sest mõõtkava pole selle mõlemas otsas sama.
  
  $2.166 \times 14.002 = 30.33 million km^{2}$
5. Nüüd ülejäänud kaks samal laiuskraadil. Õigepindne projektsioon hoiab pindala väärtusel 2,166, surudes põhja-lõuna suuna väärtuseni 0,2672, samal ajal kui ida-lääne suund venib ikka 3,742 võrra, seega on selle kuju suhe 3,742 ÷ 0,2672 = 14,00. Ruutlabaprojektsioon jätab põhja-lõuna suuna puutumata: pindala 3,742, kuju 3,742.
  
  $equal-area: \frac{3.742}{0.2672} = 14.00 (shape), area = 1$
6. Korruta iga paar. Mercator 14,00 × 1; õigepindne 1 × 14,00; ruutlabaprojektsioon 3,742 × 3,742. Kõik kolm on 14,00 ja 14,00 on sec² φ — arv, millest me alustasime.
  
  $area \times shape = sec^{2} φ = 14.00 for all three$
Vastus

Gröönimaa pindalaks kujuneb 30,33 miljonit km² ning igal projektsioonil on sellel laiuskraadil sama kogumoonutus 14,00; valida saab ainult selle, kuhu moonutus paigutada. Kõigi kolme siin käsitletud silindrilise projektsiooni korral on pindalamoonutuse ja kujundimoonutuse korrutis sec² φ. Seega pole kaardi puhul aus küsimus kunagi „kas see moonutab“, vaid „millise moonutusega pidas kaardi autor võimalikuks leppida“. Mercatori projektsioon paigutab kogu moonutuse pindalasse ega moonuta kohalikku kuju. Just seda vajab meresõitja, sest püsiva kursiga teekond on kaardil sirgjoon ning riigi vale suurus pole veel ühtki laeva põhja viinud. Õigepindne projektsioon paigutab kogu moonutuse kujusse, mis sobib paikade suuruse võrdlemiseks. Ruutprojektsioon jagab moonutuse võrdselt ja on neist kolmest ainus, mis pole üheski mõttes parim. Selle eelis seisneb selles, et laius- ja pikkuskraad on lihtsalt x ja y, mis on tähtis arvutile, mitte lugejale. Määra laiuskraadiks 60° ja arvutus annab täpse tulemuse: sec 60° = 2, seega on kogumoonutus 4 ning iga projektsioon jaotab selle 4 omal viisil.
Pool Mercatori lehte maailma kaheteistkümnendiku jaoks 6 sammu
Laiuskraadil 78,2° näitab paneel Mercatori ida-läänesuunalist venitust 4,89 ja pindalategurit 23,91. Mõlemad on kohalikud. Arvuta, kuhu see laiuskraad lehele joonistatakse, ja otsusta seejärel, kuidas paber jaotub.
1. Mõlemad trükitud arvud kirjeldavad laiku. Nad ütlevad, kui palju suurendatakse väikest maapinnatükki laiuskraadil 78,2°, ega ütle midagi selle kohta, kuhu lehel see tükk joonistatakse.
  
  $sec 78. 2^{\circ} = \frac{1}{0.2045} = 4.89, sec^{2} 78. 2^{\circ} = 23.91$
2. Asukoht on kogu allpool toimuva venituse kuhjumine. Samm dφ põhja katab maapinnal kindla vahemaa ja joonistatakse sec φ korda pikemana, seega kasvab lehe y-koordinaat täpselt selle kiirusega, mille paneel välja trükib.
  
  $d y = sec φ d φ ⟹ y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'}$
3. Sellel integraalil on kinnine kuju, ja just selle peidab Mercatori enda konstruktsioon ära. Laiuskraadil 78,2° annab see 2,270.
  
  $y = ln tan (4 5^{\circ} + \frac{φ}{2}); y (78. 2^{\circ}) = ln tan 84. 1^{\circ} = ln 9.677 = 2.270$
4. Leht tuleb ära lõigata, sest poolusel jookseb y lõpmatusse. Lõika 85° juurest, nagu see kaart teeb, ja poolkõrgus on 3,131, seega asub Teravmägede laiuskraad 72,5% ulatuses üleval.
  
  $y (8 5^{\circ}) = ln tan 87. 5^{\circ} = ln 22.90 = 3.131, \frac{2.270}{3.131} = 72.5%$
5. Milline laiuskraad jääb poolele kõrgusele? Pööra sama valem poolel kõrgusel ümber ja tuleb 66,4°, viiendiku kraadi kaugusel põhjapolaarjoonest.
  
  $y = \frac{1}{2} (3.131) = 1.566 ⟹ φ = 2 arctan e^{1.566} - 9 0^{\circ} = 66. 4^{\circ}$
6. Nüüd maapind selle all. Kahe paralleeli vaheline pindala käib nende siinuste vahena, seega hoiab selle lehe ülemine pool, kõik põhja pool 66,4°, 8,0% joonistatust. Vöönd ekvaatorist 30°-ni, mis võtab 17,5% kõrgusest, hoiab 50,2%.
  
  $\frac{sin 8 5 ^{\circ} - sin 66. 4 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = \frac{0.9962 - 0.9166}{0.9962} = 8.0%, \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = 50.2%$
Vastus

y = 2,270, mis on 72,5% teekonnast lõikeni 85° juures. Kaardil olev 4,89 on venituse kiirus ja asukoht on selle integraal, ning just integraal otsustab, kuidas paber jaotub. Pool 85° juurest lõigatud lehe kõrgusest läheb sellele 8%-le maailmast, mis jääb 66,4°-st põhja poole, samal ajal kui pool maailmast, mis mahub 30° sisse, saab sellest 17,5%. Gröönimaa paisumine ja lehe ülesehitus on üks ja sama seekans: laigu jaoks ruudus, lehe jaoks integreeritud.

$y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'} = ln tan (\frac{π}{4} + \frac{φ}{2})$

Allikad (3)

Mercator is conformal, keeps rhumb lines straight, and grossly distorts area on world maps: PROJ contributors, “Mercator.” PROJ 9 documentation.
The spherical Mercator areal scale k² = sec²φ used by the model: J. P. Snyder, Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, 1987.
The cylindrical equal-area projection and its standard-parallel parameter: PROJ contributors, “Lambert Cylindrical Equal Area.” PROJ 9 documentation.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Bio, geo ja keemia õppetunnid →

Näiteülesanded

Gröönimaa laius - 74,5° juures on Mercatori skaala 14,00×, õigepindsel 1,00×.
Ekvaator - Ekvaatoril algavad mõlemad projektsioonid skaalast 1,00×.
London - 51,5° juures suurendab Mercator pindala 2,58×.
Teravmäed - 78,2° juures jõuab Mercator 23,91×-ni.