Tekstülesanded: loost võrranditeni

Loe lugu, vali tundmatutele tähed ja kirjuta nende põhjal võrrandid. Leht ütleb sulle, kas sinu võrrandid vastavad loole. Kui ei, näed, milline loo osa on puudu, seejärel lahendatakse need samm-sammult. Uued arvud annavad sama tüüpi uue loo.

Algväärtused — Tekstülesanded: loost võrranditeni

Lugu	Vanused
Hugo vanus praegu	ei ole kasutusel
Kai vanus praegu	ei ole kasutusel
Sinu võrrandid	1

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Tekstülesanded: loost võrranditeni

Tekstülesanne kirjeldab suurusi lausetega. Selle tõlkimine tähendab tundmatute valimist ehk tähtede andmist neile suurustele, mida loos pole antud, ja iga loos nimetatud fakti võrrandina kirjapanemist. Kui iga võrrand on lineaarne ehk iga tundmatu esineb ainult arvuga korrutatult, lahendatakse süsteem elimineerimismeetodil: ühe võrrandi kordseid liidetakse teisele, kuni järele jääb vaid üks tundmatu. Süsteemil on kas üks lahend, mitte ühtegi või lõpmatult palju lahendeid. Milline neist kolmest süsteemil on, selle leiab elimineerimine. Kas aga lugu ise lubab sellist vastust – näiteks negatiivset ruumala või paketi algusele eelnevat kuud –, kontrollitakse loo enda põhjal.

Mida iga sümbol tähendab

x, y, z: tundmatud. Kõigepealt pannakse kirja, mida igaüks tähistab, ning süsteem on õige vaid neis tähtedes, milles see kirjutati
a₁x + b₁y = c₁: üks lineaarvõrrand. Iga fakt loos muutub üheks
0 = c: see, mis jääb elimineerimisel järele, kui c ≠ 0: faktid on omavahel vastuolus ja lahendus puudub
0 = 0: see, mis jääb elimineerimisel järele, kui üks fakt kordab teist. See ei lisa midagi uut. Kui võrrandeid jääb vähem kui tundmatuid, on vastuseid lõpmatult palju

Mündipurk ja lahused on sama ülesanne 🖖

Vajuta nupule Purgitäis münte ja kirjuta selle võrrandid: x + y = 21 müntide arvu kohta, 0,10x + 0,20y = 2,90 väärtuse kohta. Nüüd vajuta Lahuste segamine: x + y = 45 mahu kohta, 0,25x + 0,60y = 20,7 ainekoguse kohta. Kaks täiesti erinevat lugu, kuid võrrandite kuju on sama: kogusumma ning sama summa, kus iga osa on korrutatud selle ühiku väärtusega. Piletid kahe hinnaga ja kahe intressiga investeeritud raha on taas sama kujuga. Algebra on iga kord identne; iga lugu testib, kas sa saad aru, millist kogusummat ja millega kaalutakse.

Õige lahendus võib vastata valele küsimusele 🖖

Vajuta Kaks töölist. Töö teevad ära ühe töölise 4 h ja teise 10 h, või siis 6 h ja 5 h. Kui tundmatuteks on ainult töötunnid, ei ole võrrandid lineaarsed: 4/A + 10/B = 1. Kirjutades need välja töökiirustena ehk töö osana, mida kumbki tunnis teeb, on tulemus: 4x + 10y = 1 ja 6x + 5y = 1, mis annavad x = 1/8 ja y = 1/20. Küsimus aga on, kui kaua kuluks kummalgi üksi, ja vastus on nende pöördarv: 8 h ja 20 h, mitte 1/8 ja 1/20. Vajuta Järelejõudmine ja anna Jonase ajale täht, mis on mõeldud Lenale. Süsteem lahendub ikkagi sujuvalt ning leht ütleb, et sinu võrrandid sobivad looga ainult siis, kui x ja y on vahetatud, kuna vastus annab kummalegi juhile teise aja.

Mõnel süsteemil puudub lahendus ja elimineerimine näitab miks 🖖

Vajuta Paralleelsed plaanid. Jõusaali A liitumine on 25 € ja jõusaali B oma 55 € ning mõlema kuutasu on 19 €. Elimineeri ja kõik tundmatuga seonduv taandub, jättes järele 0 = −30 (või 0 = 30, kui jõusaal B on kirjutatud esimesena). 30 € vahe on olemas esimesel päeval ja ükski kuude arv seda ei kaota. Vajuta Üks plaan, kaks kuju. Jõusaali B pakett on 166 € 6 kuu eest, mis on täpselt jõusaali A 10 € pluss kuus kuud hinnaga 26 €, ning sealt edasi on mõlema kuutasu 26 €. Elimineerides saad tulemuseks 0 = 0: kaks võrrandit moodustavad ühe sirge. Jõusaali B võrrand kirjeldab oma arvet alates 6. kuust. Seega just lugu, mitte elimineerimine, ütleb, et iga kuu alates kuuendast on vastus. Vastuolu ja liiga vähe sõltumatuid fakte on kaks viisi, kuidas lineaarsüsteemil ei pruugi olla ühteainsat lahendit, ja kummalgi on loos selge ja lihtne põhjus.

Ülesanne täielikult lahendatud

Purgitäis münte, kirja pandud ja lahendatud 5 sammu
Purgis on 21 münti, kõik 10- või 20-sendised, koguväärtusega 2,90 €. Kirjuta võrrandid ja leia, mitu kummastki münti on. Vajuta Purgitäis münte ja sisesta need kontrollimiseks.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Vali tundmatud ja ütle, mida igaüks tähistab:
  
  $x = # 10 c, y = # 20 c$
2. Üks fakt loeb münte, teine loeb nende väärtust eurodes:
  
  $x + y = 21, 0.10 x + 0.20 y = 2.90$
3. Korruta teine võrrand 10-ga, et kaotada kümnendmurrud, seejärel lahuta sellest esimene:
  
  $x + 2 y = 29, (x + 2 y) - (x + y) = 29 - 21 \Rightarrow y = 8$
4. Pane y tagasi esimesse võrrandisse:
  
  $x = 21 - 8 = 13$
5. Kontrolli loo, mitte ainult võrrandite põhjal:
  
  $13 + 8 = 21, 13 \cdot 0.10 + 8 \cdot 0.20 = 1.30 + 1.60 = 2.90$
Vastus

Kümnesendiseid münte on 13 ja kahekümne-sendiseid on 8. Viimases sammus tehtav kontroll on see, mis tõeliselt loeb: 21 münti väärtusega 2,90 €, nagu lugu ütles, mitte lihtsalt arvupaar, mis juhuslikult rahuldab kellegi kirjutatud võrrandeid.

$x = 13, y = 8$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.